復(fù)變函數(shù)積分?jǐn)?shù)學(xué)物理方法柯西定理推論及應(yīng)用

復(fù)變函數(shù)積分的定義復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)柯西定理柯西積分公式復(fù)變函數(shù)的積分第一頁第二頁，共33頁。復(fù)變函數(shù)的積分１.積分的定義：第二頁第三頁，共33頁。說明：(1)當(dāng)是連續(xù)函數(shù)，且L是光滑曲線時(shí)，積分一定存在；(2)可以通過兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的線積分來計(jì)算.第三頁第四頁，共33頁。復(fù)積分的基本性質(zhì)

(1)若f(z)沿L可積，且L由L1和L2連接而成，則

(2)常數(shù)因子k可以提到積分號外，即

(3)函數(shù)和（差）的積分等于各函數(shù)積分的和（差），即

第四頁第五頁，共33頁。(4)若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號.即

其中，L-為L的負(fù)向曲線．

閉曲線的正方向：曲線上點(diǎn)順此方向沿該曲線前進(jìn)時(shí)，鄰近P點(diǎn)曲線內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方．第五頁第六頁，共33頁。0xy111+i第六頁第七頁，共33頁。0xy111+i解法一第七頁第八頁，共33頁。第八頁第九頁，共33頁。例計(jì)算其中C以z0為中心，r為半徑的正方向，n為整數(shù)解：的方程為所以：第九頁第十頁，共33頁。結(jié)論：與積分路線的圓周中心及半徑無關(guān)．第十頁第十一頁，共33頁。柯西定理如果函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)處處解析．那么函數(shù)沿內(nèi)任何一條封閉曲線的積分為零柯西定理：如果曲線是區(qū)域的邊界，在內(nèi)及上解析．即在閉區(qū)域上解析則第十一頁第十二頁，共33頁。柯西－古薩積分定理注：經(jīng)修改后的柯西－古薩積分定理成立的條件可以弱化為在區(qū)域D內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)．以后使用中，當(dāng)滿足此條件時(shí)柯西積分定理仍然成立．這個(gè)定理是柯西(Cauchy)于1825年發(fā)表的，古薩(Goursat)于1900年提出了修改，故又稱為柯西－古薩定理.第十二頁第十三頁，共33頁?？挛鞫ɡ硗普摰谑摰谑捻?，共33頁。這個(gè)定理可用來計(jì)算周線內(nèi)部有奇點(diǎn)的積分!柯西定理2第十四頁第十五頁，共33頁?？挛鞣e分公式有界區(qū)域的單連通柯西積分公式定理（柯西積分公式）如果在有界區(qū)域D處處解析，L為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線，且其內(nèi)部全含于D,為L內(nèi)的任一點(diǎn)，那么稱為柯西積分公式。第十五頁第十六頁，共33頁?？挛鞣e分公式意義:對于解析函數(shù)，只要知道了它在區(qū)域邊界上的值，那么通過上述積分公式，區(qū)域內(nèi)部點(diǎn)上的值就完全確定了．結(jié)論：如果兩個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域的邊界上處處相等，則它們在整個(gè)區(qū)域上也相等．第十六頁第十七頁，共33頁。 設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，在邊界C上連續(xù)，則任意階導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)函數(shù)f(z)的任意階導(dǎo)數(shù)存在，且：

2.Morera定理：設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，且沿區(qū)域內(nèi)任意圍線積分為零，則該函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析。柯西積分公式的重要推論第十七頁第十八頁，共33頁。例計(jì)算其中C以z0為中心，r為半徑的正方向，n為整數(shù)第十八頁第十九頁，共33頁。第十九頁第二十頁，共33頁。

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x1C2第二十頁第二十一頁，共33頁。解題思路

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x1C2第二十一頁第二十二頁，共33頁。第二十二頁第二十三頁，共33頁。計(jì)算積分第二十三頁第二十四頁，共33頁。

【解】（1）注意到在復(fù)平面內(nèi)解析，而-i在積分環(huán)路C內(nèi)，由柯西積分公式得

（2）注意到函數(shù)在內(nèi)解析，而i在內(nèi)，由柯西積分公式得第二十四頁第二十五頁，共33頁。【解】根據(jù)柯西積分公式，得到故得到

第二十五頁第二十六頁，共33頁。任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)第二十六頁第二十七頁，共33頁。不定積分的定義:定理(復(fù)積分的Newton-Leibnitz公式)第二十七頁第二十八頁，共33頁。例題第二十八頁第二十九頁，共33頁。例2

計(jì)算積分

【解法1】在整個(gè)復(fù)平面上解析，且第二十九頁第三十頁，共33頁。