2020-2021學年天津市和平區(qū)高二下學期期末考試數學試題

天津市和平區(qū)20202021學年高二下學期數學期末考試試卷一、單選題1.下列運算正確的是（

）A.

(-1x)'=-2.現從3名男醫(yī)生和4名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援鄂醫(yī)療隊”，用A表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別相同”，B表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則P(B|A)=（

）A.

13

B.

47

C.

23.已知某種商品的廣告費支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）之間有如下對應數據：x24568y3040506070根據上表可得回歸方程y=bx+a，計算得b=7A.

75萬元

B.

85萬元

C.

99萬元

D.

105萬元4.若(x+2x2)nA.

360

B.

180

C.

90

D.

455.中國古代十進制的算籌計數法，在數學史上是一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍．如圖，是利用算籌表示數1~9的一種方法．例如：3可表示為“≡”，26可表示為“=⊥”．現有6根算籌，據此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1~9這9數字表示兩位數的個數為（

）A.

13

B.

14

C.

15

D.

166.設函數f(x)=2sin(x+π3)(xA.

f(x)的一個周期為2π

B.

f(x)的最大值為2

C.

f(x)在區(qū)間(π6，2π3)上單調遞減7.已知函數f(x)=12ax2+2ax+lnx在區(qū)間A.

[0,1]

B.

[0,+∞)

C.

(8.如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（）A.

96

B.

84

C.

60

D.

489.已知函數f(x)={lnx,x≥11e(x+2)(x-a),x<1（a為常數，e為自然對數的底數）的圖象在點A(e,1)A.

-3-22<a<-3+22

B.

a<-2或二、填空題10.求值cos33011.隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)，已知P(ξ，則P(ξ<2)=________.12.已知隨機變量ξ~B(n,p)，且Eξ=6，Dξ=3，則n=________.13.(3x-1)5的展開式中，設各項的系數和為a，各項的二項式系數和為b，則14.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0，-π<φ<0)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式為15.用1，2，3，4，5，6組成六位數(沒有重復數字)，要求任何兩個相鄰數字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數的個數是________.三、解答題16.已知α,β為銳角，tanα=43，cos（1）求cos2α的值。（2）求tan(α-β)17.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量ξ表示所選3人中女生的人數.（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的數學期望；（3）求“所選3人中女生人數ξ≤1”18.已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1（1）求a,b的值；（2）若f(-1)=32，求19.已知函數f(x)=23tan(（1）求函數f(x)的定義域和最小正周期；（2）若將函數f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的12倍，縱坐標不變，然后再向右平移φ(φ>0)個單位長度，所得函數的圖象關于y軸對稱，求φ的最小值20.設f(x)=x-aex(a∈R)（1）求f(x)的單調區(qū)間：（2）已知函數y=f(x)有兩個零點x1，x2，且x1（i）求a的取值范圍；（ii）證明：x2x1隨著a答案解析部分天津市和平區(qū)20202021學年高二下學期數學期末考試試卷一、單選題1.下列運算正確的是（

）A.

(-1x)'=-【答案】C【考點】導數的運算，導數的加法與減法法則，導數的乘法與除法法則【解析】【解答】對于A，(-1x)'對于B，(x3+1)'對于C，(log2x)'對于D，(cosx)'=-故答案為：C.

【分析】利用已知條件結合導數的運算法則和求導公式，進而找出運算正確的選項。2.現從3名男醫(yī)生和4名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援鄂醫(yī)療隊”，用A表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別相同”，B表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則P(B|A)=（

）A.

13

B.

47

C.

2【答案】C【考點】條件概率與獨立事件【解析】【解答】解：由題意知，P(A)=C32+C42所以P(B|A)=P(AB)P(A)故答案為：C.

【分析】利用已知條件結合條件概率公式，從而求出P(B|A)的值。3.已知某種商品的廣告費支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）之間有如下對應數據：x24568y3040506070根據上表可得回歸方程y=bx+a，計算得b=7A.

75萬元

B.

85萬元

C.

99萬元

D.

