北京市2022-2023學(xué)年上學(xué)期高二期末數(shù)學(xué)試題匯編-11等差數(shù)列（含解析）

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一、單選題

1．（2023春·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）

A．B．

C．D．

2．（2023春·北京順義·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（）

A．B．5C．9D．15

3．（2023春·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）若、、成等差數(shù)列，則（）

A．B．C．D．

4．（2023春·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，，則（）

A．10B．11C．12D．13

5．（2023春·北京西城·高二統(tǒng)考期末）等差數(shù)列，1，4，…的第10項(xiàng)為（）

A．22B．23C．24D．25

6．（2023春·北京西城·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，若，，則當(dāng)?shù)那绊?xiàng)和最大時(shí)，的值為（）

A．5B．6C．7D．8

7．（2023春·北京房山·高二統(tǒng)考期末）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層地面的中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且上、中、下三層共有扇面形石板(不含天心石)3402塊，則中層共有扇面形石板（）

A．1125塊B．1134塊C．1143塊D．1152塊

8．（2023秋·北京朝陽·高二統(tǒng)考期末）已知為等差數(shù)列，，則（）

A．4B．6C．8D．10

9．（2023秋·北京通州·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的首項(xiàng)和公差d分別為（）

A．，B．，

C．，D．，

10．（2023春·北京房山·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列40，37，34，……中，第6項(xiàng)是（）

A．28B．25C．24D．22

二、填空題

11．（2023秋·北京·高二?？计谀┰诠顬榈牡炔顢?shù)列中，，則等于.

12．（2023秋·北京東城·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，，，則.

13．（2023春·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：

12345678910

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，；

②當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，公差；

③當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，；

④當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，時(shí)，.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

14．（2023春·北京西城·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)任意的，和中有且僅有一個(gè)成立，且，．記．給出下列四個(gè)結(jié)論：

①可能為等差數(shù)列；

②中最大的項(xiàng)為；

③不存在最大值；

④的最小值為36．

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．

15．（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）3與7的等差中項(xiàng)為．

三、解答題

16．（2023春·北京房山·高二統(tǒng)考期末）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，記其前n項(xiàng)和為．從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

條件①：，；

條件②：，．

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

17．（2023春·北京海淀·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足．

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)若等比數(shù)列前項(xiàng)和為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

條件①：；

條件②：；

條件③：．

18．（2023春·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的的前項(xiàng)和為，從條件①條件②和條件③中選擇兩個(gè)作為已知，并完成解答：

(1)求的通項(xiàng)公式；

(2)若是等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

①；②；③.

19．（2023春·北京順義·高二統(tǒng)考期末）已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和．若，設(shè)．

(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

20．（2023春·北京西城·高二統(tǒng)考期末）設(shè)為無窮數(shù)列，給定正整數(shù)，如果對(duì)于任意，都有，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．

(1)判斷下列兩個(gè)數(shù)列是否具有性質(zhì)；（結(jié)論不需要證明）

①等差數(shù)列：5，3，1，…；②等比數(shù)列：1，2，4，…．

(2)已知數(shù)列具有性質(zhì)，，，且由該數(shù)列所有項(xiàng)組成的集合，求的通項(xiàng)公式；

(3)若既具有性質(zhì)又具有性質(zhì)的數(shù)列一定是等差數(shù)列，求的最小值．

21．（2023春·北京西城·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的公比，，且，的等差中項(xiàng)等于．

(1)求的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，證明：數(shù)列為等差數(shù)列．

22．（2023秋·北京密云·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)若等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案：

1．B

【分析】根據(jù)與關(guān)系計(jì)算求解.

【詳解】，

故選：B.

2．B

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件求解

【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，所以，

因?yàn)?，所以?/p>

所以，所以，

故選：B

3．A

【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.

【詳解】因?yàn)椤?、成等差?shù)列，則.

故選：A.

4．B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可知：數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，

所以.

故選：B.

5．D

【分析】由題可得數(shù)列的首項(xiàng)及公差，即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式及答案.

【詳解】由題可得數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，

則數(shù)列通項(xiàng)公式為，

則數(shù)列的第10項(xiàng)為.

