結構力學-結構的穩(wěn)定計算

土木工程學院工程力學學科組李強HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY

結構力學STRUCTURALMECHANICS1哈工大土木工程學院§16.1兩類穩(wěn)定問題概述

結構中的某些受壓桿件，當荷載逐漸增大時，除了可能發(fā)生強度破壞外，還可能在材料抗力未得到充分發(fā)揮之前就因變形的迅速發(fā)展而喪失承載能力，這種現(xiàn)象稱失穩(wěn)破壞，其相應的荷載稱為結構的臨界荷載。壓桿的實際承載能力應為上述兩種平衡荷載中的最小者。2哈工大土木工程學院

所謂結構的穩(wěn)定性是指它所處的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。球在三個位置都能處于平衡，但受到干擾后表現(xiàn)不同：如小球受到干擾后仍能恢復到原先的平衡位置，則稱該狀態(tài)為穩(wěn)定平衡如小球受到干擾后失去回到原先的平衡位置的可能性，則稱該狀態(tài)為不穩(wěn)定平衡如小球受到干擾后可停留在任何偏移后的新位置上，則稱該狀態(tài)為隨遇平衡3哈工大土木工程學院

結構隨荷載逐漸增大可能由穩(wěn)定的平衡狀態(tài)轉變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡狀態(tài)，稱為失穩(wěn)。保證結構在正常使用的情況下處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)是結構穩(wěn)定分析的目的。結構的失穩(wěn)類型第一類失穩(wěn)（分支點失穩(wěn)）第二類失穩(wěn)（極值點失穩(wěn)）4哈工大土木工程學院FPO

FPl第一類失穩(wěn)的基本特征

FPcrI穩(wěn)定II不穩(wěn)定FP<FPcr時，桿件僅產(chǎn)生壓縮變形。輕微側擾，桿件微彎；干擾撤消，狀態(tài)復原（平衡路徑唯一）。FP≥FPcr時，桿件既可保持原始的直線平衡狀態(tài)，又可進入彎曲平衡狀態(tài)（平衡路徑不唯一）。完善體系結構失穩(wěn)前后平衡狀態(tài)所對應的變形性質(zhì)發(fā)生改變，分支點處平衡形式具有兩重性，分支點處的荷載即為臨界荷載，稱分支點失穩(wěn)。5哈工大土木工程學院

發(fā)生第一類失穩(wěn)的還有：FPFP他們的共同特點是從加載到失穩(wěn)過程中結構變形的性質(zhì)發(fā)生突變，產(chǎn)生了兩種性質(zhì)截然不同平衡路徑。6哈工大土木工程學院

l第二類失穩(wěn)的基本特征FPFPOFPcr初始缺陷使得開始加載桿件便處于微彎狀態(tài)，撓度引起附加彎矩。隨荷載增加側移和荷載呈非線性變化，且增長速度越來越快。荷載達到一定數(shù)值后，增量荷載作用下的變形引起的截面彎矩的增量將無法再與外力矩增量相平衡，桿件便喪失原承載能力。

非完善體系是結構由于初始缺陷的存在，荷載與位移間呈非線性變化。失穩(wěn)前后變形性質(zhì)沒有變化，力-位移關系曲線存在極值點，該點對應的荷載即為臨界荷載，稱極值點失穩(wěn)。7哈工大土木工程學院

他們的共同特點是從加載到失穩(wěn)過程中結構變形的性質(zhì)不發(fā)生突變，而是平衡路徑產(chǎn)生了極值點。發(fā)生第二類失穩(wěn)的情況：FPFPqFPFP8哈工大土木工程學院

當荷載、變形達到一定程度時，可能從凸形受壓的結構翻轉成凹形的受拉結構，這種急跳現(xiàn)象本質(zhì)上也屬極值點失穩(wěn)（跳躍屈曲）。扁平拱式結構的跳躍失穩(wěn)的基本特征FPΔllfFPOFPcr由極值點的失穩(wěn)問題突然轉化為受拉的強度問題9哈工大土木工程學院

