結(jié)構(gòu)力學(xué)-結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算

土木工程學(xué)院工程力學(xué)學(xué)科組李強(qiáng)HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY

結(jié)構(gòu)力學(xué)STRUCTURALMECHANICS1哈工大土木工程學(xué)院§16.1兩類穩(wěn)定問(wèn)題概述

結(jié)構(gòu)中的某些受壓桿件，當(dāng)荷載逐漸增大時(shí)，除了可能發(fā)生強(qiáng)度破壞外，還可能在材料抗力未得到充分發(fā)揮之前就因變形的迅速發(fā)展而喪失承載能力，這種現(xiàn)象稱失穩(wěn)破壞，其相應(yīng)的荷載稱為結(jié)構(gòu)的臨界荷載。壓桿的實(shí)際承載能力應(yīng)為上述兩種平衡荷載中的最小者。2哈工大土木工程學(xué)院

所謂結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是指它所處的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。球在三個(gè)位置都能處于平衡，但受到干擾后表現(xiàn)不同：如小球受到干擾后仍能恢復(fù)到原先的平衡位置，則稱該狀態(tài)為穩(wěn)定平衡如小球受到干擾后失去回到原先的平衡位置的可能性，則稱該狀態(tài)為不穩(wěn)定平衡如小球受到干擾后可停留在任何偏移后的新位置上，則稱該狀態(tài)為隨遇平衡3哈工大土木工程學(xué)院

結(jié)構(gòu)隨荷載逐漸增大可能由穩(wěn)定的平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡狀態(tài)，稱為失穩(wěn)。保證結(jié)構(gòu)在正常使用的情況下處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析的目的。結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)類型第一類失穩(wěn)（分支點(diǎn)失穩(wěn)）第二類失穩(wěn)（極值點(diǎn)失穩(wěn)）4哈工大土木工程學(xué)院FPO

FPl第一類失穩(wěn)的基本特征

FPcrI穩(wěn)定II不穩(wěn)定FP<FPcr時(shí)，桿件僅產(chǎn)生壓縮變形。輕微側(cè)擾，桿件微彎；干擾撤消，狀態(tài)復(fù)原（平衡路徑唯一）。FP≥FPcr時(shí)，桿件既可保持原始的直線平衡狀態(tài)，又可進(jìn)入彎曲平衡狀態(tài)（平衡路徑不唯一）。完善體系結(jié)構(gòu)失穩(wěn)前后平衡狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的變形性質(zhì)發(fā)生改變，分支點(diǎn)處平衡形式具有兩重性，分支點(diǎn)處的荷載即為臨界荷載，稱分支點(diǎn)失穩(wěn)。5哈工大土木工程學(xué)院

發(fā)生第一類失穩(wěn)的還有：FPFP他們的共同特點(diǎn)是從加載到失穩(wěn)過(guò)程中結(jié)構(gòu)變形的性質(zhì)發(fā)生突變，產(chǎn)生了兩種性質(zhì)截然不同平衡路徑。6哈工大土木工程學(xué)院

l第二類失穩(wěn)的基本特征FPFPOFPcr初始缺陷使得開(kāi)始加載桿件便處于微彎狀態(tài)，撓度引起附加彎矩。隨荷載增加側(cè)移和荷載呈非線性變化，且增長(zhǎng)速度越來(lái)越快。荷載達(dá)到一定數(shù)值后，增量荷載作用下的變形引起的截面彎矩的增量將無(wú)法再與外力矩增量相平衡，桿件便喪失原承載能力。

非完善體系是結(jié)構(gòu)由于初始缺陷的存在，荷載與位移間呈非線性變化。失穩(wěn)前后變形性質(zhì)沒(méi)有變化，力-位移關(guān)系曲線存在極值點(diǎn)，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的荷載即為臨界荷載，稱極值點(diǎn)失穩(wěn)。7哈工大土木工程學(xué)院

他們的共同特點(diǎn)是從加載到失穩(wěn)過(guò)程中結(jié)構(gòu)變形的性質(zhì)不發(fā)生突變，而是平衡路徑產(chǎn)生了極值點(diǎn)。發(fā)生第二類失穩(wěn)的情況：FPFPqFPFP8哈工大土木工程學(xué)院