故選：D

6．A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義求得的通項(xiàng)公式即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，

則由題意可得，解得，

所以，，

當(dāng)?shù)那绊?xiàng)和最大時(shí)，只需，即，解得，

又，所以，

故選：A

7．B

【分析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)求解．

【詳解】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，是等差數(shù)列，且公差為，，

設(shè)每層有環(huán)，則，，

是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，

所以，

所以，，

故選：B．

8．C

【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)，，求出式子的值.

【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以.

故選：C.

9．D

【分析】直接計(jì)算首項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義計(jì)算公差d.

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式，

所以首項(xiàng)，

公差.

故選：D.

10．B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的概念寫出通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】由題意知為等差數(shù)列，且，則，所以，

故選：B.

11．3

【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求解.

【詳解】由得，所以．

故答案為：3．

12．

【分析】利用已知條件求出公差，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，

由，，

所以，

所以，

故答案為：.

13．①③④

【分析】根據(jù)題意可得，且,，，2，，10．對(duì)①②結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分析運(yùn)算；對(duì)③根據(jù)等比數(shù)列求和以及分布列的性質(zhì)即可分析運(yùn)算；對(duì)④根據(jù)遞推關(guān)系作差，結(jié)合累乘迭代即可求解．

【詳解】由題意可得：，且,，，2，，10，

對(duì)①：當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，則，

可得，故，①正確；

對(duì)②：當(dāng)為等差數(shù)列時(shí),由①知，所以，

由于,，所以，解得：，故②錯(cuò)誤；

對(duì)③：當(dāng)數(shù)列滿足，2，時(shí)，滿足，，，2，，10，

則，

可得,，③正確；

對(duì)④：當(dāng)數(shù)列滿足，2，時(shí)，則，

可得，,3，時(shí),所以，

由于，所以，

因此，

由于，所以，因此，

當(dāng)也符合，故，④正確．

故答案為：①③④

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推公式，根據(jù)數(shù)列給出與的遞推關(guān)系，要求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求．同時(shí)特別要注意驗(yàn)證的值是否滿足“”的一般性通項(xiàng)公式．

14．③④

【分析】利用等差數(shù)列的定義判斷①；利用已知舉例說明判斷②③；求出的最小值判斷④作答.

【詳解】當(dāng)時(shí)，由得，由得，

于是與僅只一個(gè)為1，即，因此數(shù)列不能是等差數(shù)列，①錯(cuò)誤；

令，依題意，與均為整數(shù)，且有且僅有一個(gè)為1（即隔項(xiàng)為1），

若，則，

，而，，

因此，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列為時(shí)取等號(hào)，

若，則，

，而，，

因此，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列為時(shí)取等號(hào)，

從而的最小值為36，④正確；

當(dāng)時(shí)，取，數(shù)列為：

，滿足題意，

取，，中最大的項(xiàng)不為，②錯(cuò)誤；

由于的任意性，即無最大值，因此不存在最大值，③正確，

所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是③④.

故答案為：③④

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.

15．5

【分析】由等差中項(xiàng)的定義，若成等差數(shù)列，則即可求得.

【詳解】設(shè)3與7的等差中項(xiàng)為，則由等差中項(xiàng)的定義得.

故答案為：5

16．(1)答案見解析；

(2)答案見解析.

【分析】（1）選條件①，利用等差數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式列出方程組求解即可；選條件②，求出數(shù)列首項(xiàng)求解作答.

（2）由（1）的結(jié)論，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和作答.

【詳解】（1）選條件①，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，

解得，因此，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.

選條件②，由，得等差數(shù)列的公差，由，得，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.

（2）選條件①，由（1）知，，則，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)、公比均為4，

所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.

選條件②，由（1）知，，，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2，

所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.

17．(1)

(2)見解析

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解；

（2）根據(jù)等比數(shù)列的基本量計(jì)算，等差等比數(shù)列的求和公式，利用分組求和即可求解.

【詳解】（1）設(shè)等差首項(xiàng)和公差分別為，

由得，

所以；

（2）設(shè)等比首項(xiàng)和公差分別為，

若選①②，由得；

由得，

所以公比為，故，

故，

故；

若選②③，

由可知公比不為1，所以，

由得，

所以，

故，

故；

若選①③，由可知公比不為1，所以，

由得；

所以，

故，

故.

18．(1)

(2)

【分析】（1）若選擇①②，①③，②③作為已知條件，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得公差d，代入公式即可求得答案；

（2）根據(jù)題干條件，結(jié)合（1）可求得，的值，代入公式，即可求導(dǎo)、q，進(jìn)而可得，根據(jù)分組求和法，結(jié)合等差、等比的求和公式，即可得答案.