穩(wěn)定性分析有基于小變形的線性理論和基于大變形的非線性理論。非線性理論考慮有限變形對平衡的影響，分析結果與實驗結果較吻合，但分析過程復雜。不管是第一類穩(wěn)定問題，還是第二類穩(wěn)定問題，它們都是一個變形問題，穩(wěn)定計算都必須根據(jù)其變形狀態(tài)來進行，有時還要求研究超過臨界狀態(tài)之后的后屈曲平衡狀態(tài)。10哈工大土木工程學院

§16.2有限自由度體系的臨界荷載確定體系失穩(wěn)時的位移形態(tài)所需要的獨立的幾何參數(shù)的數(shù)目稱為體系失穩(wěn)的自由度。DOF=1DOF=2DOF=

FPEI=

FPEI=

EI=

EI=

kkFP11哈工大土木工程學院

主要計算方法：靜力法——根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征（即平衡形式的二重性），尋找平衡路徑交叉的分支點，可精確得到理論上的臨界荷載值。能量法——依據(jù)能量特征來確定體系失穩(wěn)時臨界荷載。體系取得平衡的充要條件是任意可能位移和變形均使勢能取得駐值。12哈工大土木工程學院一、靜力法在原始平衡狀態(tài)附近的新的位移狀態(tài)上建立靜力平衡方程，并以新位移形態(tài)取得非零解的條件確定失穩(wěn)的臨界荷載。

FPk

lFPkEI1=

第一解：第二解：FR1、單自由度完善體系的分支點失穩(wěn)yxOABAB13哈工大土木工程學院

臨界荷載：(1)大撓度理論

FPFPcrI穩(wěn)定II不穩(wěn)定(2)小撓度理論大、小撓度理論臨界荷載相同14哈工大土木工程學院

FRFPk

l

FPkl

2、單自由度非完善體系的極值點失穩(wěn)yxOABAB15哈工大土木工程學院

ε＝0ε＝0.1ε＝0.20.5360.421.370.6950.381.471.57FP/klε0.6950.5360.4150.10.20.3FP/klθOε＝0求極值點處的臨界荷載1.00(1)大撓度理論16哈工大土木工程學院

(2)小撓度理論AFPk

l

ε＝0.1ε＝0.2ε＝00.0FP/klθ0.20.40.60.81.01.00.80.60.40.21.21.41.6ε＝0B17哈工大土木工程學院

結構的初始缺陷影響臨界荷載，對穩(wěn)定性是不利的。當結構缺陷逐漸減小并趨于消失時，極值點的臨界荷載將隨之增大并趨于分支點失穩(wěn)的臨界荷載。非線性理論分析表明存在極值點失穩(wěn)，與實際吻合。實際結構不可避免地存在構件的初始缺陷，嚴格地說失穩(wěn)都屬于第二類失穩(wěn)。第二類失穩(wěn)屬于幾何非線性問題，而當結構變形達到一定程度時通常伴有材料非線性的出現(xiàn)，因此計算比較復雜，但卻是精確解。分析結論18哈工大土木工程學院

第一類失穩(wěn)?？捎梦锢砀拍钋逦慕馕鍪奖磉_，計算較簡單，有利于對影響臨界荷載的各種因素形成直觀的認識。但計算出的臨界荷載偏大，不安全。第一類失穩(wěn)的臨界荷載是第二類臨界荷載的上限值，對因缺陷引起的第二類失穩(wěn)問題常可以將第一類失穩(wěn)的臨界荷載乘以折減系數(shù)，或?qū)ζ浔磉_式進行適當修改，以求其臨界荷載值，這便于設計應用。分析結論第一類失穩(wěn)仍有其重要地位19哈工大土木工程學院

例題：用靜力法求圖示結構的臨界荷載FPcr平衡方程特征方程特征根llhEI1=

EIEIFPFP

FP

解：從臨界平衡狀態(tài)的兩重性出發(fā)ABCDABCDAD20哈工大土木工程學院

y2y1EI=

2kkABCFP2FPEI=

ll2ky2ky12kkFP2FPABC例題：靜力法求圖示體系的臨界荷載FPcr.解：體系的失穩(wěn)形態(tài)可用B，C處的位移y1，y2確定，從臨界平衡狀態(tài)的兩重性出發(fā)列平衡方程。21哈工大土木工程學院

