《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課后習(xí)題及答案解析(上)

學(xué)院 班級(jí) 名 號(hào) PAGEPAGE122概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 作業(yè)第一章 隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件一、寫(xiě)出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：（5k1n0，1，2，…，100，n個(gè)人分?jǐn)?shù)之和的可能取值為012100n，平均分?jǐn)?shù)的可能取值為kS{,n

0,1,2,L,100n}.SL；S.角，則Sxy|x2y2.4．S{x1,x2,x3}|x2x3x2x3二標(biāo)3次，表示第i次擊目i及算：擊目擊目?jī)蓳裟拷鈸裟浚恢辽贀裟縐U；恰好兩擊目UU.中乙丙A、B、C分求．1；2、；．一；．；5．少訂；6．．解：1.“只訂甲報(bào)”=ABC；2.“只訂甲、乙兩報(bào)”=ABC；3.“只訂一種報(bào)紙”=ABCUABCUABC

；4.“正好訂兩種報(bào)紙”=ABCUABCUABC；5一=AUBUC；6=ABC．四、設(shè)樣本空間S{x|0x2},事件A{x|0.5x1},B{x|0.8x1.6}具體寫(xiě)出下列各事件：1．AB 2．AB解：1ABx|0.8x

AB

AUB2．AB{x|0.5x3ABx|0x0.5或0.8x4AUBx|0x0.5或1.6x．五袋155取四抽表示“第i次取”iB3球試：4 1．AU；2．A；3．B；4．U.i1解：1．A：至少有一次取到白球；A：沒(méi)B：最U：、球.隨機(jī)事件的概率一、填空題：已知事件AB的概率分別P)0.7,P(B)0.6PAB)0.4則P(AUB)；P(AB)；P(AUB)；P(AUB)；P(；P(AUAB)．解：P(AUB)P(A)P(B)P(AB)0.9P(AB)P(A)P(AB)0.70.40.3P(AB)P(AB)1P(AB)10.40.6P(AB)P(AB)1P(AB)1[P(A)P(AB)]=1–0.3=0.7P(AB)P(B)P(AB)=0.2P(AAB)P(A)P(AB)P()=0.9100件某8品，，5件，至有2件品概率．1001001005件共有C5種本數(shù)為C5，100100事件A有2，B件，C件次且BC則ABC，基事件數(shù)為C0C5CC4，故C0C5

C1C

892 892C5P(1P(1P(B)P(C)1892 89210.950.05C5100二5第的的（求此5出的多解：設(shè)A5出，57有75，基75本事件總數(shù)為75，而事件A所包含的基本事件為C5A5，故75C5A5P(A)750.149975三、10張卡片上各標(biāo)有數(shù)字0,1，L，9.從中任取3張，求下列事件概率：A：“取出的3張中，最大標(biāo)數(shù)為5”；B：“將取出的3張的標(biāo)數(shù)按從小到大的順序排列，中間的一個(gè)數(shù)字恰是5”.N(C2 1解：已得，P( 5C12N(S)C12N(B)

310C1C1 1P(B) 54C610N(S) 3C610四、甲、乙兩艘油輪駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘油輪的碼頭，它們都將在某日8時(shí)至2012設(shè)820毎一時(shí).、都；A、A不，P.（設(shè)Y分、刻則Y間,120X12任意一個(gè)值，即0Y

，而兩輪都不需要空出碼頭（用A表示）的充要條件是：Y–X≥1X–Y≥2角（兩輪都不需要空出碼頭的時(shí)間如圖中陰影部分所示這是一個(gè)幾何概率問(wèn)題所以P(A)121100221．288 288 288201898891820（2）A，201898891820條件概率與乘法公式一、選擇題：( ).

為隨機(jī)事件P1，P(B|A1，PA|B1PAUB)=4 2 318

14

38

12解：Q

P(AUB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B|①又 QP(AUB)P(P(B)P(B)P(A|B). ②由①，②式可得

11P(B)P(P(B|4 23P(A|B) 1 83所以 P(AUB)P(P(B)P(A)P(B|A)131114 8 4 2 2

選D.設(shè)A、B為兩隨事且P(A|B)P(B)0，（ ）.（A）P(AUB)P(（B）P(AUB)P(B)（C）P(AUB)P(（D）P(AUB)P(B) 解：由P(A|B) P(B) 0， 可得P(A|B) 1,P(B)即 P(AB)P(B)，所以，

PAUBPP(BPABP， C.設(shè)A、B互為立件且P(0,P(B)0，則列式錯(cuò)的（ ）.（A）P(B|A)

P(A|B)

P(AB)

P(AUB)1解：、互為

AB,

P(AB)P()0，P(B|A)P(BA)P(A)P(AB)P(A)1

選A.二、填空題：

P(A)

P(A)

P(A)1．知P(0.4,P(B)P(AB)0.5,，則P(B|AUB)．P(B(AUB))：P(B|AUB) P(AUB) P(BAUBB) P(A)P(B)P(AB)

P(AB)P(A)P(B)P(AB) P(P(AB)

0.6

0.10.125P(P(B)P(AB)

0.60.70.5 0.82．某人有一筆資金，他投入基金的概率為0.58，購(gòu)買(mǎi)股票的概率為0.28，兩項(xiàng)投資都做的為0.19，知已購(gòu)股，投基的概為 ．AB，則AB資都，A表示，定義得P(A|B)P(AB)0.190.6786P(B) 0.28從抽件一的．Ai產(chǎn)品是i，i,則1,2,3率為P(A|AUA)P((U))

P(A1)1 1 2

P(AUA) P(A)P(A)1 2 1 2 0.60.60.3

2．3四、某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，求他撥號(hào)不超過(guò)三次而接通所需電話的概率。解法1Aii次號(hào),2,3.設(shè)A3次撥電則有 A1U12U123,1因A1,A1A2,A1A2A3兩兩互不相容，且P(A1)10，P(AA)P(A|A)P(A)1

1，12 2 1

910 101P(AAA)P(A|AA)P(A|A)P(A)189 ，1123 3 12 2 1

8 910 101 1 1 3即有 P(P()P()P() .10 10 10 102解1知P(A)1P(撥號(hào)3次都接不通)1P(A1A2A3)1P(A|AA)P(A|A)P(A)17893.3 12 2 1

8 910 10五百成驗(yàn)5件若品中發(fā)現(xiàn)出廠今100件6大？解Aii為i=1,2,3,4,5，以出的A1A2A3A4A5，∴P(A1A2A3A4A5)=1–P(A1A2A3A4A5)=1–[P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)P(A5|A1A2A3A4)]=1