當(dāng)荷載、變形達(dá)到一定程度時(shí)，可能從凸形受壓的結(jié)構(gòu)翻轉(zhuǎn)成凹形的受拉結(jié)構(gòu)，這種急跳現(xiàn)象本質(zhì)上也屬極值點(diǎn)失穩(wěn)（跳躍屈曲）。扁平拱式結(jié)構(gòu)的跳躍失穩(wěn)的基本特征FPΔllfFPOFPcr由極值點(diǎn)的失穩(wěn)問(wèn)題突然轉(zhuǎn)化為受拉的強(qiáng)度問(wèn)題9哈工大土木工程學(xué)院

穩(wěn)定性分析有基于小變形的線性理論和基于大變形的非線性理論。非線性理論考慮有限變形對(duì)平衡的影響，分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較吻合，但分析過(guò)程復(fù)雜。不管是第一類穩(wěn)定問(wèn)題，還是第二類穩(wěn)定問(wèn)題，它們都是一個(gè)變形問(wèn)題，穩(wěn)定計(jì)算都必須根據(jù)其變形狀態(tài)來(lái)進(jìn)行，有時(shí)還要求研究超過(guò)臨界狀態(tài)之后的后屈曲平衡狀態(tài)。10哈工大土木工程學(xué)院

§16.2有限自由度體系的臨界荷載確定體系失穩(wěn)時(shí)的位移形態(tài)所需要的獨(dú)立的幾何參數(shù)的數(shù)目稱為體系失穩(wěn)的自由度。DOF=1DOF=2DOF=

FPEI=

FPEI=

EI=

EI=

kkFP11哈工大土木工程學(xué)院

主要計(jì)算方法：靜力法——根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征（即平衡形式的二重性），尋找平衡路徑交叉的分支點(diǎn)，可精確得到理論上的臨界荷載值。能量法——依據(jù)能量特征來(lái)確定體系失穩(wěn)時(shí)臨界荷載。體系取得平衡的充要條件是任意可能位移和變形均使勢(shì)能取得駐值。12哈工大土木工程學(xué)院一、靜力法在原始平衡狀態(tài)附近的新的位移狀態(tài)上建立靜力平衡方程，并以新位移形態(tài)取得非零解的條件確定失穩(wěn)的臨界荷載。

FPk

lFPkEI1=

第一解：第二解：FR1、單自由度完善體系的分支點(diǎn)失穩(wěn)yxOABAB13哈工大土木工程學(xué)院

臨界荷載：(1)大撓度理論

FPFPcrI穩(wěn)定II不穩(wěn)定(2)小撓度理論大、小撓度理論臨界荷載相同14哈工大土木工程學(xué)院

FRFPk

l

FPkl

2、單自由度非完善體系的極值點(diǎn)失穩(wěn)yxOABAB15哈工大土木工程學(xué)院

ε＝0ε＝0.1ε＝0.20.5360.421.370.6950.381.471.57FP/klε0.6950.5360.4150.10.20.3FP/klθOε＝0求極值點(diǎn)處的臨界荷載1.00(1)大撓度理論16哈工大土木工程學(xué)院

(2)小撓度理論AFPk

l

ε＝0.1ε＝0.2ε＝00.0FP/klθ0.20.40.60.81.01.00.80.60.40.21.21.41.6ε＝0B17哈工大土木工程學(xué)院

結(jié)構(gòu)的初始缺陷影響臨界荷載，對(duì)穩(wěn)定性是不利的。當(dāng)結(jié)構(gòu)缺陷逐漸減小并趨于消失時(shí)，極值點(diǎn)的臨界荷載將隨之增大并趨于分支點(diǎn)失穩(wěn)的臨界荷載。非線性理論分析表明存在極值點(diǎn)失穩(wěn)，與實(shí)際吻合。實(shí)際結(jié)構(gòu)不可避免地存在構(gòu)件的初始缺陷，嚴(yán)格地說(shuō)失穩(wěn)都屬于第二類失穩(wěn)。第二類失穩(wěn)屬于幾何非線性問(wèn)題，而當(dāng)結(jié)構(gòu)變形達(dá)到一定程度時(shí)通常伴有材料非線性的出現(xiàn)，因此計(jì)算比較復(fù)雜，但卻是精確解。分析結(jié)論18哈工大土木工程學(xué)院

