2020-2021學(xué)年江蘇省無(wú)錫市天一中學(xué)高一下學(xué)期期末考試試題（平行班）數(shù)學(xué)

20202021學(xué)年江蘇省無(wú)錫市天一中學(xué)高一下學(xué)期期末考試試題（平行班）數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的虛部為B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C.D.的共軛復(fù)數(shù)為3.從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選3名同學(xué)，那么互斥而不對(duì)立的事件是（）中，，，，則此三角形解的情況是（）5.如圖所示的三角形上各有一個(gè)數(shù)字，若六個(gè)三角形上的數(shù)字之和為26，則稱(chēng)該圖形是“和諧圖形”，已知其中四個(gè)三角形上的數(shù)字之和為20，現(xiàn)從1，2，3，4，5中任取兩個(gè)數(shù)字標(biāo)在另外兩個(gè)三角形上，則恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為（）A. B. C. D.，是兩條不同的直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同的平面，則（），，則，，則，，則，，則7.如圖，點(diǎn)是正方體的棱的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.8.若圓錐的體積與球的體積相等，且圓錐的底面半徑與球的直徑相等，則圓錐的側(cè)面積與球的表面積之比為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9.給定一組數(shù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則（）10.下列說(shuō)法正確的是（），是互斥事件，則，C.某校200名教師的職稱(chēng)分布情況如下：高級(jí)占比20%，中級(jí)占比50%，初級(jí)占比30%，現(xiàn)從中抽取50名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則高級(jí)教師應(yīng)抽取10人D.一位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生相鄰的概率是11.下列結(jié)論正確的是（）中，若，則中，若，則是銳角三角形，則三角形為等腰三角形中，，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.的直線(xiàn)交，于，，若，，則D.與共線(xiàn)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.中，，，，則其外接圓的面積為_(kāi)_____.14.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”.現(xiàn)有一“陽(yáng)馬”，底面，，，則該“陽(yáng)馬”的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)等于______；外接球表面積等于______.15.某大學(xué)選拔新生補(bǔ)充進(jìn)“籃球”，“電子竟技”，“國(guó)學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，新生通過(guò)考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立，2020年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過(guò)考核選拔進(jìn)入該校的“籃球”，“電子竟技”，“國(guó)學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為，，，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，且，則的值是______.16.如圖，在四邊形中，，，，，將沿折起，使平面平面，構(gòu)成三棱錐，則在三棱錐中，下列判斷正確的是______（寫(xiě)出所有正確的序號(hào)）①平面平面②直線(xiàn)與平面所成角是③平面平面④二面角余弦值為四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）已知向量，，，.（1）若四邊形是平行四邊形，求，的值（2）若為等腰直角三角形，且為直角，求，的值.18.（12分）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且滿(mǎn)足.（1）求復(fù)數(shù)；（2）設(shè)復(fù)數(shù)（）滿(mǎn)足：為純虛數(shù)，，求的值.19.（12分）在中，角、、對(duì)應(yīng)的邊分別是、、，已知.（1）求角的大小；（2）若的面積，，求的值.20.（12分）某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶(hù)居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過(guò)收費(fèi)，超過(guò)但不超過(guò)收費(fèi)，超過(guò)收費(fèi).（1）求某戶(hù)居民用電費(fèi)用（單位：元）關(guān)于月用電量（單位：）的函數(shù)解析式（2）為了了解居民的用電情況，通過(guò)抽樣獲得了今年1月份100戶(hù)居民每戶(hù)的月用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率直方圖.若這100戶(hù)居民中，今年1月份電費(fèi)不超過(guò)260元的占80%，求，的值；（3）在（2）的條件下，計(jì)算月用電量的75百分位數(shù).21.（12分）如圖，在直三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，求證：.22.（12分）夜晚，在僑中棟5樓觀賞完美大廈的霓虹燈是一件很愜意的事.完美大廈主樓目前是我市中心城區(qū)最高的地標(biāo)性建筑.某學(xué)習(xí)小組要完成兩個(gè)實(shí)習(xí)作業(yè)：驗(yàn)證百度地圖測(cè)距的正確性及測(cè)算完美大廈主樓的高度，如圖（1），博愛(ài)路沿線(xiàn)的水平路面上有兩點(diǎn)，，其中長(zhǎng)度為，接著在南外環(huán)沿線(xiàn)選定水平路面上可直接測(cè)距的，兩點(diǎn)，測(cè)得，，，，學(xué)習(xí)小組根據(jù)上述條件計(jì)算出長(zhǎng)度，并將其與的實(shí)際長(zhǎng)度進(jìn)行比較，若誤差介于米~20米之間，則認(rèn)為百度地圖測(cè)距是準(zhǔn)確的.（1）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明百度地圖測(cè)距是否準(zhǔn)確？（）（2）如圖（2），小組在處測(cè)得完美大廈主樓樓頂在西偏北方向上，在處測(cè)得樓頂在西偏北方向上，且仰角；通過(guò)計(jì)算得，，，若百度地圖測(cè)出的是準(zhǔn)確的，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)測(cè)算完美大廈主樓的高度（精確到1米）.江蘇省天一中學(xué)20202021學(xué)年第二學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)學(xué)科（平行班）答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.