9493929190=0.27110099989796解法：設(shè)A出=一為，利用對(duì)立事件的概率公式及古典概率公式，C5C6P(1P(A)19410.9290.271C6100六、10名學(xué)生入圍知識(shí)競(jìng)賽決賽，共有20道競(jìng)賽題，其中數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、歷史學(xué)科分別為4，6，10道題，每人隨機(jī)抽取2道題，求：1．3號(hào)學(xué)生抽到英語(yǔ)題的概率．2．3號(hào)學(xué)生抽到2道英語(yǔ)題，5號(hào)學(xué)生抽到一道英語(yǔ)題與一道歷史題的概率．A3B32，C5一，C2C1C1C21.P(6 6140.5211C220C2CC2另P1P1140.5211；C220C2C1C12.P(BC)P(B)P(C|B)64100.021；C2 C220 18C1C1 C2另解：P(BC)P(C)P(B|C)61050.021C2 C220 18130130全概率公式和貝葉斯公式小204二87四級(jí)1任選能．解：設(shè)A為，i為i級(jí)，i,4)，則B(i2,34)為一.P(B4P(B

8,P(B)7,P(B)1i 1 20

2 20 3 20

4 20因此，

P(P(Bi)P(A|)0.9440.7440.780.570.2120202020

0.645二、袋中裝有12個(gè)乒乓球，9個(gè)是新的，3個(gè)是舊的，第一次比賽時(shí)任取3個(gè)使用，比賽后仍放回袋中，第二次比賽時(shí)再?gòu)拇腥稳?個(gè)球：次是新概率是新到．次驗(yàn)次，A3球含i個(gè)新球”i=0，1，2，3。A0，A1，A2，A3構(gòu)成一個(gè)完備事件組，易求得

C3P(A0)3C3

1220

C2C1,P(A1)39C3

27220

C1C2,P(A2)39C3

27 C3,P(A3)955 C3

21,5512 12 12 12C3P(B|A0)9C3

21 C3,P(B|A1)855 C3

14 C3,P(B|A2)755 C3

7 C3 1,P(B|A3)644 C3 11

12 12 12 123 C3 C3 C2C1 C3 C1C2 C3 C3 C3P(B)=P()P(B|)3939839796i0

C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C312 12 12 12 12 12 12 121

2714277

211

(21)2

441

0.145822055 22055 5544 5511 55 3025211P

|B)P(A3)P(B|A3)551153 P(B)

(21)2 2155三、兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件，第一臺(tái)的廢品率為0.03，第二臺(tái)的廢品率為0.02，加工出來(lái)的零件放在一起，且已知第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)加工的多一倍．．PAGEPAGE131，它機(jī)的．解：1.設(shè)A為，1臺(tái)零，2機(jī)的PAP(B1)PA|P(B2)PA|)20.0310.020.027,3 3故 P(10.0270.973.

10.022.P(B

|A)P(B2)P(A|)3 1.2 P(

10.08 43四、分AB去時(shí)，AB的為0.02，BA概率0.01，AB的2:1.到的A，A的多少？BBAB，CAA下，A”=A|C，給出的：P(C|A)=1–0.02=0.98，P(C|B)=0.01利用全概率公式先求得，P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)20.9810.013 3根據(jù)貝葉斯公式知P(A|C)=P(P(C|P(C)

20.98 P(A)P(C|A) P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)

320.9813 3

1960.9949197五、設(shè)有來(lái)自三個(gè)地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別3份75份報(bào)表，中取：1．的．2．已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率． 學(xué)院 班級(jí) 名 號(hào) 解：設(shè)Hi表示報(bào)名表是第i個(gè)地區(qū)考生的(i=1,2,3)，Aj表示第j次抽到的報(bào)名表是男生表(j=1,2)，則事件“先抽取的一份是女生表”可表示為A1，事件“已知后抽到的一份是男生表，而先抽到的一份是女生表”可表示為A1|A2(1)P(H)=P(H)=P(H)=1，H，H，H

構(gòu)成一個(gè)完備事件組，31 2 3 1 2 33P(A

|H)=7； P(A

)=8； P(A|H)=201 1

1 2 15 2513 3 13由全率式，P()= P(Hi)P(|Hi)i1

1(33

715

5)2925 901 (2)PA|AP需PAPAA，1 P(A2)

2 12在三個(gè)不同的地區(qū)下，分別用全概率公式求P(A2|Hi),i1,2,3P(A|H)P(A|H)P[(A|A)|H]P(A|H)P[(A|A)|H]

7637721 1 1 2 1 1 1 1 2 1

109 109 10P(A|H)P(A|H)P[(A|A)|H]P(A|H)P[(A|A)|H]

8778=822 1 2 2 1 2 1 2 2 1

1514 1514 15P(A|H)P(A|H)P[(A|A)|H]P(A|H)P[(A|A)|H

]2019520=423 1 3 2 1 3 1 1 2 1

2524 2524 5再利用由全概率公式求P(A2)，得3 17 8 4 61P(A2)=P(Hi)P(|Hi) ( )i1

310 15 5 90在三個(gè)不同的地區(qū)下，分別用乘法公式求P(A1A2|Hi),得P(AA|H)

37

7 7 8，P(AA|H)=

4 ，P(AA|H)=

201121

109

1 2 1514

123

2524 6再利用全概率公式求P(A1A2)，得 3

17 4 1 20P(A2)=P(Hi)P(|Hi)

)i1

330 15 6 90因此，P(A|A)P(A1A2)9020．1 2 P(A

61 612 90事件的獨(dú)立性一、選擇題：于意事件A和B．( ).（A）若AB，則B一獨(dú)立. （B）若AB，則B有可能獨(dú)立.（C）若AB，則B一獨(dú)立. （D）若AB，則B一獨(dú)立.解：若P(A),P(B)中至少有一個(gè)為0時(shí)，則（A）不成立；若P(A),P(B)均大于0時(shí)，則（C）不立若若AB，但P(A),P(B)中至有為0時(shí)則A與B獨(dú)，因此（D）也成。 選B.設(shè)A，B三個(gè)件兩立則A，B相互立充必要件是( ).（A）A與BC獨(dú)立. （B）AB與AUC獨(dú).（C）AB與AC獨(dú)立. （D）AUB與AUC獨(dú)立.解：必要性：A，B，C相互獨(dú)立，則P(ABC)P(A)P(B)P(C),而P(BC)P(B)P(C),所以P(ABC)P(A)P(BC),即A與BC獨(dú)立.充分性ABC獨(dú)立.，即PABCPA)P(BC，ABC三個(gè)事件P(BCP(B)P(C即PABCPA)P(B)P(CABC相互獨(dú)。 選A.二、證明：若P(A)1，則A與任意事件B相互獨(dú)立．證明：因?yàn)锳AUB,P(A)P(AUB)1,又因?yàn)镻(A)1，得P(AUB)1利用一般加法公式，

