2021-2022學(xué)年寧夏銀川一中高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題

20212022學(xué)年寧夏銀川一中高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則直接求得結(jié)果.【詳解】.故選：A.2．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】化簡拋物線方程，進(jìn)而求出焦點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】拋物線方程可化簡為所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：D3．已知函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則求得，再求解．【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：C．4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系得出減區(qū)間.【詳解】∵，∴，令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.5．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】取即可得到第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，不等式為．故選：B．6．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到得到答案.【詳解】橢圓焦點(diǎn)在軸上，且，故.故選：B.7．我國的刺繡有著悠久的歷史，如圖，(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形個(gè)數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第個(gè)圖形包含個(gè)小正方形，則的表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分別觀察給出正方體的個(gè)數(shù)為：1，，，，總結(jié)一般性的規(guī)律，將一般性的數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列再求解．【詳解】解：根據(jù)前面四個(gè)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，累加得：，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納推理，屬于中檔題．8．函數(shù)，的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性即可求解最小值．【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為．故選：B.9．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由圖像分析出的正負(fù)，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí),;當(dāng)x∈(0,2)時(shí),.因?yàn)榭苫癁榛颍獾茫?<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出導(dǎo)數(shù)后，把x=e代入，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得．故選：C．11．已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)【答案】B【詳解】函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）當(dāng)a=時(shí)，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當(dāng)0＜a＜時(shí)，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）．故選B．12．已知，，，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【答案】B【分析】若對(duì)數(shù)式的底相同，直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可，若底不同，則根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大?。驹斀狻繉?duì)于的大?。?，，明顯；對(duì)于的大?。簶?gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，即對(duì)于的大?。?，，，故選B．【點(diǎn)睛】將兩兩變成結(jié)構(gòu)相同的對(duì)數(shù)形式，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷，對(duì)于結(jié)構(gòu)類似的，可以通過構(gòu)造函數(shù)來來比較大小，此題是一道中等難度的題目．二、填空題13．已知向量，且，則實(shí)數(shù)________________．【答案】【分析】，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】，則，解得故答案為：14．經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為_________．【答案】【詳解】由題意設(shè)所求雙曲線的方程為，∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，∴所求的雙曲線方程為，即．答案：15．函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】對(duì)求導(dǎo)，由題設(shè)有恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求的最小值，即可求a的范圍.【詳解】由題設(shè)，，又在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴恒成立，令，則，∴當(dāng)時(shí)，則遞減；當(dāng)時(shí)，則遞增.∴，故.故答案為：.16．已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),,對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,則不等式的解集為___________.【答案】【詳解】令則，∴在R上是減函數(shù)．又等價(jià)于∴．故不等式的解集是答案：．點(diǎn)睛：本題考查用構(gòu)造函數(shù)的方法解不等式，即通過構(gòu)造合適的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得不等式的解集，解題時(shí)要注意常見的函數(shù)類型，如在本題中由于涉及到，故可從以下兩種情況入手解決：（1）對(duì)于，可構(gòu)造函數(shù)；（2）對(duì)于，可構(gòu)造函數(shù)．三、解答題17．已知函數(shù)f（x）＝x﹣lnx(1)求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；(2)求函數(shù)f（x）的極值.【答案】(1)(2)極小值為，無極大值【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得出答案.【詳解】(1)解：，則，，即切線的斜率為0，所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處曲線的切線方程為；(2)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，函數(shù)的極小值為，無極大值.18．已知拋物線的焦點(diǎn)F，C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．（1）求C的方程；（2）過F作直線l，交C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由拋物線的定義，結(jié)合已知有求p，寫出拋物線方程.（2）由題意設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可得，由中點(diǎn)公式有，進(jìn)而求k值，寫出直線方程.【詳解】（1）由題意知：拋物線的準(zhǔn)線為，則，可得，∴C的方程為.（2）由（1）知：，由題意知：直線l的斜率存在，令其方程為，∴聯(lián)立拋物線方程，得：，，若，則，而線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，∴，即，得，∴直線l的方程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）利用拋物線定義求參數(shù)，寫出拋物線方程；（2）由直線與拋物線相交，以及相交弦的中點(diǎn)坐標(biāo)值，應(yīng)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式求直線斜率，并寫出直線方程.19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；（I）求異面直線A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值．【答案】（I）（II）【詳解】試題分析：（I）以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，可得和的坐標(biāo)，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設(shè)平面C1AD的法向量為=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），設(shè)直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=，進(jìn)而可得答案．解：（I）以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴異面直線A1B，AC1所成角的余弦值為：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設(shè)平面C1AD的法向量為=（x，y，z），則可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），設(shè)直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=∴直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值為：【解析】異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角．20．已知，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).（1）求的解析式；（2）記，，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可知方程的兩個(gè)解即為，，代入即得結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將方程轉(zhuǎn)化為，則函數(shù)與直線在區(qū)間，上有三個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而求解的取值范圍．【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以根?jù)極值點(diǎn)定義，方程的兩個(gè)根即為，，，代入，，可得，解之可得，，故有；（2）根據(jù)題意，，，，根據(jù)題意，可得方程在區(qū)間，內(nèi)有三個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與直線在區(qū)間，內(nèi)有三個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)?，則令，解得；令，解得或，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又因?yàn)?，，，，函?shù)圖象如下所示：若使函數(shù)與直線有三個(gè)交點(diǎn)，則需使，即．21．如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，.(1)求點(diǎn)C到平面的距離；(2)線段上是否存在點(diǎn)F，使與平面所成角正弦值為，若存在，求出，若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，1【分析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面向量的法向量和相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)面距離公式即可求得點(diǎn)面距離．（2）假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在且滿足，由題意得到關(guān)于的方程，解方程即可確定滿足題意的點(diǎn)是否存在．【詳解】(1)解：如圖所示，取中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)槿切问堑妊苯侨切?，所以，因?yàn)槊婷?，面面面，所以平面，又因?yàn)?，所以四邊形是矩形，可得，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：據(jù)此可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令可得，從而，又，故求點(diǎn)到平面的距離．(2)解：假設(shè)存在點(diǎn)，，滿足題意，點(diǎn)在線段上，則，即：，，，，，據(jù)此可得：，，從而，，，，設(shè)與平面所成角所成的角為，則，整理可得：，解得：或（舍去）．據(jù)此可知，存在滿足題意的點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，即．22．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值．（其中為的導(dǎo)函數(shù)．）【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）的定義域?yàn)?，，分和兩種情況解不等式和即可得單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）由題意可得對(duì)于恒成立，分離可得，令，只需，利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可求解.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，對(duì)于恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由可得；由可得；此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（Ⅱ）若，由可得，因?yàn)椋?，所以所以?duì)于恒成立