穩(wěn)定方程屈曲時可確定y1和y2的比值位形圖11.3610.367臨界荷載22哈工大土木工程學院

lllkkFPkkFPy1y2ABCDFRC=ky2FRB=ky1FyA=FPy1/lFyD=FPy2/lFxA=FPEI=

EI=

EI=

例題：靜力法求圖示體系的臨界荷載FPcr.解：體系的失穩(wěn)形態(tài)可用B，C處的位移y1，y2確定，從臨界平衡狀態(tài)的兩重性出發(fā)列平衡方程。23哈工大土木工程學院

111124哈工大土木工程學院

計算步驟：1中心受壓直桿處于臨界狀態(tài)，設產(chǎn)生偏離原平衡位置的一個可能變形狀態(tài)；2在可能變形狀態(tài)下，分析結構受力，作隔離體受力圖；建立隔離體的平衡方程，由邊界條件確定穩(wěn)定分析的特征方程；由特征方程求解特征值，繪制失穩(wěn)位形圖；5最小特征值即臨界荷載。25哈工大土木工程學院

多自由度體系失穩(wěn)的基本特點：1多自由度體系的靜力平衡方程是代數(shù)方程；2具有n個自由度體系的失穩(wěn)時共有n個特征對，即有n個可能失穩(wěn)形態(tài)；3對稱體系在軸線荷載作用下的失穩(wěn)位移形態(tài)是對稱或反對稱的；4真實的臨界荷載是n個特征值中的最小者，其它特征值所對應的失穩(wěn)位移形態(tài)只有在比它小的所有特征值對應的失穩(wěn)位移形態(tài)被阻止時才有可能發(fā)生。26哈工大土木工程學院

二、能量法依據(jù)能量特征來確定體系失穩(wěn)時的臨界荷載的方法。勢能駐值原理：彈性體系平衡的充分必要條件是任何可能的位移和變形均使得總勢能EP取得駐值，即總勢能的一階變分等于零（δEP=0）。該駐值條件等價于平衡條件保證體系位變狀態(tài)的穩(wěn)定性，既要滿足勢能的駐值條件又要考察體系總勢能的二階變分狀態(tài)：穩(wěn)定平衡

隨遇平衡

不穩(wěn)定平衡

27哈工大土木工程學院

變形體系勢能：=荷載勢能+變形勢能由廣義坐標變分的任意性關于廣義坐標ai

的齊次方程廣義坐標非零解的條件就是特征方程，它的最小特征根就是臨界荷載，對應的廣義坐標顯示出失穩(wěn)形態(tài)。關于廣義坐標的總勢能駐值條件：28哈工大土木工程學院

例題：用能量法求圖示結構的臨界荷載FPcr解：從臨界平衡狀態(tài)的能量特征出發(fā)llhEI1=

EIEIFPFP

FP

ABCDABCDAD系統(tǒng)總勢能29哈工大土木工程學院

例題：用能量法求圖示結構的臨界荷載FPcr解：從臨界平衡狀態(tài)的能量特征出發(fā)llhEI1=

EIEIFPFP

FP

ABCDABCDAD表明勢能為駐值且位移有非零解的能量特征與勢能的二階變分為零的內(nèi)力準則在本質(zhì)上是相同的30哈工大土木工程學院lllkkFPABCD

kkFPy1y2

EI=

EI=

EI=

例題：用能量法求圖示體系的臨界荷載FPcr.解：31哈工大土木工程學院

1111勢能駐值條件特征向量方程組特征方程（非零解條件）特征值特征向量（失穩(wěn)形態(tài)）臨界荷載32哈工大土木工程學院kkFPABCD

2kkFPy1y2EI=

EI=

EI=

從能量角度觀察失穩(wěn)位移圖形可以發(fā)現(xiàn):當兩種情況下鉸結點(彈簧)位移數(shù)值相等時,反對稱位移形態(tài)的D點水平位移較大?；蛘哒f，D點水平位移相同時，反對稱的彈簧變形較小，這說明在所有可能的失穩(wěn)位移形態(tài)中，臨界荷載所對應的位移形態(tài)應使體系發(fā)生失穩(wěn)位移所引起的應變能是最小的。

