專題16一元一次不等式（4個知識點(diǎn)5種題型3個易錯點(diǎn)2種中考考法）

專題16一元一次不等式（4個知識點(diǎn)5種題型3個易錯點(diǎn)2種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1.一元一次不等式的概念（重點(diǎn)）知識點(diǎn)2不等式的解集（不等式的解）（重點(diǎn)）知識點(diǎn)3.一元一次不等式的解法（重點(diǎn)）（難點(diǎn)）知識點(diǎn)4.利用一元一次不等式解應(yīng)用題（重點(diǎn)）【方法二】實例探索法題型1.一元一次不等式的特殊解問題題型2.已知不等式的解求字母的取值題型3.方程與不等式的綜合題型4.一元一次不等式在決策中的應(yīng)用題型5.含絕對值不等式的應(yīng)用【方法三】差異對比法易錯點(diǎn)1.不等式兩邊同除以一個負(fù)數(shù)時易出錯易錯點(diǎn)2.去分母時，忘記添括號易錯點(diǎn)3.去分母時，漏乘不含分母的項【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1.一元一次不等式的解法考法2.列一元一次不等式解應(yīng)用題【方法五】成果評定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解一元一次不等式的概念。理解一元一次不等式的解的概念，并會在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解。掌握解一元一次不等式的一般步驟，并會運(yùn)用該步驟解一元一次不等式。會在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解。會根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列一元一次不等式，并會利用一元一次不等式解決簡單的實際問題?！局R導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1.一元一次不等式的概念（重點(diǎn)）只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一個一元一次不等式．注意：一元一次不等式滿足的條件：①左右兩邊都是整式(單項式或多項式)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)為1【例1】（2021春?吳江區(qū)期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A．4x﹣5y＜1 B．4y+2≤0 C．﹣1＜2 D．x2﹣3＞5【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義逐個判斷即可．【解答】解：A、不是一元一次不等式，故本選項不符合題意；B、是一元一次不等式，故本選項符合題意；C、不是一元一次不等式，故本選項不符合題意；D、不是一元一次不等式，故本選項不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式的定義，能熟記一元一次不等式的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．【變式】（2021春?亭湖區(qū)校級月考）請寫出一個解集為x＜2的一元一次不等式（未知數(shù)的系數(shù)不能為1）．【分析】根據(jù)已知解集寫出不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得：2x+4＜8，故答案為：2x+4＜8（答案不唯一）．【點(diǎn)評】此題考查了一元一次不等式的定義，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)2不等式的解集（不等式的解）（重點(diǎn)）（1）不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集．（2）解不等式的定義：求不等式的解集的過程叫做解不等式．（3）不等式的解和解集的區(qū)別和聯(lián)系不等式的解是一些具體的值，有無數(shù)個，用符號表示；不等式的解集是一個范圍，用不等號表示．不等式的每一個解都在它的解集的范圍內(nèi)．【例2】（2022春?如東縣期中）不等式0≤x＜2的解（）A．為0，1，2 B．為0，1 C．為1，2 D．有無數(shù)個【分析】根據(jù)不等式的解集的定義解答即可．【解答】解：不等式0≤x＜2的解有無數(shù)個．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了不等式的解集，掌握不等式的解集的定義是解題的關(guān)鍵．要注意：不等式的解的定義：使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解．不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集．【變式】（2022春?玄武區(qū)期末）關(guān)于x的不等式ax+b＞c的解集為x＜3，則關(guān)于x的不等式a（x﹣2）+b＞c的解集為（）A．x＜3 B．x＞3 C．x＜5 D．x＜1【分析】解法1根據(jù)第一個不等式的解集，得出有關(guān)a，b，c的代數(shù)式的值，從而求出答案．