105萬元【答案】B【考點】線性回歸方程，回歸分析的初步應用【解析】【解答】由題意得x=15∴樣本中心為(5,50)，∵回歸直線y=7x+a過樣本中心(5,50)∴50=7×5+a，解得∴回歸直線方程為y=7x+15當x=10時，y=7×故當投入10萬元廣告費時，銷售額的預報值為85萬元。故答案為：B．

【分析】利用已知條件結合平均數公式，從而求出中心點的坐標，再利用線性回歸方程恒過中心點，再結合代入法和已知條件，從而求出回歸直線方程，再利用代入法求出當投入10萬元廣告費時的銷售額的預報值。4.若(x+2x2)nA.

360

B.

180

C.

90

D.

45【答案】B【考點】二項式定理，二項式系數的性質【解析】【解答】展開式中只有第6項的二項式系數最大，則展開式中第6項為中間項，所以總共11項，故n＝10，通項公式為T當5-5r2=0，即r=2所以展開式的常數項是180故答案為：B

【分析】首先由已知條件結合二項式項數的性質即可求出n的值，由此即可求出二項展開式的通項公式結合已知條件代入數值計算出結果即可。5.中國古代十進制的算籌計數法，在數學史上是一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍．如圖，是利用算籌表示數1~9的一種方法．例如：3可表示為“≡”，26可表示為“=⊥”．現有6根算籌，據此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1~9這9數字表示兩位數的個數為（

）A.

13

B.

14

C.

15

D.

16【答案】D【考點】分類加法計數原理【解析】【解答】根據題意，現有6根算籌，可以表示的數字組合為1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；數字組合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每組可以表示2個兩位數，則可以表示2×7=14數字組合3、3，7、7，每組可以表示1個兩位數，則可以表示2×1=2則一共可以表示14+2=16個兩位數。故答案為：D．

【分析】利用已知條件結合分類加法計數原理，從而求出可以用1~9這9數字表示兩位數的個數。6.設函數f(x)=2sin(x+π3)(xA.

f(x)的一個周期為2π

B.

f(x)的最大值為2

C.

f(x)在區(qū)間(π6，2π3)上單調遞減【答案】D【考點】函數單調性的判斷與證明，函數的最值及其幾何意義，三角函數的周期性及其求法，函數的零點【解析】【解答】∵f(x)=2sin(x+∴f(x)的一個周期為T=2π1=2π，A符合題意；f(x)的最大值為令π2+2kπ≤x+π3∴f(x)的單調遞減區(qū)間為[π∵(π6，2π3)?[π6+2kπ,∵f(x+π3)=2sin(x+2π3)故答案為：D.

【分析】利用已知條件結合正弦型函數最小正周期公式，從而求出正弦型函數的最小正周期；再利用正弦型函數的圖像求出正弦型函數的最大值；利用已知條件結合正弦型函數的圖像判斷出正弦型函數在給定區(qū)間的單調性；再利用函數零點的求解方法，從而求出函數的零點，進而選出結論錯誤的選項。7.已知函數f(x)=12ax2+2ax+lnx在區(qū)間A.

[0,1]

B.

[0,+∞)

C.

(【答案】B【考點】函數恒成立問題，利用導數研究函數的單調性【解析】【解答】因為f(x)=1所以f'因為函數f(x)=12ax2+2ax+ln所以ax+2a+1x≥0,即a≥-1x因為y=x2+2x=(x+1)2-1所以x2+2x>0,所以所以a≥0故答案為：B.

【分析】利用求導的方法判斷函數的單調性，再利用函數f(x)=12ax2+2ax+lnx在區(qū)間8.如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（）A.

96

B.

84

C.

60

D.

48【答案】B【考點】等可能事件的概率【解析】【解答】解：分三類：種兩種花有A42種種法；種三種花有2A43種種法；種四種花有A44種種法．共有A42+2A43+A44=84．故選B【分析】這道題比起前幾年出的高考題要簡單些，只要分類清楚沒有問題，分為三類：分別種兩種花、三種花、四種花，分這三類來列出結果．9.已知函數f(x)={lnx,x≥11e(x+2)(x-a),x<1（a為常數，e為自然對數的底數）的圖象在點A(e,1)A.