y1

1kkFPy233哈工大土木工程學院

§16.3無限自由度體系的臨界荷載引入假定：

1桿件無初始缺陷、無初應力，屈曲時荷載方向保持不變；

2材料是線彈性的；

3屈曲時只發(fā)生平面內(nèi)微小變形，忽略剪切變形的影響。無限自由度穩(wěn)定問題的主要計算方法仍然是靜力法和能量法34哈工大土木工程學院

FPFPl1.等截面壓桿的臨界荷載MFR靜力法的解題思路：根據(jù)平衡形式的二重性先對變形狀態(tài)建立平衡方程，然后由位移為非零解的條件得到穩(wěn)定方程（特征方程），穩(wěn)定方程的最小根就是臨界荷載。一、靜力法yxO對無限自由度體系，平衡方程是微分方程而不是代數(shù)方程，這是與有限自由度體系不同的。ABAB35哈工大土木工程學院

1.等截面壓桿的臨界荷載邊界條件:x=0時,y=0;x=l

時,y=0FPFPlMFRyxOABAB36哈工大土木工程學院

邊界條件:x=0時,y=0;y'=0

x=l

時,y=0FPl例題：靜力法求圖示體系的臨界荷載FPcr.FPMFRyxO解：建立變形體平衡方程ABAB37哈工大土木工程學院

非零解需要系數(shù)行列式為零，得穩(wěn)定方程這是以αl為自變量的超越方程，通常用試算法或圖解法求解穩(wěn)定方程的最小正根。零解表示無側移撓度的直線形式平衡狀態(tài)。38哈工大土木工程學院

設：

y1=ly2=tanl變形曲線不是唯一的，是一組形狀相同而幅度不同的曲線族（類似振型）。

圖解法:兩條線有無窮多交點，即有無窮組解。最小的非零根：

l=4.493

039哈工大土木工程學院

lFPkEI1FPkyxFRl剛性桿I1I2

=nI1ACBDFP

M例題：靜力法求圖示排架的臨界荷載FPcr，和柱AB的計算長度。解：建立變形體平衡方程40哈工大土木工程學院邊界條件:x=0時y=0

x=l

時y=

y'=0

FPkyxFR

41哈工大土木工程學院展開，得超越方程：討論：

（1）如果I2=0，則k=0當EI1為有限值時，αl≠0，所以（2）如果I2=∞，則k=∞42哈工大土木工程學院

（3）如果I2=I1

，則k=3EI/l3有討論（1）、（2）知試算法:令則所以27.094.43.05.862.30.50.0432.212.20-0.024-0.52.01.6-34.543哈工大土木工程學院

分析對稱桿件的失穩(wěn)變形形態(tài)FPFP由于荷載對稱，所以失穩(wěn)的位移形態(tài)也是對稱或反對稱的。FPFPFPFP實際結構中壓桿的支承常是彈性的：44哈工大土木工程學院

FPFPFPFPFPFPFPFP對稱的失穩(wěn)的位移形態(tài)反對稱失穩(wěn)的位移形態(tài)45哈工大土木工程學院

當結構基礎約束不足以完全阻止剛架柱底的轉動時，應將固定支座改為彈性鉸支座。彈性支承條件下壓桿的臨界荷載上限、下限可由概念分析得出。反對稱情況，如剛架梁EI1→0,對應懸臂柱，得臨界荷載下限：反對稱情況，如剛架梁EI1→∞,對應滑動支座，得臨界荷載上限：討論：∴剛架反對稱臨界荷載變化范圍：對稱失穩(wěn)臨界荷載下限發(fā)生在EI1→0時，壓桿柱頂相當于鉸鏈支座，相應臨界荷載大于反對稱失穩(wěn)時的臨界荷載上限值，故剛架的失穩(wěn)只能是反對稱的。46哈工大土木工程學院