第一類失穩(wěn)?？捎梦锢砀拍钋逦慕馕鍪奖磉_(dá)，計(jì)算較簡(jiǎn)單，有利于對(duì)影響臨界荷載的各種因素形成直觀的認(rèn)識(shí)。但計(jì)算出的臨界荷載偏大，不安全。第一類失穩(wěn)的臨界荷載是第二類臨界荷載的上限值，對(duì)因缺陷引起的第二類失穩(wěn)問(wèn)題?？梢詫⒌谝活愂Х€(wěn)的臨界荷載乘以折減系數(shù)，或?qū)ζ浔磉_(dá)式進(jìn)行適當(dāng)修改，以求其臨界荷載值，這便于設(shè)計(jì)應(yīng)用。分析結(jié)論第一類失穩(wěn)仍有其重要地位19哈工大土木工程學(xué)院

例題：用靜力法求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載FPcr平衡方程特征方程特征根llhEI1=

EIEIFPFP

FP

解：從臨界平衡狀態(tài)的兩重性出發(fā)ABCDABCDAD20哈工大土木工程學(xué)院

y2y1EI=

2kkABCFP2FPEI=

ll2ky2ky12kkFP2FPABC例題：靜力法求圖示體系的臨界荷載FPcr.解：體系的失穩(wěn)形態(tài)可用B，C處的位移y1，y2確定，從臨界平衡狀態(tài)的兩重性出發(fā)列平衡方程。21哈工大土木工程學(xué)院

穩(wěn)定方程屈曲時(shí)可確定y1和y2的比值位形圖11.3610.367臨界荷載22哈工大土木工程學(xué)院

lllkkFPkkFPy1y2ABCDFRC=ky2FRB=ky1FyA=FPy1/lFyD=FPy2/lFxA=FPEI=

EI=

EI=

例題：靜力法求圖示體系的臨界荷載FPcr.解：體系的失穩(wěn)形態(tài)可用B，C處的位移y1，y2確定，從臨界平衡狀態(tài)的兩重性出發(fā)列平衡方程。23哈工大土木工程學(xué)院

111124哈工大土木工程學(xué)院

計(jì)算步驟：1中心受壓直桿處于臨界狀態(tài)，設(shè)產(chǎn)生偏離原平衡位置的一個(gè)可能變形狀態(tài)；2在可能變形狀態(tài)下，分析結(jié)構(gòu)受力，作隔離體受力圖；建立隔離體的平衡方程，由邊界條件確定穩(wěn)定分析的特征方程；由特征方程求解特征值，繪制失穩(wěn)位形圖；5最小特征值即臨界荷載。25哈工大土木工程學(xué)院

多自由度體系失穩(wěn)的基本特點(diǎn)：1多自由度體系的靜力平衡方程是代數(shù)方程；2具有n個(gè)自由度體系的失穩(wěn)時(shí)共有n個(gè)特征對(duì)，即有n個(gè)可能失穩(wěn)形態(tài)；3對(duì)稱體系在軸線荷載作用下的失穩(wěn)位移形態(tài)是對(duì)稱或反對(duì)稱的；4真實(shí)的臨界荷載是n個(gè)特征值中的最小者，其它特征值所對(duì)應(yīng)的失穩(wěn)位移形態(tài)只有在比它小的所有特征值對(duì)應(yīng)的失穩(wěn)位移形態(tài)被阻止時(shí)才有可能發(fā)生。26哈工大土木工程學(xué)院

二、能量法依據(jù)能量特征來(lái)確定體系失穩(wěn)時(shí)的臨界荷載的方法。勢(shì)能駐值原理：彈性體系平衡的充分必要條件是任何可能的位移和變形均使得總勢(shì)能EP取得駐值，即總勢(shì)能的一階變分等于零（δEP=0）。該駐值條件等價(jià)于平衡條件保證體系位變狀態(tài)的穩(wěn)定性，既要滿足勢(shì)能的駐值條件又要考察體系總勢(shì)能的二階變分狀態(tài)：穩(wěn)定平衡