P(AUB)P(A)P(B)P(AB)得，11P(B)P(AB)，即P(B)P(AB)再利用乘法公式，得P(B)P(A)P(B|A)P(B|A)，所以A與任意事件B相互獨(dú)立．三、號(hào)，信號(hào)時(shí)，就發(fā)個(gè)號(hào)分0.980.95，能出.解個(gè)號(hào)能分A題設(shè)出P(A)=0.98,P(B)=0.95那么件失時(shí)裝能發(fā)報(bào)信”表為A∪B，利一加式P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB) （A，B互立）=P(A)+P(B)–P(A)P(B)=0.98+0.95–0.98×0.95=0.999解法2，設(shè)兩個(gè)信號(hào)發(fā)生器能起作用的事件分別記作A、B，且A，B相互獨(dú)立，題設(shè)給出P(A)=0.98,P(B)=0.95那么事件“失事時(shí)該裝置能發(fā)出報(bào)警信號(hào)”可表示為A∪B，利用獨(dú)立事件的和事件的概率計(jì)算簡(jiǎn)化公式，得：P(AUB)1P(A)P(B)10.020.050.999四、若干人獨(dú)立地向同一游動(dòng)目標(biāo)射擊，每人擊中目標(biāo)的概率都是0.6，問(wèn)至少需要多少人，才能以0.99以上的概率擊中目標(biāo)？至少需要n才0.9上標(biāo).令A(yù)標(biāo)中，i表示“第i人擊中目標(biāo)，i,L

則AA1UA2ULUAn,且

A1,A2,L,An相互獨(dú)立.,L得P(1P(UULU)1P(L)1P(A)P(A)LP(A)1(10.6)n10.4n1 2 n問(wèn)題化成了求最小的n，使10.4n0.99，解此不等式，得nln0.015.026ln0.4所以，最小的n應(yīng)為6，即至少需要6人射擊，才能保證擊中目標(biāo)的概率在0.99以上。五、加工一個(gè)產(chǎn)品要經(jīng)過(guò)三道工序，第一、二、三道工序不出廢品的概率分別為0.9、0.95、0.8，若假定各工序是否出廢品為獨(dú)立的，求經(jīng)過(guò)三道工序而不出廢品的概率。解：設(shè)事件A,B,C分別表示為第一、二、三道工序不出廢品，依題意，A,B,C相互獨(dú)立，并且

P(A)0.9,P(B)0.95,P(C)0.8,則有P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.684六機(jī)一當(dāng)一機(jī)另一機(jī)組能在的85%機(jī)0.1，且它．的；機(jī)能概率．解：設(shè)i表示“有i臺(tái)機(jī)，i,2.則012構(gòu)成樣本空間的劃分.又設(shè)B1,B2分別表示甲、乙兩臺(tái)機(jī)組出故障，C表示“能保證城市用電”.由獨(dú)立性有P(A0)P(B1B2)P(B1)P(B2)0.90.90.81,P(A1)P(B1B2UB1B2)P(B1)P(B2)P(B1)P(B2)0.10.90.90.10.18,P(A2)P(B1B2)P(B1)P(B2)0.10.10.01,于是（1）P(CP)P(C|P)P(C|P)P(C|)0.8110.180.850.0100.963.此處，由題意認(rèn)為P(C|A2)0.1 （2）P(C|AUA)P(UA2C1 P(A1UA2)且A1與A2不相容以及P(A2C)P(A2)P(C|A2)0,從而P(C|U)

P(A1C)P(AUA

P()P(C|)P(A)P(A)1 2 1 20.180.850.805.0.180.01自測(cè)題（第一章）一、（315分于意事件A和B，與AUBB不等的（ ）.（A）AB （B）BA（C）AB （D）解：由圖示法易見(jiàn)AUBB與AB，BA，AB均等價(jià)，但與AB不等價(jià)。選D甲兩下勝概為乙的為設(shè)A為甲，B為乙則甲勝輸概為（ ）.（A）0.60.6解：依題意，易得

（B）0.60.6

（C）0.6

（D）0.6選D當(dāng)件A與B同發(fā)，事件C必生則（ ）.（A）P(C)P(P(B)1 （B）P(C)P(P(B)1（C）P(C)P(AB) （D）P(C)P(AUB)解：依題意ABC,故P(AB)P(C)，即P(C)P(AB)P(A)P(B)P(AUB)P(A)P(B)1.選B事件AB，則（）.（A）P(AB)0 （B）P(AB)P(A)P(B)（C）P(1P(B) （D）P(AUB)1解：因?yàn)槭录嗀與事件B互不相容，故AB,P(AB)P()0,P(AUB)1P(AB)1.選D將一枚硬幣獨(dú)立擲次，引進(jìn)事件：{擲第一次出現(xiàn)正面}，={擲第二出現(xiàn)面}，={正反出現(xiàn)次}，={正出次}，事（ ）.（A）相互獨(dú)立 （B）相互獨(dú)立（C）兩兩獨(dú)立 （D）兩兩獨(dú)立1 1 2 1 解：P(A1)2,P(A2)2,P(A3)42,P(A4)1 1 2 1 P(AA)P(A)1,P(AA)P(AA)1,P(AAA)P()0.12 4

13 23

123計(jì)算看出P(A1A2)P(A1)P(A2),P(A1A3)P(A1)P(A3),P(A2A3)P(A2)P(A3),但是P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).因此事件A1,A2,A3兩兩獨(dú)立，但不相互獨(dú)立.由于事件A2A4,故A2與A4不獨(dú)立.選C二、空（3,15分A、B、C代表件，“A、B、C至有個(gè)生可表為 解：題，得ABUBCUAC兩的AB都的1B的B發(fā)9生A不生概相，則P(= ．解：依題意：P(AB)P(AB)，故P(AB)P(AB)P(AB)P(AB).即 P(A)=P(B)，又因A與B獨(dú)立故A與B亦獨(dú).P(AB)P(A)P(B)[P(1P(1,P(2.9 3 31 3．設(shè)B,C是隨機(jī)事件，A、C互不相容，P(AB) ,P(C) ，則1 P(AB|C)．

2 310PAB|CPABC)PABPABC)2

3.P(C)

1P(C)

11 43目第射擊率別為0.4,0.5,0.7，則在次擊恰一擊中標(biāo)概為 ．解：設(shè)Ai"第i次射擊命中目標(biāo)",i1,2,3,A1,A2,A3相互獨(dú)立，事件“三次射擊有一次