解法2根據(jù)第一個不等式的解得出a，b，c的關(guān)系，再整體代入求解．【解答】解：解法1：因為不等式ax+b＞c的解集為x＜3，所以a＜0，且c﹣b＝3a，a（x﹣2）+b＞c可化為：x＜，而＝＝5，∴x＜5．故選：C．解法2：因為不等式ax+b＞c的解集為x＜3，所以a＜0，且＝3，∴a（x﹣2）+b＞c可化為：x＜，∵＝2+＝2+3＝5，∴原不等式的解集為：x＜5，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了不等式的解法．根據(jù)不等式的性質(zhì)解不等式是解題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)3.一元一次不等式的解法（重點(diǎn)）（難點(diǎn)）解一元一次不等式的一般步驟是：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為1；⑥其中當(dāng)系數(shù)是負(fù)數(shù)時，不等號的方向要改變。（1）去分母：根據(jù)不等式的性質(zhì)2和3，把不等式的兩邊同時乘以各分母的最小公倍數(shù)，得到整數(shù)系數(shù)的小等式。（2）去括號：根據(jù)上括號的法則，特別要注意括號外面是負(fù)號時，去掉括號和負(fù)號，括號里面的各項要改變符號。（3）移項：根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，一般把含有未知數(shù)的項移到不等式的左邊，常數(shù)項移到不等式的右邊。（4）合并同類項。（5）將未知數(shù)的系數(shù)化為1：根據(jù)不等式基本性質(zhì)2或3，特別要注意系數(shù)化為1時，系數(shù)是負(fù)數(shù)，不等號要改變方向。（6）有些時候需要在數(shù)軸上表示不等式的解集。在用數(shù)軸表示不等式的解集時，要確定邊界和方向：（1）邊界：有等號的是實心圓點(diǎn)，無等號的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小向左．【例3】（2023春?菏澤月考）解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來．（1）．（2）5x﹣1≤3（x+1）．（3）3x+1≥﹣5．（4）．【答案】（1）x＞﹣1；（2）x≤2；（3）x≥﹣2；（4）x≤﹣2．【解答】解：（1），x+5﹣8＜4（3x+2），x+5﹣8＜12x+8，x﹣12x＜8+8﹣5，﹣11x＜11，x＞﹣1，解集在數(shù)軸上表示為：（2）去括號得，5x﹣1≤3x+3，移項得，5x﹣3x≤3+1，合并同類項得，2x≤4，系數(shù)化為1得，x≤2，解集在數(shù)軸上表示為：（3）3x+1≥﹣5，移項得，3x≥﹣5﹣1，合并同類項得，3x≥﹣6，系數(shù)化為1得，x≥﹣2，解集在數(shù)軸上表示為：（4），去分母得，，去括號得，6﹣16﹣2x≥3x，移項得，﹣2x﹣3x≥﹣6+16，合并同類項得，﹣5x≥10，系數(shù)化為1得，x≤﹣2．解集在數(shù)軸上表示為：【變式】（2022秋?姑蘇區(qū)校級期末）解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．3x+1＜2（x+1）．【分析】先去括號，然后移項、合并同類項，系數(shù)化為1，進(jìn)而可求出不等式的解集；然后將其解集在數(shù)軸上表示出來即可．【解答】解：3x+1＜2（x+1），∴3x+1＜2x+2，∴x＜1，在數(shù)軸上表示不等式的解集為：【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集的應(yīng)用，能求出不等式的解集是解此題的關(guān)鍵，難度適中．知識點(diǎn)4.利用一元一次不等式解應(yīng)用題（重點(diǎn)）（1）由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)．②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫出符合題意的解．【例4】（2022春?清江浦區(qū)期末）某醫(yī)院準(zhǔn)備派遣醫(yī)護(hù)人員協(xié)助西安市抗擊疫情，現(xiàn)有甲、乙兩種型號的客車可供租用，已知每輛甲型客車的租金為280元，每輛乙型客車的租金為220元，若醫(yī)院計劃租用6輛客車，租車的總租金不超過1530元，那么最多租用甲型客車多少輛？【分析】設(shè)租用甲型客車x輛，則租用乙型客車（6﹣x）輛，利用總租金＝每輛甲型客車的租金×租用數(shù)量+每輛乙型客車的租金×租用數(shù)量，結(jié)合總租金不超過1530元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)租用甲型客車x輛，則租用乙型客車（6﹣x）輛，依題意得：280x+220（6﹣x）≤1530，解得：x≤．又∵x為整數(shù)，∴x的最大值為3．答：最多租用甲型客車3輛．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．【變式】．（2022秋?蘇州期末）小穎家每月水費(fèi)都不少于15元，自來水公司的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：若每戶每月用水不超過5立方米，則每立方米收費(fèi)元；若每戶每月用水超過5立方米，則超出部分每立方米收費(fèi)2元，小穎家每月用水量至少是立方米．