第7章 平均數(shù)差異的顯著性檢驗

第七章 平均數(shù)差異的

顯著性檢驗回顧樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之間差異的假設(shè)檢驗又叫做總體平均數(shù)的顯著性檢驗。如果某個樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的差異達(dá)到了顯著性水平就可以推翻零假設(shè)，認(rèn)為這個樣本不是來自該總體，而是來自其他總體；如果這個樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的差異未達(dá)到顯著性水平，則要接受零假設(shè)，這時就得承認(rèn)這個樣本來自該總體。展望本章將介紹如何由兩個樣本平均數(shù)之差檢驗兩個相應(yīng)總體平均數(shù)之差的顯著性。如果某兩個樣本平均數(shù)之間的差異達(dá)到了一定的限度，即達(dá)到了顯著性水平，就可以認(rèn)為這兩個樣本來自不同的總體，或者說，這兩個樣本各自所代表的總體之間有真正的差異；如果兩個樣本平均數(shù)之間的差異不顯著，則可以認(rèn)為，這兩個樣本平均數(shù)之間的差異是由抽樣誤差造成的，它們所來自的總體的平均數(shù)相等或就來自同一個總體。第一節(jié) 平均數(shù)差異顯著性檢驗的基本原理一、基本原理兩個樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗與一個樣本平均數(shù)顯著性檢驗道理相同。步驟：假設(shè)檢驗一般都要從提出零假設(shè)和備擇假設(shè)開始。然后，分析在零假設(shè)成立的情況下某個統(tǒng)計量的概率分布的形態(tài)。實驗從兩個總體中分別抽取一個樣本，計算完兩個樣本平均數(shù)的差之后，把樣本放回各自的總體，再分別抽取一個樣本，計算第二次抽樣的樣本平均數(shù)之差，然后放回各自的總體，再做第三次抽樣……這種抽樣可以一直進(jìn)行下去。（第一次抽樣）（第二次抽樣）（第三次抽樣）數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的研究表明，假若那么兩個樣本平均數(shù)之差的概率分布就是以0為中心的正態(tài)分布：概率保留區(qū)間0.950臨界值臨界值要實際地判斷樣本平均數(shù)的差異是否落入了零假設(shè)的拒絕區(qū)域里，需要以該抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差，即平均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤為依據(jù)。二、平均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤（相關(guān)總體）（相關(guān)樣本）兩個樣本平均數(shù)差的抽樣誤差稱為平均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤，用一切可能的樣本平均數(shù)之差在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差來表示。（獨立總體，r=0）（獨立樣本，r=0）表示第一個變量總體方差表示第二個變量總體方差表示第一個與第二個變量的相關(guān)系數(shù)n表示樣本容量表示第一個變量樣本方差表示第二個變量樣本方差對兩個總體平均數(shù)差異的顯著性檢驗涉及到兩個總體，要考慮到如下五個因素：樣本是相關(guān)的還是獨立的；總體是正態(tài)分布還是非正態(tài)分布；總體方差是已知還是未知；總體方差是否齊性；樣本的大小。第二節(jié) 相關(guān)樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗定義：兩個樣本內(nèi)個體之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，這兩個樣本稱為相關(guān)樣本。（1）用同一測驗對同一組被試在試驗前后進(jìn)行兩次測驗，所獲得的兩組測驗結(jié)果是相關(guān)樣本。 （2）根據(jù)某些條件基本相同的原則，把被試一一匹配成對，然后將每對被試隨機地分入實驗組和對照組，對兩組被試施行不同的實驗處理之后，用同一測驗所獲得的測驗結(jié)果，也是相關(guān)樣本。相關(guān)樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗方法和步驟：（一）提出假設(shè)（二）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值。在小樣本的情況在大樣本的情況（三）確定檢驗形式包括雙側(cè)檢驗、左側(cè)檢驗和右側(cè)檢驗（四）統(tǒng)計決斷當(dāng)進(jìn)行t檢驗時，df=n-1。一、配對組的情況例如：有人做了一項分散識字教學(xué)法與集中識字教學(xué)法的比較實驗。根據(jù)研究的需要，實驗之前先將被試配成對。為了控制無關(guān)因素的干擾，配對時研究者考慮了被試以下幾方面的情況：智力水平、努力程度、識字量多少及家庭輔導(dǎo)力量等，然后按照各方面條件基本相同的原則，將學(xué)生配成了10對，再把每對學(xué)生中的一個隨機地指派到實驗組，另一個指派到對照組。兩組學(xué)生分別接受用不同的教學(xué)法進(jìn)行的教學(xué)。經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)之后，兩組學(xué)生接受統(tǒng)一的測試，結(jié)果如表7.1所示?，F(xiàn)在問，兩種識字教學(xué)法是否有顯著性差異？表7.110對學(xué)生在兩種識字教學(xué)法中的測驗分?jǐn)?shù)和差數(shù)組別實驗組對照組差數(shù)值