隨遇平衡

不穩(wěn)定平衡

27哈工大土木工程學(xué)院

變形體系勢(shì)能：=荷載勢(shì)能+變形勢(shì)能由廣義坐標(biāo)變分的任意性關(guān)于廣義坐標(biāo)ai

的齊次方程廣義坐標(biāo)非零解的條件就是特征方程，它的最小特征根就是臨界荷載，對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)顯示出失穩(wěn)形態(tài)。關(guān)于廣義坐標(biāo)的總勢(shì)能駐值條件：28哈工大土木工程學(xué)院

例題：用能量法求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載FPcr解：從臨界平衡狀態(tài)的能量特征出發(fā)llhEI1=

EIEIFPFP

FP

ABCDABCDAD系統(tǒng)總勢(shì)能29哈工大土木工程學(xué)院

例題：用能量法求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載FPcr解：從臨界平衡狀態(tài)的能量特征出發(fā)llhEI1=

EIEIFPFP

FP

ABCDABCDAD表明勢(shì)能為駐值且位移有非零解的能量特征與勢(shì)能的二階變分為零的內(nèi)力準(zhǔn)則在本質(zhì)上是相同的30哈工大土木工程學(xué)院lllkkFPABCD

kkFPy1y2

EI=

EI=

EI=

例題：用能量法求圖示體系的臨界荷載FPcr.解：31哈工大土木工程學(xué)院

1111勢(shì)能駐值條件特征向量方程組特征方程（非零解條件）特征值特征向量（失穩(wěn)形態(tài)）臨界荷載32哈工大土木工程學(xué)院kkFPABCD

2kkFPy1y2EI=

EI=

EI=

從能量角度觀察失穩(wěn)位移圖形可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)兩種情況下鉸結(jié)點(diǎn)(彈簧)位移數(shù)值相等時(shí),反對(duì)稱位移形態(tài)的D點(diǎn)水平位移較大?；蛘哒f(shuō)，D點(diǎn)水平位移相同時(shí)，反對(duì)稱的彈簧變形較小，這說(shuō)明在所有可能的失穩(wěn)位移形態(tài)中，臨界荷載所對(duì)應(yīng)的位移形態(tài)應(yīng)使體系發(fā)生失穩(wěn)位移所引起的應(yīng)變能是最小的。

y1

1kkFPy233哈工大土木工程學(xué)院

§16.3無(wú)限自由度體系的臨界荷載引入假定：

1桿件無(wú)初始缺陷、無(wú)初應(yīng)力，屈曲時(shí)荷載方向保持不變；

2材料是線彈性的；

3屈曲時(shí)只發(fā)生平面內(nèi)微小變形，忽略剪切變形的影響。無(wú)限自由度穩(wěn)定問(wèn)題的主要計(jì)算方法仍然是靜力法和能量法34哈工大土木工程學(xué)院

FPFPl1.等截面壓桿的臨界荷載MFR靜力法的解題思路：根據(jù)平衡形式的二重性先對(duì)變形狀態(tài)建立平衡方程，然后由位移為非零解的條件得到穩(wěn)定方程（特征方程），穩(wěn)定方程的最小根就是臨界荷載。一、靜力法yxO對(duì)無(wú)限自由度體系，平衡方程是微分方程而不是代數(shù)方程，這是與有限自由度體系不同的。ABAB35哈工大土木工程學(xué)院

1.等截面壓桿的臨界荷載邊界條件:x=0時(shí),y=0;x=l

時(shí),y=0FPFPlMFRyxOABAB36哈工大土木工程學(xué)院

邊界條件:x=0時(shí),y=0;y'=0

x=l

時(shí),y=0FPl例題：靜力法求圖示體系的臨界荷載FPcr.FPMFRyxO解：建立變形體平衡方程ABAB37哈工大土木工程學(xué)院

非零解需要系數(shù)行列式為零，得穩(wěn)定方程這是以αl為自變量的超越方程，通常用試算法或圖解法求解穩(wěn)定方程的最小正根。零解表示無(wú)側(cè)移撓度的直線形式平衡狀態(tài)。38哈工大土木工程學(xué)院