2.變截面壓桿的臨界荷載工程中常見的變截面壓桿有兩類：階形桿和截面連續(xù)變化桿。這兩類桿或是穩(wěn)定方程階數(shù)過高，不易展開和求解，或是形成變系數(shù)的撓曲線微分方程，常很難積分成為有限形式，計算較為復雜。lI1I2l2l1FPyxOFP以圖示體系為例分段建立平衡微分方程：設：47哈工大土木工程學院

2.變截面壓桿的臨界荷載平衡方程的解：積分常數(shù)由邊界條件和兩段連接點連續(xù)條件確定：當x=0時，y1=0；從而導出B1=0當x=l

時，

y2′＝0

；導出A2

－B2tanα2l

=0當x=l1

時，y1=y2、y1′=y2′導出lI1I2l2l1FPyxOFP48哈工大土木工程學院

2.變截面壓桿的臨界荷載由齊次方程非零解條件，令系數(shù)行列式為零：展開后求得特征方程當EI2=10EI1,l2=l1=0.5l時,得最小根α1l1=3.953

49哈工大土木工程學院

二、能量法對變截面壓桿或軸向荷載復雜情況用靜力法確定臨界荷載比較繁雜。此時用能量法可取得較好效果。能量法的基本原理和步驟同于有限自由度體系穩(wěn)定分析，即利用勢能駐值原理，在勢能的一階變分等于零的情況下，根據(jù)位移取非零解的條件確定荷載特征值，臨界荷載是所有特征值中的最小值。壓桿的失穩(wěn)曲線可以用一組滿足邊界條件的基函數(shù)線性組合而成。其組合系數(shù)稱為廣義坐標，廣義坐標個數(shù)為自由度數(shù)。50哈工大土木工程學院

壓桿在撓曲平衡狀態(tài)時若有多個沿軸向作用不同位置的荷載，則荷載勢能應變能荷載勢能51哈工大土木工程學院體系勢能

由體系勢能的駐值條件52哈工大土木工程學院臨界荷載的上限

由于壓桿失穩(wěn)的位移曲線一般很難精確預計和表達，用假設的位移曲線通過能量法求得的臨界荷載往往是近似解，其近似程度取決于選取位移曲線與真實曲線的吻合程度。所以恰當選取位移函數(shù)是成功應用能量法的關鍵。53哈工大土木工程學院由邊界條件設變形函數(shù)

FPl例題：能量法求圖示體系的臨界荷載.取一項時一階基函數(shù)廣義坐標a1解：FP

yxOAB54哈工大土木工程學院代入能量法的駐值條件

誤差48％由廣義坐標非零解的要求

55哈工大土木工程學院誤差3.6％

取兩項時56哈工大土木工程學院由邊界條件設變形函數(shù)

微段以上部分荷載

微段以上外力勢能：

lq例題：能量法求圖示懸臂柱在自重作用下的臨界荷載.解：取一項時xdx

yxO57哈工大土木工程學院外力勢能

應變能體系勢能

由廣義坐標非零解要求

由體系勢能駐值條件誤差5.88％

58哈工大土木工程學院取兩項時變形能外力勢能體系勢能

59哈工大土木工程學院由勢能的駐值條件由廣義坐標非零解要求

60哈工大土木工程學院穩(wěn)定方程最小根比精確解僅大0.01％顯然按單自由度計算誤差較大，而按雙自由度計算，誤差明顯減少。但自由度的增加，計算工作量也大幅增加。用能量法求得的臨界荷載通常高于精確解。原因是假定的位移曲線只是全部可能位移曲線集合中的一個子集，或說這相當于對體系的變形施加了某種約束，從而增加了體系剛度，使體系抵抗失穩(wěn)的能力提高了。

