第三章 概率與分布

心理統(tǒng)計學第三章概率與分布第三章概率與分布[教學目標]了解有關概率的基本知識理解常用概率分布的特征掌握二項分布與正態(tài)分布的具體運用[教學內容]第一節(jié)概率第二節(jié)二項分布第三節(jié)正態(tài)分布2E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川在一定的條件下事先可以斷定必然會發(fā)生某種結果的現(xiàn)象叫確定性現(xiàn)象。第一節(jié)概率一、概率隨機現(xiàn)象確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象必然現(xiàn)象不可能現(xiàn)象在一定條件下，事先不能斷言會出現(xiàn)哪種情況的現(xiàn)象。對隨機現(xiàn)象的一次觀測叫做一次隨機試驗。在一定條件下必然不會發(fā)生的現(xiàn)象在一定條件下必然會發(fā)生的現(xiàn)象客觀現(xiàn)象3E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率特點偶然性：試驗結果不能預言必然性：大量次重復試驗下，呈現(xiàn)出統(tǒng)計規(guī)律性對“空中擲一枚硬幣”進行觀察：在1.2萬次的重復觀察中，正面向上有6019次在2.4萬次的重復觀察中，正面向上有12012次規(guī)律：“正面向上”和“反面向上”幾乎各占一半。4E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率(二)事件與概率1、隨機事件：隨機現(xiàn)象中出現(xiàn)的各種可能的結果，簡稱為事件。在N次重復試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)n與試驗總次數(shù)N的比值，稱為事件A發(fā)生的頻率，記作FN(A)。(3.1)5E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率例3-l擲一枚硬幣，觀察“正面向上”的次數(shù)?，F(xiàn)分次數(shù)N=5，N=50，N=500三組進行試驗，其中每一組又重復進行了10批，其結果如表3-1所示。表3-1不同次數(shù)的試驗n正的頻率試驗批號N=5N=50N=500n正FNn正FNn正FN1234567891023151242330.400.600.2010.200.400.800.400.600.60222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622502492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.4946E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率

我們把隨機事件發(fā)生的可能性的大小稱作隨機事件發(fā)生的概率，記作P(A)。頻率是事件發(fā)生的外在表現(xiàn)概率體現(xiàn)事件發(fā)生的內在實質頻率的穩(wěn)定性——隨機事件發(fā)生的可能性大小是隨機事件本身所固有的，不隨人的意志改變的一種客觀屬性，因此可以對其進行度量。7E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率(二)概率1、統(tǒng)計定義(后驗概率)定義：在大量重復的N次試驗中，當N無限增大時，事件A發(fā)生的頻率n/N穩(wěn)定在一個確定的常數(shù)附近，這個數(shù)表示事件A發(fā)生的概率，記作P(A)。（3.2）特點：在研究或實驗以前，事件的成功或失敗事先是無法知道的8E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率2、古典定義(先驗概率)定義：若試驗由n個有限的基本事件組成，且每次試驗中每個基本事件出現(xiàn)是等可能的，有利事件A發(fā)生的次數(shù)為m，則事件A的概率為：(3.3)特點：事先知道有關事件出現(xiàn)的事實。9E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率同時拋擲2顆骰子，求出現(xiàn)8點的概率事件=2=3=4=5=6=71+12+13+14+15+16+1=81+22+23+24+25+26+2=91+32+33+34+35+36+3=101+42+43+44+45+46+4=111+52+53+54+55+56+5=121+62+63+64+65+66+6事件拋擲2顆骰子，共36個基本事件基本事件分布表10E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率共同性質：必然事件發(fā)生的概率為1，即P(Ω)=1；

不可能事件的概率為0，即P(φ)=0事件A發(fā)生的概率滿足：0≤P(A)≤1逆事件的概率：P(A)=1-P(A)11E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率（三）概率的兩個基本定理1、加法定理：若A、B是兩個互不相容的事件，則A和B至少有一個發(fā)生的概率為：

P(A+B)=P(A)+P(B)

(3.4)對于有限多個相互獨立事件的情況：若A1，A2，…An是有限個相互獨立的事件，則A1，A2，…，An至少有一個發(fā)生的概率為：P(A1+A2+…+An)＝P(A1)+P(A2)+…+P(An)

(3.5)12E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率例3-2擲一個骰子，假定出現(xiàn)的點數(shù)是等可能性的，求事件A={出現(xiàn)點數(shù)不超過4}的概率。解：因為P(Ai)=1/6（i=l，2，3，4，5，6），且基本事件是相互獨立的，由加法定理得

P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=1/6+1/6+1/6+1/6=4/6例3-3某一考生對所考知識一無所知，完全憑猜測回答兩道是非題，問該生答對一題的概率為多大?解：P(E)=P(B+C)=P(B)+P(C)=0.25+0.25=0.513E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率2、概率的乘法定理若A、B是兩個相互獨立事件，則A和B同時發(fā)生的概率P(A·B)為：

P(A·B)=P(A)·P(B)