12345678910937291658177898473707674805263628285647217-2111313157-19-22894121169324225401814總和795710851267解：1.提出假設(shè)2．計算檢驗的統(tǒng)計量3．確定檢驗形式雙側(cè)檢驗4．統(tǒng)計決斷因為是t檢驗，所以要根據(jù)自由度df=n-1=10-1=9查t值表(即附表2)，找雙側(cè)檢驗的臨界值。p<0.01，所以，在0.01的顯著性水平上拒絕零假設(shè)，接受備擇假設(shè)。即可得出小學(xué)分散識字教學(xué)法與集中識字教學(xué)法有極其顯著的差異的結(jié)論。又如：某小學(xué)為了更有效地訓(xùn)練中年級學(xué)生掌握有關(guān)計算機操作的基本技能，特對兩種訓(xùn)練方法的有效性進(jìn)行了比較研究。在四年級學(xué)生中，根據(jù)智力水平、興趣、數(shù)學(xué)和語文成績，以及家庭中有無學(xué)習(xí)計算機的機會等有關(guān)因素都基本相同的條件下，將學(xué)生匹配成34對，然后把每對學(xué)生拆開，隨機地分配到不同的訓(xùn)練組中，經(jīng)訓(xùn)練后，兩組學(xué)生考核的分?jǐn)?shù)如下，問兩種不同的訓(xùn)練方法是否確實造成學(xué)習(xí)效果上的顯著性差異？解：1.提出假設(shè)2．計算檢驗的統(tǒng)計量3．確定檢驗形式雙側(cè)檢驗4．統(tǒng)計決斷Z=6.031**>2.58，P<0.01所以，要在0.01的顯著性水平上拒絕零假設(shè)，接受備擇假設(shè)。二、同一組對象的情況例子：某小學(xué)在新生入學(xué)時對28名兒童進(jìn)行了韋氏智力測驗，結(jié)果平均智商=99，標(biāo)準(zhǔn)差=14，一年后再對這些被試施測，結(jié)果平均智商=101，標(biāo)準(zhǔn)差=15，已知兩次測驗結(jié)果的相關(guān)系數(shù)r=0.72，問能否說隨著年齡的增長與一年的教育，兒童智商有了顯著提高？解：1.提出假設(shè)2．計算檢驗的統(tǒng)計量3．確定檢驗形式左側(cè)檢驗4．統(tǒng)計決斷當(dāng)df=27時， t=0.954<1.703，P>0.05所以，要保留零假設(shè)，即一年后兒童的智商沒有顯著地提高。第三節(jié) 獨立樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗定義：兩個樣本內(nèi)的個體是隨機抽取的，它們之間不存在一一的對應(yīng)關(guān)系，這樣的兩個樣本稱為獨立樣本。一、獨立大樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗都大于30的獨立樣本稱為獨立大樣本。獨立大樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗所用的公式是：兩個樣本容量如假設(shè)某小學(xué)從某學(xué)期剛開學(xué)就在中、高年級各班利用每周班會時間進(jìn)行思想品德教育，學(xué)期結(jié)束時從中、高年級各抽取兩個班進(jìn)行道德行為測試，結(jié)果如下表所示，問高年級思想品德教育的效果是否優(yōu)于中年級？年級人數(shù)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差高9080.5011中100

76.0012解：1.提出假設(shè)2．計算檢驗的統(tǒng)計量3．確定檢驗形式右側(cè)檢驗4．統(tǒng)計決斷Z=2.69>2.33，P<0.01所以，要拒絕零假設(shè)，接受備擇假設(shè)，由此得出結(jié)論：高年級思想品德教育的效果極顯著地優(yōu)于中年級。二、獨立小樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗均小于30，或其中一個小于30的獨立樣本稱為獨立小樣本。獨立小樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗方法：兩個樣本容量1、方差齊性時方法和步驟：如果兩個獨立樣本的總體方差未知，經(jīng)方差齊性檢驗表明兩個總體方差相等，則要用匯合方差來計算標(biāo)準(zhǔn)誤，公式為：如：有人在某小學(xué)的低年級做了一項英語教學(xué)實驗，在實驗的后期，分別從男女學(xué)生中抽取一個樣本進(jìn)行統(tǒng)一的英語水平測試，結(jié)果如下表所示。問在這項教學(xué)實驗中男女生英語測驗成績有無顯著性差異？（假定方差齊性）性別人數(shù)平均數(shù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差男女252892.295.513.2312.46解