A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3,且知

A1A2A3互斥，則P(A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3)0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36.AB、CABCPA)P(B)P(C)12P(AUBUC)916

，則P(A) ．解：利用三個(gè)事件的和事件的概率公式，P(AUBUC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)3P(A)3P2(A)916P(A)14（注AB、CAB、C）三、（打“√”，的”，毎2分,10）:AB兩，何事件CACBC．[√]率零事不可事． []AB兩，PAAB)PAPAB)

． [√]設(shè)A表事件足球動(dòng)則立件A表示女球動(dòng)員”． []設(shè)P(A)0且B為一則A與B互不相獨(dú)立． []四（6分從2,3,3,344,56106取的4的概率．這是等可能的，設(shè)A表示“取到的最大數(shù)是4

N(S)C6，1026 2N(A)C1C5C2C4，利用古典概率公式，P(1026 270五（10）P)P(B)0.3PA|B)0.2,求1.P(AUB)

P(AB)

P(A|B)．

111六（6）3獨(dú)地破譯個(gè)碼他能譯的率別為 ,,534共同破譯的概率是多少？i第i人破譯出密碼i3，123，則事件“共同破譯出密碼”=A1UA2UA3

若讓他們利用獨(dú)立事件和事件概率計(jì)算簡(jiǎn)化公式有P(AUAUA)1P(A)P(A)P(A)142330.61 2 3 1 2

534 5七（10分一品率4%，今的驗(yàn)檢是品而為的認(rèn)是正品的．解：設(shè)A“件PA)=.9，PA0.04，A構(gòu)組，設(shè)，知P(B|A)1P(B|A)10.020.98,P(B|A)0.05，利用全概率公式，有P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.960.980.040.05Ａ｜Ｂ＝“通過(guò)這種檢驗(yàn)認(rèn)為是正品的一個(gè)產(chǎn)品確實(shí)是正品”利用貝葉斯公式得P(A|B)P(A)P(B|A)0.960.980.998P(B) 0.9428（10的號(hào)三地的元件數(shù)量各占24%，30%，46%，且它們的合格率分別為94%，96%，98%.若，到的少？，該B取的，123分乙丙三地構(gòu)S的易知0.24P0.30P0.46,P(B|A1)0.94,P(B|A2)0.96,P(B|A3)0.98.于是33P(B)P()P(B|)0.240.940.30.960.460.980.9644i1故若取一元件，取到的是合格品的概率是96.44%.P(A|B)P(A1)P(B|A1)0.240.060.240.060.40451 P(B)

1P(B)

10.9644P(

|B)P(A2)P(B|A2)0.30.040.33712 P(B)

0.0356P(

|B)P(A3)P(B|A3)0.460.020.25843 P(B)

0.0356140140由計(jì)算結(jié)果知：P(A1|B)P(A2|B)P(A3|B)所以這個(gè)不合格元件最有可能是來(lái)自甲地.九（10）10件廠第一2測(cè)為出廠，1為的的和2廠．解：設(shè)Ci"第i道檢驗(yàn)合格",i1,2，C1,C2相互獨(dú)立，則事件“這批產(chǎn)品能出廠”可表示為C1C2，P(C1C2)P(C1)P(C2)又設(shè)Ai"第一次檢驗(yàn)的兩件產(chǎn)品含i件不合格品"，i0,1,2。題設(shè)中已知C2CP(A0)2C2

1 C1C1,P(A1)2845 C2

16 C2,P(A2)845 C2

28,4510 10 10P(C|A)0.012,P(C|A)0.950.01,P(C|A)0.9521 0 1 1 1 2由全概率公式，有P(C1)P(A0)P(C1|A0)P(A1)P(C1|A1)P(A2)P(C1|A2)0.5649再設(shè)Bi"第2次檢驗(yàn)的1件產(chǎn)品含i件不合格品"，i0,1。題設(shè)中已知C1CP(B0)2C1

1 C1,P(B1)845 C14

5,P(C1|B0)0.01,P(C1|B1)0.95,10 由全概率公式，有P(C2)P(B0)P(C2|B0)P(B1)P(C2|B1)0.762，綜上，有P(C1C2)P(C1)P(C2)0.56490.7620.4305十（8設(shè)0PAP(B)PA|BPA|B)AB相互獨(dú)立．證明：因?yàn)镻(A|B)P(A|B)1，得P(AB)1P(A|B)P(A|B)P(AB)P(P(AB)P(B)

P(B)

1P(B)P(AB)P(AB)P(B)P(A)P(B)P(B)P(AB)P(AB)P(A)P(B)所以，事件A與B相互獨(dú)立．PAGEPAGE141第二章 隨機(jī)變量及其分布2.1—2.2 離散型隨機(jī)變量的概率分布一、選擇題:X

k}ak,k．則a=（ ）.（A）0.05 （B）0.1 （C）0.2 （D）0.254 P{Xkak10a1，得a4 k1

k1選B某人目標(biāo)標(biāo)的p(0p，則此人第4射恰第2次中目的率（ ）.（A）3p)2 （B）6p)2（C）3p2p)2 （D）6p2p)23解：第四次射擊恰好第二次擊中目標(biāo)，也就是說(shuō)前三次射擊只擊中一次，且第四次射擊擊中目標(biāo)，前三次擊中一次，概率為C1p(1p)2，第四次射擊恰好第33二次擊中概率為：C1p2(1p)23p2(1p)2.3選C二、填空題：X數(shù)為p的分變量Y服從參數(shù)為p的分，5若P{X1} ，則1}．59解：P{X1}1P{X0}1(1p)2. 方程1(1p)25 得 1p2，p1.9 3 310}1(1p)31

23 19()3 ()X布且

．X布則P{Xk

ke，k!因

2}，得2，所以，P{X3}4e2.3三、裝2000同，一0.0005，如果機(jī)的PoissonX目X()np20000.00051故所求概率為P{X1}1–P{X0}1

0e 1 e 0! e隨機(jī)變量的分布函數(shù)一、選擇題:X為:X123Pia7a2516則參數(shù)a=（ ）.1（A） （B）112 4

12

14解：a0,且a7a25116112a216a110(28a11)(4a0

a14選B 0, 12隨變量X的布為F(x) ,2

x0x

1}（ ）.

e

x1,（A）0 （B）1 （C）1e

（D）1e12 2解：P{X1}F(1)F(10)1e111e12 2選C二、填空題:隨變量X的布數(shù)F(x)是一個(gè)函定域是 域．解：分布函數(shù)F(x)的定義域是(,)，值域是[0,1]X分為:X1368p0.20.10.40.32

X；布數(shù)．1解：P{2

X3}P(X1)P(X3)0.20.10.3， x10.2,1x3F(x)0.3,3x60.7, 6x8,

x8X（0-1）分

p,

0}1p，求X的分布函數(shù)，并作出其圖形．解：X0—1分布P[X=1]=p，P{X=0}=1–p0∴F(x)=11

x00x1，其圖形如下：x1k四X的分

k}Ck!