【答案】C解：對(duì)于A，，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，，所以?xún)蓚€(gè)向量，不平行，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選C.2.【答案】D解：∵，A.的虛部為4，故A錯(cuò)誤；B.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，故B錯(cuò)誤；C.，故C錯(cuò)誤；D.的共軛復(fù)數(shù)為，故D正確；故選D.3.【答案】C解：從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選3名同學(xué)，在A中，至少有一名男同學(xué)與都是男同學(xué)能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；在B中，至少有一名男同學(xué)與都是女同學(xué)是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；在C中，恰有一名男同學(xué)與恰有兩名男同學(xué)不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥面不對(duì)立的事件，故C正確；在D中，至少有一名男同學(xué)與至少有一名女同學(xué)能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.【答案】B解：由正弦定理得：，則，因?yàn)?，且，所以可以為銳角也可以為鈍角，因此三角形解的情況是兩解.故選B.5.【答案】B解：由題意可知，若該圖形為“和諧圖形”，則另外兩個(gè)三角形上的數(shù)字之和恰為.從1，2，3，4，5中任取兩個(gè)數(shù)字，基本事件總數(shù)為：，，，，，，，，，，共10個(gè)，設(shè)事件“取出的兩個(gè)數(shù)字之和為6”，則事件包含的基本事件有：，，共2個(gè)，因此該圖形為“和諧圖形”的概率為，故選B.6.【答案】C，，則；此命題錯(cuò)誤，因?yàn)閮蓚€(gè)平面平行于同一條直線(xiàn)不能保證兩個(gè)平面平行，故A不正確；，，則或，故B不正確；，，則；此命題正確，因?yàn)椋瑒t一定存在直線(xiàn)在，使得，又可得出，由面面垂直的判定定理知，，故C正確；，，則或，異面，故D不正確.故選C.7.【答案】A解：如圖，連接，∵，，∴四邊形為平行四邊形，則，則為異面直線(xiàn)與所成角，連接.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，.∴.即異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是.故選A.8.【答案】A解：設(shè)球的半徑為，所以球的體積為.設(shè)圓錐的高為，因?yàn)閳A錐與球的體積相等，∴，∴.圓錐的母線(xiàn)為：，球的表面積為：.圓錐的側(cè)面積為：，圓錐側(cè)面積與球面面積之比為.故選A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9.【答案】AC解：平均數(shù)為，故A正確；標(biāo)準(zhǔn)差為，故B錯(cuò)誤；觀察數(shù)據(jù)可得眾數(shù)為2和3，故C正確；將數(shù)據(jù)從小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.則，∴第85百分位數(shù)為5，故D錯(cuò)誤.故選AC.10.【答案】BCD解：對(duì)于A，∵他們各自解出的概率分別是，，則此題不能解出的概率為，則此題能解出的概率為，故A錯(cuò)；對(duì)于B，若，是互斥事件，則，，故B正確；對(duì)于C，高級(jí)教師應(yīng)抽取人，故C正確；對(duì)于D，由列舉法可知，兩位女生相鄰的概率是，故D正確.故選CD.11.【答案】AD中，由，故A正確.，則，又因?yàn)?，所以為銳角，但不一定為銳角三角形，故B錯(cuò)誤.C.∵，∴或，∴或，所以三角形為等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；中，∵，∴，即，同理：，∴，故D正確，故選AD.12.【答案】ACD解：對(duì)于A，由垂徑定理可知，外心在上的射影為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)于B，若，由，則，即，同理，，即點(diǎn)為的垂心.又為的垂心，則有，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線(xiàn)，故存在實(shí)數(shù)，使得，又為的重心，故，所以，則，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以與垂直，又為的垂心，則與垂直，所以與共線(xiàn)，故D正確，故選ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【答案】解：在中，，，故，由余弦定理可得，，則利用正弦定理可得：的外接圓的直徑為，可得：的外接圓的半徑為，故的外接圓的面積為，故答案為：.，則其外接圓的面積為_(kāi)_____.14.【答案】3；解：如圖所示：易知該“陽(yáng)馬”的側(cè)棱長(zhǎng)為，，，故最長(zhǎng)的側(cè)棱為3，由條件易得：陽(yáng)馬的外接球印是以、、為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接球.設(shè)其半徑為，則，解得，所以外接球表面積，故答案為3；.15.【答案】解：由題知三個(gè)社團(tuán)都能進(jìn)入的概率為，即，又因?yàn)橹辽龠M(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，即一個(gè)社團(tuán)都沒(méi)能進(jìn)入的概率為.即，整理得.故答案為.16.【答案】②③④解：在四邊形中，由已知可得，假設(shè)平面平面，又平面平面，且平面平面，可得平面，有，與矛盾，則假設(shè)錯(cuò)誤，故①錯(cuò)誤；在四邊形中，由已知可得，又平面平面，且平面平面，則平面，為直線(xiàn)與平面所成角是，故②正確；由判斷②時(shí)可知，平面，則，又，，則平面，而平面，則平面平面，故③正確；由判斷③時(shí)可知，平面，則為二面角的平面角，設(shè)，則，由，得，得，故④正確.故答案為：②③④.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.解：（1）因?yàn)?，，，，所以，，由，得?………………5分（2）因?yàn)椋?，為直角，所以?又，所以.聯(lián)立，解得或.………………10分18.解：（1）∵，∴，又復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，∴；…………4分（2）∵（），∴，∵為純虛數(shù)，∴，且，由，得，聯(lián)立可得，或，，∴.…………12分19.解：（1）由，得，即，解得或（舍去）.因?yàn)?，所?………………6分（2）由，得到，又，解得，由余弦定理得，故.又由正弦定理得.…………12分20.解：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以與之間的函數(shù)解析式為…………4分（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，即用電量低于400千瓦時(shí)的占80%，結(jié)合頻率分布直方圖可知解得，.…………8分（3）設(shè)75%分位數(shù)為，因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時(shí)的所占比例為，用電量低于400千瓦時(shí)的占80%，所以75%分位數(shù)在內(nèi)，所以，解得，即用電量的75%分位數(shù)為375千瓦時(shí).…………12分21.證明：（1）在直三棱柱中，四邊形是平行四邊形，所以.在中，，分別為，的中點(diǎn)，故，所