第5章 回歸模型的函數(shù)形式

第二部分線性回歸模型Chp5：回歸模型的函數(shù)形式主要內(nèi)容雙對數(shù)模型或不變彈性模型半對數(shù)模型對數(shù)－線性模型——度量增長率線性－對數(shù)模型——解釋變量為對數(shù)形式倒數(shù)模型多項式模型零截距模型（過原點的回歸模型）小結(jié)問題的提出在很多時候，自變量的變化與應(yīng)變量并不是簡單的線性關(guān)系，如考慮某一段時間內(nèi)，某個經(jīng)濟(jì)變量增長率，如GDP增長率、貨幣供應(yīng)、失業(yè)率等，這就需要引入回歸模型的其他一些函數(shù)形式。在實際經(jīng)濟(jì)活動中，經(jīng)濟(jì)變量的關(guān)系是復(fù)雜的，直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。如著名的Cobb-Dauglas生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)為冪函數(shù)曲線形式、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的菲利普斯曲線（Pillipscuves）表現(xiàn)為雙曲線形式等。但是，大部分非線性關(guān)系又可以通過一些簡單的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系，從而可以運用線性回歸模型的理論方法。一、雙對數(shù)模型Doublelogmodel

——如何度量彈性考慮數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的例子：Y：數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)；X：家庭年收入上式可轉(zhuǎn)化為：

lnYi=lnA+B2lnXi模型特點：關(guān)于變量非線性。lnYi=lnA+B2lnXi如果令B1=lnA，則模型可以寫成lnYi=B1+B2lnXi為了進(jìn)行估計，可以將模型寫成lnYi=B1+B2lnXi+ui這是一個線性模型，因為參數(shù)是線性的，另外這個模型是對數(shù)形式變量線性的，因此稱這個模型是雙對數(shù)模型。雙對數(shù)模型的特性：模型參數(shù)是線性的，關(guān)于變量和；斜率B2度量了Y對X的彈性，即X的單位變動引起Y變動的百分比。因此，如果Y代表了商品的需求量，X代表了單位價格，E就是需求的價格彈性。圖5-1雙對數(shù)模型的假設(shè)檢驗雙對數(shù)模型的假設(shè)檢驗與線性模型的檢驗方法沒有什么不同。5.2線性模型與雙對數(shù)回歸模型的比較（1）根據(jù)彈性定義公式，我們可以得出這樣的結(jié)論：對于線性模型，彈性系數(shù)是一個變量；對于對數(shù)模型，其彈性系數(shù)為一常量。（2）對于線性模型，Y對X的彈性可以表示為:

可見線性模型給出的是點彈性，我們可以通過計算平均彈性系數(shù)來給出線性模型的區(qū)間彈性：5.3多元對數(shù)線性回歸模型多元對數(shù)線性回歸模型

lnYi=B1+B2lnX2i+B3lnX3i+ui其中，B2,B3又稱為偏彈性系數(shù)，它們度量了在其他變量保持不變條件下，應(yīng)變量對某一解釋變量的偏彈性。例5-2：柯布－道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)反應(yīng)了產(chǎn)出與勞動力和資本投入之間的關(guān)系函數(shù)。勞動投入彈性+資本投入彈性＝規(guī)模報酬參數(shù)（1）規(guī)模報酬遞增—規(guī)模報酬參數(shù)>1（2）規(guī)模報酬遞減—規(guī)模報酬參數(shù)<1（3）規(guī)模報酬不變—規(guī)模報酬參數(shù)=1例5-3：對能源的需求(P107)例5-4：以時間t作為解釋變量模型—增長模型我們來研究一下在貨幣、銀行及金融等課程中介紹過的復(fù)利計算公式：等式兩端取對數(shù)：二、半對數(shù)模型(semilogmodel)

對數(shù)－線性模型——測量增長率根據(jù)前面的式子，我們可以建立下面的半對數(shù)回歸模型：

在線性模型中，B2表示X增加一個單位，Y的絕對量的平均增量，即Y增加B2個單位。在半對數(shù)模型中，B2表示X增加一個單位，Y的相對量的平均增量，即Y增加100*B2%。回歸結(jié)果解釋：斜率0.0107表示，平均而言ln（Y）（美國人口）的年增長率為0.0107，即Y以每年1.07%的速度增長。半對數(shù)模型中斜率度量的是解釋變量的絕對變化引起Y相對變化。把這個相對改變量0.0107乘以100，就得到增長率，本例中的增長率為1.07%。正因為如此，半對數(shù)模型有稱為增長率模型，可以用來度量變量的增長率，包括經(jīng)濟(jì)和其他非經(jīng)濟(jì)變量的增長率。半對數(shù)模型的截距解釋：本例中b1=lnY0=5.3593，取其反對數(shù)得

Y0=212.5761即為當(dāng)t=0時Y的取值，就是Y的初期值（1975年）。（1）瞬時增長率和復(fù)合增長率復(fù)合增長率

b2=ln(1+r)r=eb2-1一旦計算出b2，復(fù)合增長率r就可以求出了，書上的例子中美國人口年復(fù)合增長率為R=antilog（0.0108）-1=1.0757%，但前面求得的增長率為1.07%，區(qū)別在哪里？1.07%是某時點上的瞬時增長率，1.0757%是一段時間內(nèi)的復(fù)合增長率。（2）線性趨勢模型模型稱為線性趨勢模型。該模型中t是時間變量，即Y對時間t的回歸。t稱為趨勢變量。

斜率>0,稱Y有向上的趨勢；斜率<0,稱Y有向下的趨勢。回歸結(jié)果表明：樣本期內(nèi)，美國人口以2.757百萬的絕對速度增長，美國人口表現(xiàn)出上升的趨勢。截距表示的是t=0時的美國人口（1974年），210百萬。實踐中，增長率模型更實用些，因為人們更加關(guān)注經(jīng)濟(jì)變量的相對變化而不是絕對變化。下面的半對數(shù)模型稱為線性—對數(shù)模型：

B2的含義為：X的相對變化引起的Y的絕對量變化量；即表示自變量的一個單位相對增量引起因變量平均的絕對增量。5.5線性-對數(shù)模型模型：解釋變量是對數(shù)形式線性-對數(shù)模型常用于研究解釋變量每百分比變動引起應(yīng)變量的絕對變化量。5.6倒數(shù)模型(ReciprocalModel)：倒數(shù)模型的特征：隨著X的無限增大，Y接近漸近值或極限值B1三種常見形式：例：5-6：美國的菲利普斯曲線年份Y（小時收入指數(shù)）X（城市失業(yè)率）年份YX195819591960