(3.6)有限個相互獨立事件的情況：A1，A2，…，An是有限個相互獨立事件，則A1，A2，…，An同時發(fā)生的概率P(A1A2An)為：P(A1·A2·…·An)=P(A1)P(A2)…P(An)(3.7)14E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率例3-4同時擲兩個骰子，擲出12點的概率是多少？擲出11點的概率是多少？解：①出現(xiàn)12點的概率為：1/6×1/6=1/36②出現(xiàn)11點的概率為:1/6×1/6+1/6×1/6=1/1815E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率例3-5

一份有10道四選一多項選擇題的試卷，考生完全憑隨機猜測得滿分的概率有多大？解：令Ai表示“該生猜對第i題”這一事件，i=1，2，…，10。事件Ai(i=1,2,…,10)互不相容,且P(Ai)=1/4,根據(jù)概率的乘法定理，Ai(i=1，2，…，10)同時發(fā)生的概率為：P（A1A2…A10）=P(A1)P(A2)…P(A10)=(1/4)10=0.00000094只有10道四選一的多項選擇題,完全憑猜測答對6道或6道以上的可能性只有0.0193。16E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率二、二項分布(一)排列與組合

1、排列定義：從n個不同的元素中，任取m個（m≤n）元素，按一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。①當m＜n時，所得排列稱為選排列，計做②當n=m時，所得排列稱全排列，記作Pn17E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率例3-6用四個數(shù)字1，2，3，4可以組成多少個沒有重復數(shù)字的二位數(shù)？多少個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？解：由公式（3.8）得到沒有重復的二位數(shù)有由公式（3.9）得到沒有重復的四位數(shù)有P4=4*3=12（種）=4*3*2*1=24（種）18E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率2、組合

定義：從n個不同元素中，任取m個(m≤n)元素，不管順序，并成一組，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個組合，記作Cmn。

組合的兩個性質：(3.12)（1）

（2）19E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川例3-7：書架上有5本中文書，3本外文書。某學生從中任取3本，求恰有2本中文書的概率？解：第一節(jié)概率樣本空間：隨機事件：恰有2本中文書的概率=0.54基本事件：(二)二項式定理20E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第二節(jié)二項分布一、二項分布的概念對于隨機變量x進行n次獨立試驗若（1）每次試驗結果只出現(xiàn)對立事件A與A之一；P(x)=Cnxpxqn-x（3.14）（2）在每次試驗中出現(xiàn)A的概率是P，則出現(xiàn)A的概率為1-p

，記為q=1-p，求在n次獨立試驗下，A出現(xiàn)次數(shù)為x的概率分布（x=0,1,2,…,n）。x的概率函數(shù)：

21E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第二節(jié)二項分布例3-8有10道是非題，若考生完全不懂，全憑猜測回答，問分別回答對5題、6題、7題、8題、9題、10題的概率各為多少？至少答對5題的概率又是多少？解：每次試驗只有兩個結果，答對記為p，答錯為q，則p=q=1/2猜中5題的概率為

P(x=5)=C510p5q5

=0.24609

猜中6題的概率為P(x=6)=C610p6q4=0.2050822E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第二節(jié)二項分布猜中7題的概率為P(x=7)=C710p7q3=0.11719猜中8題的概率為P(x=8)=C810p8q2=0.04395猜中9題的概率為P(x=9)=C910p9q1=0.00977猜中10題的概率為P(x=10)=C1010p10=0.00098至少猜中5題的概率為

P=C510p5q5+C610p6q4+C710p7q3+C810p8q2+C910p9q+C1010p10=0.024609+0.20508+0.11719+0.04395+0.00977+0.00098=0.6230623E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第二節(jié)二項分布例3-9有一份10道四選一的多項選擇題的試卷，若考生對試題完全猜測，問考生完全猜中8題、9題、10題的概率各有多大？至少猜中1道的概率又有多大？解：四選一的多項選擇題，猜中的概率記為p=1/4，猜錯的概率記為q=3/4，由公式(4.14)得：猜中8題的概率為P(x=8)=C810p8q2

=0.00039猜中9題的概率為P(x=9)=C910p9q

=0.00003猜中10題的概率為P(x=10)=C1010p10=0.000000924E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第二節(jié)二項分布P(至少答對一題)=1-P(10題全部答錯)=1-P(x=0)=1-(3/4)10=0.9437優(yōu)點:能簡便的決定任何既定的或大于任何既定分數(shù)的概率。從例3-9可知，若學生完全憑猜測答對至少9題的概率為：

P(至少9題)=C910(1/4)9(3/4)+C1010(1/4)10

=0.00003+0.000009=0.0000325E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第二節(jié)二項分布二、二項分布的均值、方差與標準差

例如：

n=5，p=1/2時，μ=2.5，σ2=1.25，σ=1.12n=10，p=1/4時，μ=2.5，σ2=1.875，σ=1.37n=20，p=1/8時，μ=2.5，σ2=2.1875，σ=1.48均值方差標準差（3.15）（3.16）（3.17）26E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第二節(jié)二項分布例3-10一份試卷有100道四選一的單項選擇題，(每題1分)，考生答對了其中80道，有20道不能回答，因而對這20道作猜測，則猜測得分的范圍有大?解：