(k0,1,2,L,0)，試求：1．常數(shù)C，2．X落在[1,3)內(nèi)的概率．

k ?解：1.由性質(zhì)k0

k1，即C1

L2!

L?1，k! 故C

1x2

1ee1 L L2.1

2!P{Xk}

k!kk!

22? ∴X3}P{XP{X2}e e ?e2 2 注意：許多學(xué)生用分布函數(shù)求P{1X3}F(3)F(1)P{X1}計(jì)算較繁五學(xué)的3假的2相互獨(dú)立的，并且概率都是5布函數(shù)．

，設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律和分2解：由題意可知，X服從二項(xiàng)分布：B(3,),故其分布律為：5P{Xk}

k2

33k

0,1,2,3;(5)(5) ,k因此，X的分布函數(shù)為：x02727125125F(x)81125,117,1,

0x11x22x3x3

2x,

0x1六、設(shè)機(jī)量X的概密度為f(x)0, 其他現(xiàn)在X進(jìn)行n次測(cè)的概率分布．

表示測(cè)不大于0.1求變量0.1解：PX0.02dx0.01.在n次獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)中，事件{X0.1}出現(xiàn)的次數(shù)Vn服從二項(xiàng)分布B(n,0.01)，其概率函數(shù)為 m}Cm(0.99)nm(mn).n n連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度一、選擇題:何個(gè)續(xù)隨量的率度(x)（ ）.（A）續(xù) （B）導(dǎo) （C）負(fù)不于1（D）可的負(fù)解：連型機(jī)量率密的質(zhì)即得選Df1(x為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密f2(x為上均勻分布的概率密度，若f(x)af1(x),2(x),

x0(a0,b0)為概密，則a,b應(yīng)足（ ）.x0（A）2a4ab1

（B）3a2b4ab2解：型，

f(x)dx1，0 1 3即 a1(xdx0bf2(xdx2ab4b12ab4選A

~N(1,2),X0.4，則P{X（ ）.（A）0.1 （B）0.9 （C）0.8 （D）0.4解1X~N

2),

X1

~N(0,1)0.4XP{2X1(0)(2)0.512()

0.9

2X1 2 22

()所P{X1P{X1{

}1()0.1，選A解法2：利用正態(tài)分布的密度函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，直接作圖可得解。二、填空題:x 0x10隨變量X的布為f(x)ax1x2，則a= ．0解：f(xdx1

其它102即 0dxxdx102

(ax)dx

0dx 0x2x22

1 2x2?200 1ax ? 00 2112a2a1a11 解a22 2設(shè)機(jī)量X~N(a,2)且kXak}0.95則k．?解：∵?

X~N(a,2)∴ kXak}Pk

Xa

k2(k)1∴ k1.96

?即(k)1.950.97523．設(shè)隨機(jī)變量Y數(shù)為1數(shù)分a則a1|Ya}．a(chǎn)1|Ya}

P{aYa1}P{Ya}F(a1)F(a)1e(a1)1ea

11F(a)

ea 1 e的R是且勻布900歐~1100歐R布密度分解：設(shè)X表示電阻R的阻值。則X～U(900,1100), 1 900x1100,

,900x1100因而 f(x)=1100900 =200

,其它

0

,其它 0

x

0

x900分F(x

x

x900,900x1100=

900x11001100900 200 1 ,x1100 1A

,x1100四Xf(x)X的分（）1X}．

1x

(x（1常數(shù)A（2）解：(1)f(x)dx1 A即：

dxAarctanxA11x2 1∴A=1 1(2)(1

1xx

x1 1∴F()=f(x)dx1x2dx1arctanxx 1arctanx1 211arctan

(–∞<x<+∞)2 1 1 ? 1 1 ??(3)P{1X1}F(1)F(1)24?24?˙ ?11?11?111 ? ?2424442 24244423x2,五、設(shè)隨機(jī)變量X和Y同分布，X的概率密度為f(x)8

0x

，已知事件, 其他A{Xa}和B{Ya}獨(dú)立，且P(AUB)3，求常數(shù)a．4解：據(jù)題意

P(A)P(B)且P(AB)P(A)P(B),P(AUB)P(A)P(B)P(AB)2P(A)[P(A)]23,4解以P(A)為未知量的方程[P(A)]22P(A)304可得 P(1，再題條知21PXa}f(xdx23x2dx18a3).2 a a8 834再解以a為知的程：8a34，得a 34六、機(jī)器自動(dòng)稱(chēng)裝大米，每裝大米的重量X~N(50,0.52)（單位：kg）隨機(jī)取一袋，若誤差超過(guò)0.8kg，就停機(jī)調(diào)整，求需要停機(jī)調(diào)整的概率．解：QX~N(50,0.52)X50~N(,|X500.機(jī)，0.5P(|X50|0.8)1P(0.8X500.8)1P(0.8X500.8)0.5 0.5 0.51(0.8)(0.8)0.5 0.522(1.6)2(10.9452)0.1096150150隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、選擇題:

~N(,2),5

50.5，則列確（ ）5（A）3

（B）3

（C）5

（D）5解法1：X~N(,2)3X5~N(35,92)，又因 50.5，利正分的圖知，35=0，5解25P{X5，3

}0.5，利用正態(tài)分布的圖像關(guān)于X對(duì)稱(chēng)，知3選A設(shè)X在[0,1]上從勻布，Y2X1，則列論確是（ ）.（A）Y在[0,1]均分布（B）Y在[1,3]均分布（C）Y在[0,3]均分布（D）Y1

fX(x)

0x1其他1 y1 1, 0y11f(y) f( )2 2Y 2X 2

， 其他即

1(y(y)

1y3， 其他二、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為ex,

選Bx0fX(x),

x0求隨機(jī)變量YeX的概率密度f(wàn)Y(y).解法1：用分布函數(shù)法先求Y的分布函數(shù)FY(y).當(dāng)y1時(shí)，F(xiàn)Y(y)0；當(dāng)y1時(shí)，PAGEPAGE151F(y)P{Yy}P{eXy}P{Xlny}

lnyexdx11，Y1f(y)F(y)y2

y

0 yY Y ,

y1解法2：用單調(diào)函數(shù)公式法直接求Y的概率密度.由于yex(0)xlny)數(shù)x10，則y y1elny,

y

1,

y1Yf(y)yY ,

y

y2

y1X的x,

1x0

X0f(x)求Y數(shù)0,

0x1其它

Y

X0解：由題設(shè)知Y是離散型隨機(jī)變量，P(Y)P(X0)01x)dx11 2P(Y1)P(X0)12Ypi112112所以，Y的Ypi112112y1Y Y的分Fy)11Y , y1

2x

0x四、機(jī)量X的概密為fX(x)2 ，求1．Y

11的

, 其它X 2．Z(X)2的概率密度.1 1 解：1.Y

11

，g(x)

,x?(0,)是單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)為h(y)

X x ,y0，y1利用連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)密度函數(shù)公式，得

2f(y)fX(h(y))|h(y)|,y02

|y

2|,

y0Y

其它

1 y 其它

, y0(y1)3 , 其它2 22.