【分析】先設(shè)小穎每月用水量是x立方米，根據(jù)小穎家每月水費(fèi)都不少于15元及超過5立方米與不超過5立方米的水費(fèi)價格列出不等式，求解即可．【解答】解：設(shè)小穎每月用水量是x立方米，×5+2（x﹣5）≥15，解得，x≥8．故答案為：8．【點(diǎn)評】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題列出不等式關(guān)系式即可求解．【方法二】實例探索法題型1.一元一次不等式的特殊解問題1．（2022秋?高新區(qū)期末）若代數(shù)式2m+7的值不大于3，則m的最大整數(shù)解是．【分析】根據(jù)題意列出不等式，求出解集確定出m的最大整數(shù)解即可．【解答】解：根據(jù)題意得：2m+7≤3，移項得：2m≤3﹣7，合并同類項得：2m≤﹣4，解得：m≤﹣2，則m的最大整數(shù)解是﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】此題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，以及代數(shù)式求值，熟練掌握不等式的解法是解本題的關(guān)鍵．2．（2022秋?姑蘇區(qū)校級期末）定義新運(yùn)算：a⊕b＝1﹣ab，則不等式x⊕2≥﹣3的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)為．【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算得出1﹣2x≥﹣3，求出1﹣2x≥﹣3的非負(fù)整數(shù)解即可．【解答】解：根據(jù)新定義的運(yùn)算方法可得，x⊕2≥﹣3，即1﹣2x≥﹣3，解得x≤2，而x≤2的非負(fù)整數(shù)為2、1、0，共3個，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查一元一次不等式的整數(shù)解，理解新定義的運(yùn)算是正確解答的關(guān)鍵，求出一元一次不等式的解集是得出正確答案的前提．3．（2022秋?姑蘇區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的方程2x﹣a＝3．（1）若該方程的解滿足x＞1，求a的取值范圍；（2）若該方程的解是不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1）的最小整數(shù)解，求a的值．【分析】（1）首先要解這個關(guān)于x的方程，求出方程的解，根據(jù)方程的解滿足x＞1，可以得到一個關(guān)于a的不等式，就可以求出a的范圍；（2）首先解不等式求得不等式的解集，然后確定解集中的最小整數(shù)值，代入方程求得a的值即可．【解答】解：（1）解方程2x﹣a＝3，得x＝，∵該方程的解滿足x＞1，∴＞1，解得a＞﹣1；（2）解不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1），去括號，得：3x﹣6+5＜4x﹣4，移項，得3x﹣4x＜﹣4+6﹣5，合并同類項，得﹣x＜﹣3，系數(shù)化成1得：x＞3．則最小的整數(shù)解是4．把x＝4代入2x﹣a＝3得：8﹣a＝3，解得：a＝5．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式的解法以及方程的解的定義，正確解不等式求得x的值是關(guān)鍵．題型2.已知不等式的解求字母的取值4.（2023春?牡丹區(qū)校級月考）已知關(guān)于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集為x＜﹣1，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＞1 C．a(chǎn)＜0 D．a(chǎn)＜1【答案】B【解答】解：∵關(guān)于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集為x＜﹣1，∴1﹣a＜0，解得：a＞1．故選：B．5.（2022?南京模擬）若（a+3）x＞a+3的解集為x＜1，則a必須滿足（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)＞﹣3 C．a(chǎn)＜﹣3 D．a(chǎn)＞3【答案】C【解答】解：∵（a+3）x＞a+3的解集為x＜1，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3．故選：C．6.（2022春?錦江區(qū)校級期中）若關(guān)于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集是x＞，則m的取值范圍是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m≤1【答案】B【解答】解：∵關(guān)于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集里x＞，∴m﹣1＜0，∴m＜1．故選：B．7.（2022秋?岳陽樓區(qū)校級期末）若（m+1）x＞m+1的解集為x＜1，則m的取值范圍是．【答案】m＜﹣1．【解答】解：∵（m+1）x＞m+1的解集是x＜1，∴m+1＜0，解得：m＜﹣1．