設(shè)：

y1=ly2=tanl變形曲線不是唯一的，是一組形狀相同而幅度不同的曲線族（類似振型）。

圖解法:兩條線有無(wú)窮多交點(diǎn)，即有無(wú)窮組解。最小的非零根：

l=4.493

039哈工大土木工程學(xué)院

lFPkEI1FPkyxFRl剛性桿I1I2

=nI1ACBDFP

M例題：靜力法求圖示排架的臨界荷載FPcr，和柱AB的計(jì)算長(zhǎng)度。解：建立變形體平衡方程40哈工大土木工程學(xué)院邊界條件:x=0時(shí)y=0

x=l

時(shí)y=

y'=0

FPkyxFR

41哈工大土木工程學(xué)院展開(kāi)，得超越方程：討論：

（1）如果I2=0，則k=0當(dāng)EI1為有限值時(shí)，αl≠0，所以（2）如果I2=∞，則k=∞42哈工大土木工程學(xué)院

（3）如果I2=I1

，則k=3EI/l3有討論（1）、（2）知試算法:令則所以27.094.43.05.862.30.50.0432.212.20-0.024-0.52.01.6-34.543哈工大土木工程學(xué)院

分析對(duì)稱桿件的失穩(wěn)變形形態(tài)FPFP由于荷載對(duì)稱，所以失穩(wěn)的位移形態(tài)也是對(duì)稱或反對(duì)稱的。FPFPFPFP實(shí)際結(jié)構(gòu)中壓桿的支承常是彈性的：44哈工大土木工程學(xué)院

FPFPFPFPFPFPFPFP對(duì)稱的失穩(wěn)的位移形態(tài)反對(duì)稱失穩(wěn)的位移形態(tài)45哈工大土木工程學(xué)院

當(dāng)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)約束不足以完全阻止剛架柱底的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)將固定支座改為彈性鉸支座。彈性支承條件下壓桿的臨界荷載上限、下限可由概念分析得出。反對(duì)稱情況，如剛架梁EI1→0,對(duì)應(yīng)懸臂柱，得臨界荷載下限：反對(duì)稱情況，如剛架梁EI1→∞,對(duì)應(yīng)滑動(dòng)支座，得臨界荷載上限：討論：∴剛架反對(duì)稱臨界荷載變化范圍：對(duì)稱失穩(wěn)臨界荷載下限發(fā)生在EI1→0時(shí)，壓桿柱頂相當(dāng)于鉸鏈支座，相應(yīng)臨界荷載大于反對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)的臨界荷載上限值，故剛架的失穩(wěn)只能是反對(duì)稱的。46哈工大土木工程學(xué)院

2.變截面壓桿的臨界荷載工程中常見(jiàn)的變截面壓桿有兩類：階形桿和截面連續(xù)變化桿。這兩類桿或是穩(wěn)定方程階數(shù)過(guò)高，不易展開(kāi)和求解，或是形成變系數(shù)的撓曲線微分方程，常很難積分成為有限形式，計(jì)算較為復(fù)雜。lI1I2l2l1FPyxOFP以圖示體系為例分段建立平衡微分方程：設(shè)：47哈工大土木工程學(xué)院

2.變截面壓桿的臨界荷載平衡方程的解：積分常數(shù)由邊界條件和兩段連接點(diǎn)連續(xù)條件確定：當(dāng)x=0時(shí)，y1=0；從而導(dǎo)出B1=0當(dāng)x=l

時(shí)，

y2′＝0

；導(dǎo)出A2

－B2tanα2l

=0當(dāng)x=l1

時(shí)，y1=y2、y1′=y2′導(dǎo)出lI1I2l2l1FPyxOFP48哈工大土木工程學(xué)院

2.變截面壓桿的臨界荷載由齊次方程非零解條件，令系數(shù)行列式為零：展開(kāi)后求得特征方程當(dāng)EI2=10EI1,l2=l1=0.5l時(shí),得最小根α1l1=3.953