Z(X 2

，g(x)(x

),x?(0,)不是單調(diào)函數(shù)，用分布函數(shù)法，2F(z)P{Zz}P{(X)2z}Z 2當(dāng)z0時(shí)，F(xiàn)Z(z)0z當(dāng)z0時(shí)，(z)z}X2 z}z zz X z}2 2z 0z22z2z 2

z2xdx,0 zz

2,0zz2 2 42 1

z z2

0,其它所

(z)F(z)

, 0zz 4Z Z , 其它2 2解法2（利用疊加式）Z(X 2但分區(qū)間單調(diào)，

，g(x)(x

),x?(0,)不是單調(diào)函數(shù)，2 2x?(0,2(z)2公式，得

z,0z

，利用連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)密度函數(shù)4X 1 2f(h(z))|h(X 1 2f (z)4

2

(2

z)| 2

2|, 0zz 4，Z , 其它 , 其它 2同理x?20)，其反函數(shù)為(z)2密度函數(shù)公式，得

z,0z

，利用連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)4(2) X 2 2f(h(z))|h((2) X 2 2f (z)4

2

(2

z| 2

2|, 0zz Z , 其它 , 其它2綜 上 ， 利 用 疊 加 公 式 ，

Z(X 2

的 概 率 密 度 為f(z)

(1)(z)f

(2)(z)

1 , 0z2z 42Z Z

其它x x1.5五

~U(0,2),yg(x)

x

，求Yg(X)的分布函數(shù).解：X~U(0

x, 0x2X(x)2, 其它 0 , y0 y2(y)P{X(y) ,0y1.52

y1.5 學(xué)院 班級(jí) 名 號(hào) 自測(cè)題 （第二章）一、（3,15分）:X

k}bk(k，則（ ）.（A）01，且b11 （B）01，且b1（C）01，且b11 （D）01，且b11解∵i1

k}b

Lb 11∴b11選CX服從上勻分AXBX（ ）.

1}，則4（A）P(AB)0 （B）P(AB)P(A)（C）P(P(B)11解：fX(x2,

1x其他

（D）P(AB)P(A)P(B)1且ABX }14P(AB)X

1}4dx ，P(1,P(B)11 14 02 8 2 41 1選DX的f(xF(xf(x)f(x則對(duì)任實(shí)數(shù)a，有F(a)（ ）.（A）2

F

（B）2

F

（C）2F(a)

（D）1F(a)解：f(x)

f(x)，知f(x)為偶函數(shù)

F(a)1F(a),選D0.2出5X為k品只，則X的布為（ kk（Ak

(0.2)k(0.8)5

（B）Ck

(0.2)k(0.8)5k（C）Ck

(0.2)k1(0.8)5

k（D）k

(0.2)k(0.8)4YY=5，6,7，……X=0,1,2，……=Y-55P(Y5)(0.8)5,P(Y6)C1(0.8)50.2,56jP(Y7)C2(0.8)50.22,L,P(Yj)Cj5(0.8)50.26j所以，P{Xk}P{Y5k}C(5k)5(0.8)50.2(5k)5Ck(0.8)50.2k,k0,1,2,L(5k)1

k4選A1 2 X服從正態(tài)N(,2變量Y服從正態(tài)N(,21 2 P{X

1}P{Y

則有（ ）.（A）12（C）2

（B）12（D）21 1解：PX

1}2( )1P{Y21}2(1

)11 1 1 1( )( )，而(x)是不函，故 1 2 1

12選A二、填空題（每小題3分，共15分） XF(xAx,

x00x，則A，2P{

} .6

x2解：由于任何隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)是右連續(xù)，因此對(duì)任何x，有F(x)F(x0)，對(duì)于x，有F()AsinA，F(xiàn)(0)1.2 2 2 2因此A1，其中F(x0)limF(x).又x0P{X

}P{ X}. 6 6 6因F(x)在x 處連，此P{X6

}0.所以6P{X

}P{ X} F()1. F(6 6 6 6 6 2 F(X布U(,20)次y24yX0無(wú)實(shí)根1的概率為2

，則.解：依題意有164X0X4P{X4}1P{X4}1P{X4}12 2(4)0.5404 3．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P{Xk}(1)k1,k1,2L,，其中01，5若P{X

，9

．解：由P{X2}P{X1}P{X2}(1)52250得 1,5（舍故PX}1311

9 9224.()3 3 3 3 274

X~N1,0.022)知2.5=0.93則9.95X10.0} ．10.0510 909510解：X10.05}( )( )0.02 0.022(2.5)120.993811.987610.98765．設(shè)X~N(2,2)且X0.3，則P{X．X2 2 22解：0.3X 2得：()0.8，

}()0.5,P{X X22}(2)1

2(

0.2Acosx,（12X的f(x)

|x|4，試求（1）系數(shù)A； ?

|x|4（2）X3）X在,6?． 解(1)∵

f(x)dx=1,即4AcosxdxAsin|44 4

2A=12∴A22(2)

時(shí), F(x)=04x

x 2 1 2當(dāng)|x≤4時(shí)，F(xiàn)(x

f(x)dxx4x

cosxdx 2 2

sinx2當(dāng)x≥4

F(x)

f(x)dx44

2cosxdx=12 1 2

x4 2∴F(x) 2

sin21,

x4 4x422 22(3)

P(0X

)6f(x)dx6 cosxdx6 0 0 2 4四（12）樣生成績(jī)，績(jī)7296上占2.3%，試考的績(jī)60分84分．因F(96)

96

)10.0230.9770(2)所以 12

成績(jī)6084分之間的概率：F(84)F(60)(8472)(6072)(1)(1) 2(1)120.841310.6826注意：需查表：(1)0.8413,(2)0.9770x,