故答案為：m＜﹣1．8．（2022春?崇川區(qū)校級月考）x＝1不是不等式（x﹣5）（ax+3a+2）≤0的解，則實數(shù)a的取值范圍是．【分析】根據(jù)題意可知把x＝1代入不等式（1﹣5）（a+3a+2）＞0，進(jìn)而問題可求解．【解答】解：由題意得：把x＝1代入不等式得：（1﹣5）（a+3a+2）＞0，∴4a+2＜0，解得：；故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查一元一次不等式的解法，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·河南平頂山·八年級校考階段練習(xí)）已知不等式的解集為，則m的值為．【答案】2【分析】由不等式的性質(zhì)先求出原不等式的解集，再根據(jù)已知條件即可求得m的值．【詳解】解：原不等式系數(shù)化1得，，因為不等式的解集是，所以可得，解得：，故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查不等式的解集，注意當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時，兩邊同除以未知．?dāng)?shù)的系數(shù)需改變不等號的方向．同理，當(dāng)不等號的方向改變后，也可以知道不等式兩邊除以的是一個負(fù)數(shù)．10．（2023春·山東棗莊·八年級?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是.【答案】【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義，未知數(shù)的次數(shù)是1且系數(shù)不為0，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的不等式是一元一次不等式，∴且，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次不等式的定義，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．題型3.方程與不等式的綜合11．（2023秋·四川瀘州·八年級校聯(lián)考開學(xué)考試）若關(guān)于，的方程組的解滿足，則的所有非負(fù)整數(shù)之和為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】兩式相加可得，代入已知不等式求出的范圍，再確定的所有非負(fù)整數(shù)解即可求出結(jié)果．【詳解】解：①+②，得的非負(fù)整數(shù)為3，2，1，0，的所有非負(fù)整數(shù)之和為故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組和一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出關(guān)于的不等式．12．（2023春·河南焦作·八年級焦作市實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）若關(guān)于和的二元一次方程組，滿足，求整數(shù)的最小值．【答案】0【分析】直接將方程組中兩方程相減，進(jìn)而得出關(guān)于m的不等式，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：，∴①②得：，，解得：．∴整數(shù)m的最小值為0，故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組和解不等式，掌握解二元一次方程組的方法步驟是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市第七中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知不等式的最大整數(shù)解是方程的解，求a的值．【答案】【分析】先求得不等式的解集，可求得的最大整數(shù)解是，也就是方程的解是，把代入，即可求得的值．【詳解】解：解不等式，得：，該不等式的最大整數(shù)解為，將代入，得：，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次不等式的整數(shù)解與一元一次方程的解及代數(shù)式的求值．解題關(guān)鍵是先求出不等式的解，再代入方程求出的值．14．（2023春·四川達(dá)州·八年級?？茧A段練習(xí)）如果關(guān)于的方程的解不大于1，且是一個正整數(shù)，試確定的值．【答案】當(dāng)時，，當(dāng)時，【分析】先解一元一次方程得到，再根據(jù)的值不大于1，得到關(guān)于的不等式，求出的取值范圍，再根據(jù)是一個正整數(shù)即可確定出的值，進(jìn)而得出的值．【詳解】解：去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，關(guān)于的方程的解不大于1，，解得：，是一個正整數(shù)，或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，解答此題的關(guān)鍵是把當(dāng)作已知表示出的值，再根據(jù)的取值范圍得到關(guān)于的不等式．15．