【詳解】（1）選①；②

設(shè)等差數(shù)列的公差為.

由題設(shè)，得

解得.

所以.

選①；③

設(shè)等差數(shù)列的公差為.

由題設(shè)，得

解得.

所以.

選②；③

由題設(shè)，得，

，

解得.

所以.

（2）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且由，得，

由，得

所以

所以.

所以

19．(1)證明見解析

(2)

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由可求出公差，從而可求得，則可得，然后計(jì)算即可得結(jié)論；

（2）由（1）可得，然后利用分組求和法可求得.

【詳解】（1）證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則通項(xiàng)公式為，

又，則

即數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)．

（2）由（1）知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)

數(shù)列的前項(xiàng)和

20．(1)數(shù)列具有性質(zhì)；數(shù)列不具有性質(zhì)

(2)的通項(xiàng)公式為或

(3)5

【分析】（1）性質(zhì)即，通過代入驗(yàn)證即可判斷；

（2）通過轉(zhuǎn)化得到數(shù)列：，，，，是等差數(shù)列且公差，數(shù)列：，，，，，是等差數(shù)列且公差，進(jìn)而分類討論的正負(fù)情況進(jìn)而求解的通項(xiàng)公式；

（3）由數(shù)列1，1，1，2，2，2，3，3，3，，，，，不是等差數(shù)列，且其既具有性質(zhì)又具有性質(zhì)，得．所以的最小值大于或等于5，然后證明的最小值等于5即可.

【詳解】（1）由題意知，數(shù)列通項(xiàng)公式為，滿足，所以數(shù)列具有性質(zhì)；

數(shù)列中，代入，，所以不滿足，所以數(shù)列不具有性質(zhì).

（2）由數(shù)列具有性質(zhì)，得，

所以，即，

所以數(shù)列：，，，，，是等差數(shù)列．

又因?yàn)?，?/p>

所以數(shù)列的公差，

同理，得數(shù)列：，，，，，是等差數(shù)列，公差．

①若且，則數(shù)列的最小項(xiàng)是，數(shù)列的最小項(xiàng)是，

所以數(shù)列的最小項(xiàng)為1，這與矛盾；

②若且，同理，得的最大項(xiàng)為2，這與矛盾；

③若且，則為遞減數(shù)列，為遞增數(shù)列．

由，得3為數(shù)列中的項(xiàng)，

所以只能是，且；

同理，可得0為數(shù)列中的項(xiàng)，

所以只能，．

此時(shí)，的通項(xiàng)公式為．

④若，，類似③的討論可得，．

此時(shí)，的通項(xiàng)公式為．

綜上，的通項(xiàng)公式為或

（3）由數(shù)列1，1，2，2，3，3，，，，，，，，不是等差數(shù)列，且其同時(shí)具有性質(zhì)，，，得且．

類似的，由數(shù)列1，1，1，2，2，2，3，3，3，，，，，不是等差數(shù)列，且其既具有性質(zhì)又具有性質(zhì)，得．

所以的最小值大于或等于5．

以下證明的最小值等于5，即證“既具有性質(zhì)又具有性質(zhì)的數(shù)列一定是等差數(shù)列”．

因?yàn)榫哂行再|(zhì)，即，

所以對(duì)于，是等差數(shù)列；

同理，由具有性質(zhì)，得對(duì)于，是等差數(shù)列．

由，，，，，，為等差數(shù)列（記公差為），且，，，，，，為等差數(shù)列（記公差為），得，，所以．

令，則，，．

同理，由，，，，為等差數(shù)列，且，，，，，，，，為等差數(shù)列（記公差為），得，，

所以，且．

所以．

同理，由，，，，，為等差數(shù)列，且，，，，，為等差數(shù)列，

得；

由，，，，，，為等差數(shù)列，且，，，，，，為等差數(shù)列，

得；

由，，，，，，，為等差數(shù)列，且，，，，，，，為等差數(shù)列，得．

綜上，．

故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．

即既具有性質(zhì)又具有性質(zhì)的數(shù)列一定是等差數(shù)列．

所以的最小值等于5

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的綜合問題.要通過轉(zhuǎn)化與化歸的技巧，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合分類討論等常見方法進(jìn)行問題