61哈工大土木工程學院

FPlFPyxO例題：試選擇不同的位移函數(shù)，用能量法求圖示簡支柱的臨界荷載.解：（1）假設撓曲線為拋物線AB62哈工大土木工程學院

（2）假設撓曲線為柱中作用一水平集中荷載FH引起的撓曲線比精確解大22.0％

63哈工大土木工程學院

比精確解大1.3％

64哈工大土木工程學院

（3）假設撓曲線為正弦曲線與精確解完全重合，說明所設位移曲線就是失穩(wěn)的位移曲線。65哈工大土木工程學院

例題：試求兩端簡支的變截面壓桿的臨界荷載。已知截面慣性矩為：解：根據(jù)邊界位移條件設變形函數(shù)FPlyxO（1）取一項作為近似位移函數(shù)求得AB66哈工大土木工程學院

（2）取兩項作為近似位移函數(shù)求得兩次計算結果已經(jīng)很接近，相對差值不到0.01，由此可以了解近似程度。67哈工大土木工程學院§16.4組合壓桿的臨界荷載由歐拉臨界荷載計算公式可知：要提高臨界荷載的數(shù)值，應加大截面慣性矩或減小計算長度。通過施加約束可以改變計算長度；通過分散截面面積可以增大截面慣性矩。利用組合結構可以達到增大慣性矩的目的。

由于承重的需要或構造上的原因而在工程施工中廣為應用的組合壓桿（如橋梁的上弦桿、廠房的雙支柱、無線電桅桿和起重塔吊等），通常是由兩個型鋼（肢桿）用若干聯(lián)接件相聯(lián)組成的“空腹柱”，按其聯(lián)接件形式分綴條式和綴板式兩種。68哈工大土木工程學院綴條式：用角鋼或小型槽鋼與肢桿連成桁架式。綴條與肢桿的連接視為鉸結。綴板式：用條形鋼板將肢桿連成封閉剛架形式。綴板與肢桿的連接視為剛結。

綴合構件通常有兩種形式：69哈工大土木工程學院組合壓桿的橫截面

yyxx當繞y-y

軸失穩(wěn)時，臨界荷載的計算與實腹桿相同。當繞x-x

軸失穩(wěn)時，由于綴合構件的連接，截面慣性矩增大，但剪切變形也增大，使得臨界荷載值相應下降。組合壓桿穩(wěn)定性分析的關鍵在于確定整體剪切變形對臨界荷載的影響70哈工大土木工程學院彎矩產(chǎn)生的曲率

剪力產(chǎn)生的附加曲率

截面形狀系數(shù)矩形截面為1.2圓形截面為1.11

一、剪切變形對臨界荷載的影響微元體分析剪切變形71哈工大土木工程學院對兩端鉸支桿壓桿（FR=0）

所以

FPFRyxO72哈工大土木工程學院為不計剪變臨界歐拉力

剪力修正系數(shù)實體壓桿中剪力對臨界荷載的影響很小，可略去不計。但對組合壓桿必須考慮剪切影響

73哈工大土木工程學院

二、綴條式組合壓桿的臨界荷載首先取壓桿的一個節(jié)間分析

當剪切角不大時

通常肢桿的橫截面面積遠大于綴條的橫截面面積，因此只需計入綴條的影響。相鄰節(jié)間共用一對綴條，故計算時只需計算圖中的一對橫桿。

x74哈工大土木工程學院設

Ap---水平綴條截面積.xAq---傾斜綴條截面積.75哈工大土木工程學院若略去橫桿影響，兩側都有綴條，則上式為

76哈工大土木工程學院若用r

代表兩肢桿截面對整個截面形心軸x

的回轉半徑,即并且,一般α為30°～60°,故可取并引入長細比若采用換算長細比λh,則有上式既是鋼結構規(guī)范中推薦的綴條式組合壓桿換算長細比的公式.

77哈工大土木工程學院

1/21/21/21/2三、綴板式組合壓桿的臨界荷載將綴板式組合壓桿視為單跨多層剛架，近似認為肢桿由剪力作用引起的彎曲變形的反彎點位于相鄰