-3-22<a<-3+22

B.

a<-2或【答案】D【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程，函數的零點與方程根的關系【解析】【解答】由f(x)=lnx，x?1，得f'(x)=1x，則f'（∴f(x)在點A(e,1)處的切線方程為：y=由于函數y=f(x)=1e(x+2)(x-a)∴由①②聯立方程組可得：{y=1化簡得：x2要使得函數f(x)在點A(e,1)處的切線與該函數的圖象恰好有三個公共點，∵切線與f(x)=lnx，x?1，在A(e,1)∴只需要滿足③式x2+(1-a)x-2a=0則只需Δ>0和拋物線對稱軸小于1，且當x=1時x2+(1才能保證在x<1內有兩個不相同的實數根，則{Δ>01+(1-a)-2a>0解得：{(-∞∴所以實數a的取值范圍為a<-3-22故答案為：D．

【分析】利用求導的方法求出函數在切點處的切線的斜率，再利用點斜式求出函數在切點處的切線方程，所以f(x)在點A(e,1)處的切線方程為：y=1ex①，由于函數y=f(x)=1e(x+2)(x-a)，x<1②，由①②聯立方程組化簡得：x2+(1-a)x-2a=0③，要使得函數f(x)在點A(e,1)處的切線與該函數的圖象恰好有三個公共點，再利用兩函數交點的橫坐標與方程的根的等價關系，因為切線與f(x)=lnx，x?1，在A(e,1)點有一個交點，所以只需要滿足③式x2+(1-a)x-2a=0在x<1內有兩個不相同的實數根即可，則只需二、填空題10.求值cos330【答案】3【考點】運用誘導公式化簡求值【解析】【解答】cos330°=cos(360【分析】利用誘導公式可得cos330°=11.隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)，已知P(ξ，則P(ξ<2)=________.【答案】0.7【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，概率的應用【解析】【解答】隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)，∴曲線關于x=1對稱，∴P(ξ<0)=P(ξ，∴P(ξ。點睛：關于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1。

【分析】利用已知條件結合隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)，再利用正態(tài)分布對應的函數的圖象的對稱性，從而求出P(ξ<2)的值。12.已知隨機變量ξ~B(n,p)，且Eξ=6，Dξ=3，則n=________.【答案】12【考點】離散型隨機變量的期望與方差，二項分布與n次獨立重復試驗的模型【解析】【解答】∵ξ~B(n,p)，由二項分布的期望和方差公式得{Eξ=np=6Dξ=np(1-p)=3，解得故答案為：12。

【分析】利用已知條件結合隨機變量服從二項分布，再利用二項分布求數學期望和方差公式，從而解方程組求出n和p的值。13.(3x-1)5的展開式中，設各項的系數和為a，各項的二項式系數和為b，則【答案】1【考點】二項式系數的性質【解析】【解答】解：在(3x-1)5的展開式中，令x=1，可得各項的系數和為a=而各項的二項式系數和為b=25∴ab故答案為：1。

【分析】利用已知條件結合賦值法求出各項的系數和a的值，再利用二項式系數和公式，從而求出b的值，進而求出ab14.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0，-π<φ<0)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式為【答案】2【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式【解析】【解答】由圖可知最大值為2，故A=2，由圖可知34T=5π12-(-π3)，所以T=π故f(x)=2sin(2x+φ)又因為函數經過點(5π12,2)，即2=2sin(2×又因為-π<φ<0，所以φ=-所以f(x)=2sin(2x故答案為：2sin(2x

【分析】利用正弦型函數的最高點的縱坐標求出A的值，再利用正弦型函數的最小正周期公式求出ω的值，再結合正弦函數五點對應法，從而結合φ的取值范圍求出φ的值，進而利用正弦型函數的部分圖象求出正弦型函數的解析式。15.用1，2，3，4，5，6組成六位數(沒有重復數字)，要求任何兩個相鄰數字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數的個數是________.【答案】40【考點】分步乘法計數原理，排列、組合及簡單計數問題【解析】【解答】第一步：先將3，5排列有A22第二步：再將4，6插空排列（滿足奇偶性不同）有2A2第三步：將1，2捆綁插空排列有A51由分步計數原理可得A22故答案為：40。