49哈工大土木工程學(xué)院

二、能量法對(duì)變截面壓桿或軸向荷載復(fù)雜情況用靜力法確定臨界荷載比較繁雜。此時(shí)用能量法可取得較好效果。能量法的基本原理和步驟同于有限自由度體系穩(wěn)定分析，即利用勢(shì)能駐值原理，在勢(shì)能的一階變分等于零的情況下，根據(jù)位移取非零解的條件確定荷載特征值，臨界荷載是所有特征值中的最小值。壓桿的失穩(wěn)曲線可以用一組滿足邊界條件的基函數(shù)線性組合而成。其組合系數(shù)稱為廣義坐標(biāo)，廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)為自由度數(shù)。50哈工大土木工程學(xué)院

壓桿在撓曲平衡狀態(tài)時(shí)若有多個(gè)沿軸向作用不同位置的荷載，則荷載勢(shì)能應(yīng)變能荷載勢(shì)能51哈工大土木工程學(xué)院體系勢(shì)能

由體系勢(shì)能的駐值條件52哈工大土木工程學(xué)院臨界荷載的上限

由于壓桿失穩(wěn)的位移曲線一般很難精確預(yù)計(jì)和表達(dá)，用假設(shè)的位移曲線通過(guò)能量法求得的臨界荷載往往是近似解，其近似程度取決于選取位移曲線與真實(shí)曲線的吻合程度。所以恰當(dāng)選取位移函數(shù)是成功應(yīng)用能量法的關(guān)鍵。53哈工大土木工程學(xué)院由邊界條件設(shè)變形函數(shù)

FPl例題：能量法求圖示體系的臨界荷載.取一項(xiàng)時(shí)一階基函數(shù)廣義坐標(biāo)a1解：FP

yxOAB54哈工大土木工程學(xué)院代入能量法的駐值條件

誤差48％由廣義坐標(biāo)非零解的要求

55哈工大土木工程學(xué)院誤差3.6％

取兩項(xiàng)時(shí)56哈工大土木工程學(xué)院由邊界條件設(shè)變形函數(shù)

微段以上部分荷載

微段以上外力勢(shì)能：

lq例題：能量法求圖示懸臂柱在自重作用下的臨界荷載.解：取一項(xiàng)時(shí)xdx

yxO57哈工大土木工程學(xué)院外力勢(shì)能

應(yīng)變能體系勢(shì)能

由廣義坐標(biāo)非零解要求

由體系勢(shì)能駐值條件誤差5.88％

58哈工大土木工程學(xué)院取兩項(xiàng)時(shí)變形能外力勢(shì)能體系勢(shì)能

59哈工大土木工程學(xué)院由勢(shì)能的駐值條件由廣義坐標(biāo)非零解要求

60哈工大土木工程學(xué)院穩(wěn)定方程最小根比精確解僅大0.01％顯然按單自由度計(jì)算誤差較大，而按雙自由度計(jì)算，誤差明顯減少。但自由度的增加，計(jì)算工作量也大幅增加。用能量法求得的臨界荷載通常高于精確解。原因是假定的位移曲線只是全部可能位移曲線集合中的一個(gè)子集，或說(shuō)這相當(dāng)于對(duì)體系的變形施加了某種約束，從而增加了體系剛度，使體系抵抗失穩(wěn)的能力提高了。

61哈工大土木工程學(xué)院

FPlFPyxO例題：試選擇不同的位移函數(shù)，用能量法求圖示簡(jiǎn)支柱的臨界荷載.解：（1）假設(shè)撓曲線為拋物線AB62哈工大土木工程學(xué)院

（2）假設(shè)撓曲線為柱中作用一水平集中荷載FH引起的撓曲線比精確解大22.0％

63哈工大土木工程學(xué)院

比精確解大1.3％

64哈工大土木工程學(xué)院

（3）假設(shè)撓曲線為正弦曲線與精確解完全重合，說(shuō)明所設(shè)位移曲線就是失穩(wěn)的位移曲線。65哈工大土木工程學(xué)院

例題：試求兩端簡(jiǎn)支的變截面壓桿的臨界荷載。已知截面慣性矩為：解：根據(jù)邊界位移條件設(shè)變形函數(shù)FPlyxO（1）取一項(xiàng)作為近似位移函數(shù)求得AB66哈工大土木工程學(xué)院