1x1 2五（12分）設(shè)隨機(jī)變量X的率密度為f(x

，令YX其他

1，求3（1）Y度f(wàn)Yy（）P1Y2}．（）記Y數(shù)為Yy，則3YF(y)P{Yy}P{X2y1}Yy1當(dāng)1y2yy1y)0；y2yy1

X

y1}

y1yxdx 2

y

xdxy1；故Y的概率密度為

fY(y)

1y2.其他.（2）解

Y3} 3F 31.() Y (() Y (解

Y

3}2dy1.32 1 23六（12）X布度為f(x)

1(1x2

(x)，求Y 的率度.1X11 1解：Y ，h(y) ,X yY f(y)f(h(y))|h(yY

1 1

1 , (y)1(1 )1y2

(1y2)七（12分8上單位X~N（單位：min）.他每天7點(diǎn)從家出發(fā)，求：1．某天他上班遲到的概率；2．一周（5個(gè)工作日）他至多有1天遲到的概率.解：1.“某天他上班遲到”={X>60}，X~N(50,100)P{X X50110.94130.15872.設(shè)Y表示遲到的次數(shù)，知Ｙ～B（5,0.1587）“一周至多有1天遲到”={Y≦1}0.8423550.842340.15780.822e2x,

x0八（10分設(shè)機(jī)量X服從的數(shù)布其率度為fX(x) ，, 其他證明Y1e2XU.證法1：y1e2x是(0,)上的單調(diào)函數(shù)且其反函數(shù)為xh(y)1ln(1y).在2區(qū)間上y)1 121y

0.應(yīng)用單調(diào)函數(shù)公式法，Y的概率密度為2e2h(y)1 1

0y

0y1,f(y)

21y Y

其他.

其. 計(jì)算可知fY(y)恰是(0,1)上均勻分布的密度函數(shù).證法2：用分布函數(shù)求Y的分布函數(shù).當(dāng)y0時(shí)，(y)0； 當(dāng)y1時(shí)，(y)1.當(dāng)0y1

1ln(1y)0，2F(y)P{Yy}P{1e2Xy}P{X1ln(1y)}Y 2FX[

1ln(1y)]12

2[1ln(1y2

y.計(jì)算可知Y的分布函數(shù)為0, yF(y)y, 0yY 1,

y1.160160第三章 多維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布一、填空題:變量X,Y的分為:YX012018141811616C則C= ，

0,Y，

，，又設(shè)(X,Y)的分函為F(x,y)，則F．解：∵

pij1i j即： 18

1114 8 6

1C1, 6

C16∴P{X0,Y1}P{X0,Y0}P{X0,Y1}1138 4 8P{X0}11118 4 8 2P{Y1}1154 6 12又∵F(x,y)P(Xx,Yy}∴F(1,2)P(X1,Y2}1kxex(1y)

x0,y0（X,Y的f(xy) 00 二隨變（X,Y）分函為 解： 1=f(x,y)ddykdxex0

則k其他PAGEPAGE161kexdx1eyd(y)0 0 x k exxy)|dxk exdxkex|x>0,0 0 0 0kx yy>0Fx,)=fuv)dudvx=ueuduyeuvdvx xueuduy1euvd(uv)0 0 uxeu(euv)|ydu0 0xeu(1euy)du00eu|x0

11

eu(1y)|x0 1[ex(1y)y]ex01y1[ex(1y)y]ex,x0,y0F(xy1y

0, 其它

6x,

0xy1.3若二維隨機(jī)變量（X,YP{XY．

）的概率密度為f(x,y) ，則0 其他0P{XY

1 x f(x,y)dxdy2

6xdy0 xxy1126x(12x)dx1.10 4二（X,Y）的a(3x2f(x,y)

0x

0y2求：1．常數(shù)a；

其它2

X,Y）的分布函數(shù)；3．P{XY1}和P{XY2.3}. 解：1.為1

f(x,y)dxdy1 20adx03xy1 210ax(6x1

y|2)dx201ax(6x2)dxa(2x3x2)|13a010 01所以，a 。3x y2.（X,Y）分函數(shù) F(,y)={Xx,Y}fu,v)dudv需要分區(qū)域考慮，(1)x0或y0,F(x,y)P{Xx,Yy}(4)(5)(3)(1)(2)x f(4)(5)(3)(1)(2)x 0,(2)0x1,0y2,F(x,y)P{Xx,Yy} xduy1(3u2uv 0 033 x 2 uy23 xuy 0)dux3y1x3

x2y23 12(3)x1,0y2,F(x,y)P{Xx,Yy} 1duy1(3u2uv 0 03y1y23 12(4)0x1,y2,F(x,y)P{Xx,Yy}xdu21u2uv)dv0 03x2x312x3 3(5)xyF(x,y)P{Xx,Y 1du21(3u2uv 0 031

0, x或y01y3

x2y2,0x1,0y2綜上，

F(x,y) y1y2x0y2 3 12 2x3 1 3 3 ,

,0x1,y2x1,y23.P{XY1}

f(x,yddy11dxx3x2ydy7xy1

30 0 72PXY2.}1[13dy13x2ydx2dy.3y3x2yd]0.738930 0 1.3 0邊緣分布6紅黃白2只2X1X2為取：1

X1,X2)的聯(lián)合分布律；2

X1,X2)中關(guān)于X1,X2的邊緣分布；3．P{X1X2.解：1.依題意知：(X1,X2)(的可能取值為(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0).∵

0,X0}P{X0}.

2CC1P{X10|X20}2CC1661 2 1{X1{X1,X}222C62 15C6

2 15C12C1C2P{X10,X22}2C26 15

C1C1 4C{X1C{X1,X}2226C12C1C2P{X11,X21}2C26

2CC21P{X12,X20}2CC216 15P{X11,X22}P{X12,X21}P{X12,X22}0綜上，得

(X1,X2)的聯(lián)合分布律：XX1012X2012154151154154150115002.關(guān)于X1的邊緣分布律為：XX1012P615815115X2的分XX2012P6158151153.P{X1X2P{X10,X20}P{X10,X21}P{X11,X20}P{X11,X21}1315二（X,Y在yxy2xy0圍均分布，求邊緣概率密度.（X,Y）Dxy|x0y2xy1,(x,y)?D內(nèi)服從均勻分SD1得1

X,Y的f(xy

，D如下圖其它圖圖1fX(x)=

f(x,

y)dy,由聯(lián)合概率密度函數(shù)的非零定義區(qū)域知，該積分是對(duì)y的積分，則要對(duì)x分區(qū)間討論，見(jiàn)下圖2(1）x或x,f(xy0,則fX(x)0x(2)0x,f(xy,則fX(x0dy;x(3)