=1.945±1.96*1.94=5±3.8=527E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第二節(jié)二項分布三、應用條件1、每次試驗只有兩類對立的結果；2、n次事件相互獨立；3、每次試驗某類結果的發(fā)生概率是一個常數(shù)。四、二項分布的圖形（p71）1、二項分布圖形的形狀取決于p和n的大??；2、當p=0.5時，無論n的大小，均為對稱分布；3、當p＜或＞0.5時，n較小時為偏態(tài)分布，n較大時為逼近于正態(tài)分布。28E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川圖3-8(p+q)6的概率分布圖第二節(jié)二項分布29E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布正態(tài)分布也稱常態(tài)分布或常態(tài)分配，是連續(xù)隨機變量概率分布的一種，是在數(shù)理統(tǒng)計的理論與實際應用中占有重要地位的一種理論分布。正態(tài)分布由亞伯拉罕·德莫弗爾1733年發(fā)現(xiàn)。拉普拉斯、高斯對正態(tài)分布的研究也作出了貢獻，故有時稱正態(tài)分布為高斯分布。一、正態(tài)分布的性質（3.19a）(σ>0,-∞<x<+∞)30E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布31E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布正態(tài)曲線正態(tài)曲線位于x軸的上方，以直線x=μ為對稱軸，μ為正態(tài)分布的均值，它向左向右對稱的無限延伸，且以x軸為漸近線。當x=μ時，曲線處于最高點，即當x=μ時，f(μ)取最大值；x=μ±σ兩點是拐點，當正態(tài)曲線由中央向兩側逐漸下降時，到拐點改變了彎曲方向，整條曲線呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀。32E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布正態(tài)曲線與x軸所圍成的區(qū)域面積為1。

服從正態(tài)分布的隨機變量x在xl到x2間的變化的概率(xl≤x2)就是概率P{x1<x≤x2}為圖中陰影部分的面積。正態(tài)分布是由均值μ和標準差σ唯一確定的分布。μ決定曲線的位置σ決定曲線的形狀33E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布二、標準正態(tài)分布當均值μ=0，標準差σ=1時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作X～N(0,1)標準正態(tài)分布的密度函數(shù)為若X～N(μ,σ2)，令（3.19b）（3.20）則Z～N(0,1)34E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布35E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布三、正態(tài)分布表(p466）的使用表示曲線底線即橫軸上的位置，用Z表示縱高Y，即曲線的高度，對于某Z0值縱高Y由（3.19b）式計算。在均值這點上，Z=0，Y=f(0)=0.3989圖中陰影部分面積，用P表示P{0＜Z≤Z0}

Z=1時，P=0.3413；Z=2時，P=0.4772;Z=2.5時，P=0.4938；Z=3時，P=0.498736E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布（一）應注意的兩個問題正態(tài)分布表只列出Z≥0所對應的縱高和面積。當Z≤0，可根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，在正態(tài)分布表中查出-Z所對應的面積和縱高即可。對服從正態(tài)分布X～N(μ,σ2)的變量x，先通過(x-μ)/σ化為Z值，即以標準差σ為單位的離均差后，才能查表。37E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布（二）使用舉例1、基本使用例3-11設x服從正態(tài)分布X～N(μ,σ2)，求以下的概率。

(1)

P{μ-σ＜x＜μ+σ}(2)P{μ-3σ＜x＜μ+3σ}(3)P{μ-1.84σ＜x≤μ+1.84σ}(4)P{μ-2.79σ＜x≤μ+2.79σ}38E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布解:首先將一般的正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布,再根據(jù)正態(tài)分布表以及上面兩個原則進行計算。

P{μ-σ＜x＜μ+σ}=P{-σ＜x-μ≤σ}=P{-1＜(x-μ)/σ≤1}=P{-1＜Z≤1}=2P{0＜Z≤1}=2*0.3413=0.6826(2)P{μ-3σ＜x＜μ+3σ}=P{-3＜Z≤3}=2P{0＜Z≤3}=2*0.4987=0.997439E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布40E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布

P{μ-1.84σ＜x≤μ+1.84σ}=P{-1.84＜Z≤1.84}=2P{0＜Z≤1.84}=0.9342(4)P{μ-2.79σ＜x≤μ+2.79σ}=P{-2.79＜Z≤2.79}=2*0.4987=0.994741E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布2、擴展使用（1）已知Z1和Z2，求P{Z1＜Z＜Z2}

例3-12隨機變量Z服從正態(tài)分布，求以下概率A:(a)P{0＜Z＜1.96}(b)P{-1.96＜Z≤0}B:(a)P{1＜Z≤1.96}(b)P{-1.96＜Z≤-1}C:P{-1.96＜Z≤1.96}D:P{Z＞1.96}E:P{Z≤1}解：從正態(tài)分布表中查得，當Z=1時，Z=1.96時所對應的P值分別為：P{0＜Z＜1}=0.3413P{0＜Z＜1.96}=0.47542E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布

A:(a)P{0＜Z＜1.96}=0.475(b)P{-1.96＜Z≤0}=P{0＜Z＜1.96}=0.475B:(a)P{1＜Z≤1.96}