（2）取兩項(xiàng)作為近似位移函數(shù)求得兩次計(jì)算結(jié)果已經(jīng)很接近，相對(duì)差值不到0.01，由此可以了解近似程度。67哈工大土木工程學(xué)院§16.4組合壓桿的臨界荷載由歐拉臨界荷載計(jì)算公式可知：要提高臨界荷載的數(shù)值，應(yīng)加大截面慣性矩或減小計(jì)算長(zhǎng)度。通過(guò)施加約束可以改變計(jì)算長(zhǎng)度；通過(guò)分散截面面積可以增大截面慣性矩。利用組合結(jié)構(gòu)可以達(dá)到增大慣性矩的目的。

由于承重的需要或構(gòu)造上的原因而在工程施工中廣為應(yīng)用的組合壓桿（如橋梁的上弦桿、廠房的雙支柱、無(wú)線電桅桿和起重塔吊等），通常是由兩個(gè)型鋼（肢桿）用若干聯(lián)接件相聯(lián)組成的“空腹柱”，按其聯(lián)接件形式分綴條式和綴板式兩種。68哈工大土木工程學(xué)院綴條式：用角鋼或小型槽鋼與肢桿連成桁架式。綴條與肢桿的連接視為鉸結(jié)。綴板式：用條形鋼板將肢桿連成封閉剛架形式。綴板與肢桿的連接視為剛結(jié)。

綴合構(gòu)件通常有兩種形式：69哈工大土木工程學(xué)院組合壓桿的橫截面

yyxx當(dāng)繞y-y

軸失穩(wěn)時(shí)，臨界荷載的計(jì)算與實(shí)腹桿相同。當(dāng)繞x-x

軸失穩(wěn)時(shí)，由于綴合構(gòu)件的連接，截面慣性矩增大，但剪切變形也增大，使得臨界荷載值相應(yīng)下降。組合壓桿穩(wěn)定性分析的關(guān)鍵在于確定整體剪切變形對(duì)臨界荷載的影響70哈工大土木工程學(xué)院彎矩產(chǎn)生的曲率

剪力產(chǎn)生的附加曲率

截面形狀系數(shù)矩形截面為1.2圓形截面為1.11

一、剪切變形對(duì)臨界荷載的影響微元體分析剪切變形71哈工大土木工程學(xué)院對(duì)兩端鉸支桿壓桿（FR=0）

所以

FPFRyxO72哈工大土木工程學(xué)院為不計(jì)剪變臨界歐拉力

剪力修正系數(shù)實(shí)體壓桿中剪力對(duì)臨界荷載的影響很小，可略去不計(jì)。但對(duì)組合壓桿必須考慮剪切影響

73哈工大土木工程學(xué)院

二、綴條式組合壓桿的臨界荷載首先取壓桿的一個(gè)節(jié)間分析

當(dāng)剪切角不大時(shí)

通常肢桿的橫截面面積遠(yuǎn)大于綴條的橫截面面積，因此只需計(jì)入綴條的影響。相鄰節(jié)間共用一對(duì)綴條，故計(jì)算時(shí)只需計(jì)算圖中的一對(duì)橫桿。

x74哈工大土木工程學(xué)院設(shè)

Ap---水平綴條截面積.xAq---傾斜綴條截面積.75哈工大土木工程學(xué)院若略去橫桿影響，兩側(cè)都有綴條，則上式為

76哈工大土木工程學(xué)院若用r

代表兩肢桿截面對(duì)整個(gè)截面形心軸x

的回轉(zhuǎn)半徑,即并且,一般α為30°～60°,故可取并引入長(zhǎng)細(xì)比若采用換算長(zhǎng)細(xì)比λh,則有上式既是鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范中推薦的綴條式組合壓桿換算長(zhǎng)細(xì)比的公式.

77哈工大土木工程學(xué)院

1/21/21/21/2三、綴板式組合壓桿的臨界荷載將綴板式組合壓桿視為單跨多層剛架，近似認(rèn)為肢桿由剪力作用引起的彎曲變形的反彎點(diǎn)位于相鄰