【分析】利用已知條件結合排列數公式和分步乘法計數原理，從而求出任何兩個相鄰數字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數的個數。三、解答題16.已知α,β為銳角，tanα=43，cos（1）求cos2α的值。（2）求tan(α-β)【答案】（1）解：∵{tanα=43sin2α+cos2α=1α為銳角?α,β∈(0,π2即sin(α+β)=255，tan【考點】同角三角函數間的基本關系，同角三角函數基本關系的運用【解析】【分析】（1）同三角函數關系，得到sinα,cosα，再用倍角公式。（217.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量ξ表示所選3人中女生的人數.（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的數學期望；（3）求“所選3人中女生人數ξ≤1”【答案】（1）ξ可能取的值為0，1，（ξ=k）=C2k·C43所以，ξ的分布列為ξ012P131

（2）由（1），ξ的數學期望為Eξ=0×15+1×35+2×15=1；

（3【考點】互斥事件的概率加法公式，離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差【解析】【分析】（1）利用已知條件求出隨機變量ξ可能取的值，再利用組合數公式結合古典概型求概率公式，從而求出隨機變量ξ的分布列。

（2）利用隨機變量ξ的分布列結合數學期望公式，從而求出隨機變量ξ的數學期望。

（3）利用已知條件結合互斥事件加法求概率公式，從而求出“所選3人中女生人數ξ≤118.已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1（1）求a,b的值；（2）若f(-1)=32，求【答案】（1）解：f′（x）＝3x2＋2ax＋b＝0．由題設知x＝1，x＝－23為f′（x）＝0∴－23a＝1－23，b3＝1×(-23)．∴a＝－12，b＝－2．經檢驗，這時

（2）解：f（x）＝x3－12x2－2x＋c，由f（－1）＝－1－12＋2＋c＝32，得c∴f（x）＝x3－12x2－2x＋1x(-(1(1,+f+00+f(x)遞增極大值遞減極小值遞增∴f（x）的遞增區(qū)間為(-∞,-23)和（1，＋∞），遞減區(qū)間為(-23,1)．當x＝－23時，（x）有極大值f(-23)＝49【考點】利用導數研究函數的極值【解析】【分析】（1）因為函數在極值點處導數等于0，所以若f（x）在x=1與x=-23時，都取得極值，則f'(1)=0,f'(-23)=0,就可得到a，b的值；（2）先由f(-1)=32求出函數中的c值，再求導數，令導數大于0，解得19.已知函數f(x)=23tan(（1）求函數f(x)的定義域和最小正周期；（2）若將函數f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的12倍，縱坐標不變，然后再向右平移φ(φ>0)個單位長度，所得函數的圖象關于y軸對稱，求φ的最小值【答案】（1）因為x2+π4≠π2+kπ(k∈Z)f(x)=2=2=2===2T=所以函數f(x)的最小正周期2π，

（2）因為將函數f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的12倍，縱坐標不變，所以y=2sin(2x+因為又向右平移φ(φ>0)個單位長度，所以y=2sin[2(x又因為平移后函數的圖象關于y軸對稱，所以-2φ+π即φ=-π12-kπ2(k∈Z)，所以當k=-所以φ取得最小值為5π12【考點】函數的定義域及其求法，三角函數的周期性及其求法，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，圖形的對稱性【解析】【分析】（1）利用正切型函數求定義域的方法，從而求出函數f(x)的定義域，再利用同角三角函數基本關系式結合二倍角的正弦公式和誘導公式，再結合輔助角公式化簡函數為正弦型函數，再利用正弦型函數最小正周期公式，從而求出正弦型函數f(x)的最小正周期。

（2)利用已知條件結合正弦型函數的圖象變換，從而得出變換