1x,f(xy,則fX(x0

dy2x;＋∞＋∞－∞圖2＋∞－∞圖3 x, 0x＋∞－∞圖3所以，fX(x)2x,0x1 0,x或x2同理， f(y)=f(x,y

,由聯(lián)合概率密度函數(shù)的非零定義區(qū)域知，該積分是對(duì)x的積分，則要對(duì)y分區(qū)間討論，見(jiàn)圖3(1）y0或y1,f(x,y)0,則fY(y)0(2)

0y,f(xy,則fYyy222y,0y2

dy22y;所fYy

0,其它變量X,Y在正方形域|x||y

a2內(nèi)服從均勻分布．21．求(X,Y)的聯(lián)合分布密度；2．求(X,Y)的邊緣分布密度。解：隨機(jī)（X,Y）內(nèi)均勻分SD1,(x,y)?D

41aa22222

a2得

X,Y）f(xya2

，D如下圖122DD圖3-1fX(x)=

f(x,

y)dy,由聯(lián)合概率密度函數(shù)的非零定義區(qū)域知，該積分是對(duì)y的積分，則要對(duì)x分區(qū)間討論，見(jiàn)下圖3-2a a22(1）x 或x ,f(x,y)0,則fX(x)0222a a ax12a (2)

x0,f(xy0,f

22x

dy

(2a2x);a2a ax1 1(3)

0x

,f(x,y)0,fX(x)2a dy22

(2a2x);222x2a a2－∞－∞ ＋∞圖3-32＋∞－∞圖3-21(2a2x2＋∞－∞圖3-21

xa

2(a

2|x|),|x|a2 f

(x)a

(2a2x),0x a22 2

0,其它2 ,其它2同理，利用對(duì)稱(chēng)性，得21(2a2y),21

y0a

2(a

2|y|),|y|a2 f(y) Y

(2a2y),0y a22 2

0,其它 0,其它四（X,Y）的2ey,2f(x,y),

0xy其他求1．隨機(jī)變量X的密度f(wàn)X(x)；2．求概率P{XY1}.解：1.出度，即fX(x

f(x,y)dyx0f

(x0；x0f

eydyex.xex,因此X的密fX(x,

xx

1 x 12.PXY}f(xyddy2x

eydy12e

2e1.0 xxy13.3-3.4 條件分布，隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、填空題（X,Y）分為:YX1210.220.3則與應(yīng)滿的件當(dāng)X,Y相互立，= 解：聯(lián)分律歸性，知0.5，當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，P{X1,Y2}P{X1}P{Y2}，即 0.2)0.50.20.2（X,Y）為YX012011541511514154150211500則P{X1|Y0}.415615P{x415615P{x1|Y

3（X,Y）在由直yxy2xy0所圍的區(qū)域內(nèi)服從均勻分布則Y0.4|X.解：下X1.50Y0.5.0.40.1因此 Y0.4|X1.5} 0.6.0.5170170圖圖4XN(0,1),YN(0,1X,Y（X,Y度函數(shù)f(x,y)= ．解：因?yàn)?/p>

f(x) 12

x2X 2X

fY(y)

y221e221所以 f(x,y)

fX(x)fY(y)

x2y21.e 21.25．設(shè)X,Y

是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，

X~N(2,2),Y~N(3,2)，且2XY10.95，則= 解：題，2XY:N(1,52)，故有P{|2XY1|8.7654}P{2XY18.7654}2(8.7654)10.95(8.7654)0.975

5 5 51.96，得 25二、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為:f(x,y)Ae2x22xyy2,x,y，求常數(shù)A及條件概率密度f(wàn)Y|X(y|x)．解：因

fX(x)

f(x,ydy

e2x22xyy2dy Ae(yx)2x2dyAex2e(yx)2dy

ex2,x.PAGEPAGE171所以1 fX1

dx

ex2dxA.從而 A.x?(

1e2x22xyy2fY|X(y|x)

f(x,y)fX(x)

1ex21e2x22xyy2

1e(xy)2,y.三、一個(gè)電子儀器由兩部件構(gòu)X和Y分個(gè)部件的壽命（千時(shí)已知X和Y的分?jǐn)?shù)為1e05xe05ye05(xy),

x0,y0F(x,y) 0 其他X和Y的100概率．解：1.X與Y的別為1e0.5x,

x0,FX(x)F(x,) ,

x0;1e0.5y,

y0,FY(y)F(,y) ,

y0;實(shí)xy都F(xy(x)FYy).

因此X與Y相互獨(dú)立.2．P{X0.1,Y0.1}P{X0.1}P{Y0.1}F(x)][1F(y)]e0.05.e0.05e0.1.X Y四、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布，其中G是由xy0,xy2y0求:1X的fX(xfX|Y(x|y，fY|Xy|1.5；3X,Y；4Y0.4|X；5FX(x|y．解：1.3.2f(x,y)(x,y)?D

(x)

x, 0x12x,0x1

，f(y)22y,0y1其它

Yx0或x2

0,其它f(x,y)

1 ,yx2y,0y

(x|y) 22yX|Y

fY(

其它 1,0xyxxf(x,y) 1f (y|x) ,x2),2Y|X

fX(x)

2x 其它 1 ,0y21.5 2,0y0.5f (y|1.5)21.5 Y|X

其它

0,其它1.fX(xfYy

f(x,y)，所以(X,Y)不相互獨(dú)立。0.4 0.44.0.1Y0.4|X1.}01

fY|X(y|1.)dy0.12dy0.60,xyx x 15.FXY(x|y)=fUYu|y)duy22ydu,yx2y2y1 du,x2y y 22yx

0,xy22,y22 ,x2y3.5 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、選擇題:X,YX的分F(xZmax{X,Y布函數(shù)為（A）F2(x)； （B）F(x)F(y)（C）1[1F(x)]2； （D）[1F(x)][1F(y)].解：依題意

F(x)F(y)，再由分布函數(shù)的定義得：F (z)F(z)F(z) Zmax{X,YF2(x)max X Y選A變量X,Y的分布為:YX0100.4a1b0.1若隨事件0}與Y相互立則（ ）.（A）a0.2,b0.3（C）a0.3,b0.2

（B）a0.1,b0.4（D）a0.4,b0.1解：從pij0.4ab0.1ab0.51i j

知ab0.5P{X0}P{X0,Y0}P{X0,Y1}a0.4,P{XY1}P{X0,Y1}P{X1,Y0}ab0.5，P{X0,XY1}P{X0,Y1}a.從事件{X0}與{XY1}相互獨(dú)立知P{X0}P{XY1}P{X0,XY1}，即 0.5(a0.4)