（2023秋·八年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)，求m的取值范圍．【答案】且【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解為正數(shù)確定出m的范圍即可．【詳解】解：，方程兩邊同乘，得，解得．∵x為正數(shù)，∴且，解得且，∴m的取值范圍是且【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．題型4.一元一次不等式在決策中的應(yīng)用16．（2023春?濱海縣月考）2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩和冬殘奧會吉祥物雪容融深受大家喜愛．已知購買1個冰墩墩毛絨玩具和2個雪容融毛絨玩具用了400元，購買3個冰墩墩毛絨玩具和4個雪容融毛絨玩具用了1000元．（1）求這兩種毛絨玩具的單價各是多少元？（2）若某商店購進(jìn)兩種玩具共60個，費(fèi)用不超過8000元，求冰墩墩毛絨玩具最多購進(jìn)多少只？【分析】（1）設(shè)冰墩墩毛絨玩具的單價為x元，雪容融毛絨玩具的單價為y元，由總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合“購買1個冰墩墩和2個雪容融毛絨玩具需400元；購買3個冰墩墩和4個雪容融毛絨玩具需1000元”，即可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解二元一次方程組即可得出結(jié)果．（2）根據(jù)題意列出不等式，求解即可．【解答】解：（1）設(shè)冰墩墩單價為x元，雪容融單價為y元，得：，解得：，∴冰墩墩單價為200元，雪容融單價為100元．（2）設(shè)購進(jìn)冰墩墩毛絨玩具a個，依題意得：200a+100（60﹣a）≤8000，解得：a≤20．答：冰墩墩毛絨玩具最多購進(jìn)20個．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．17．（2023春?漣水縣月考）新年伊始，某酒店為了給游客提供更舒適的環(huán)境，決定更換酒店的部分空調(diào)和電視機(jī)．已知購買2臺空調(diào)和3臺電視機(jī)共需12300元；購買3臺空調(diào)和1臺電視機(jī)共需11100元．（1）求空調(diào)和電視機(jī)的單價；（2）若該酒店準(zhǔn)備購買空調(diào)和電視機(jī)共50臺，且空調(diào)數(shù)量不少于電視機(jī)的2倍，請設(shè)計出最省錢的購買方案，并說明理由．【分析】（1）直接利用“購買2臺空調(diào)和3臺電視機(jī)共得12300元；購買3臺空調(diào)和1臺電視機(jī)共需11100元”，分別得出等式組成方程組，進(jìn)而得出答案；（2）根據(jù)空調(diào)數(shù)量不少于電視機(jī)的2倍得出購買空調(diào)的取值范圍，進(jìn)而利用一次函數(shù)的增減性得出答案．【解答】解：（1）設(shè)空調(diào)的單價為x元，電視機(jī)的單價為y元，根據(jù)題意可得：，解得：，答：空調(diào)的單價為3000元，電視機(jī)的單價為2100元；（2）設(shè)購買空調(diào)m臺，則購買電視機(jī)（50﹣m）臺，根據(jù)題意可得：m≥2（50﹣m），解得：m≥，設(shè)總費(fèi)用為w元，則w＝3000m+2100（50﹣m）＝3000m﹣2100m+105000＝900m+105000，當(dāng)m＝34時，w最?。?00×34+105000＝135600，此時50﹣m＝16，則購買空調(diào)34臺，購買電視機(jī)16臺為最省錢的購買方案．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式得出m的取值范圍．18．（2023春?灌云縣月考）隨著第24屆北京冬奧會和冬殘奧會的順利召開，“冰墩墩”和“雪容融”成為了大家競相追捧的吉祥物，某商家迅速抓住這一商機(jī)，購進(jìn)了一批“冰墩墩”和“雪容融”小掛件，已知2個“冰墩墩”和1個“雪容融”小掛件共需26元，4個“冰墩墩”和3個“雪容融”小掛件共需62元．（1）“冰墩墩”和“雪容融”小掛件單價各是多少元？（2）如果這一商家準(zhǔn)備再購進(jìn)相同的“冰墩墩”和“雪容融”小掛件共100個，且“雪容融”的數(shù)量不少于“冰墩墩”數(shù)量的，請設(shè)計出最省錢的購買方案，并求出最少費(fèi)用．【分析】（1）根據(jù)2個“冰墩墩”和1個“雪容融”小掛件共需26元，4個“冰墩墩”和3個“雪容融”小掛件共需62元，可以列出相應(yīng)的方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果，可以得到總費(fèi)用和購進(jìn)“冰墩墩”小掛件個數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)“雪容融”的數(shù)量不少于“冰墩墩”數(shù)量的，可以得到購進(jìn)“冰墩墩”小掛件個數(shù)的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到最省錢的購買方案，并求出最少費(fèi)用．【解答】解：（1）設(shè)“冰墩墩”和“雪容融”小掛件單價分別為a元、b元，由題意可得：，解得，答：“冰墩墩”和“雪容融”小掛件單價分別為8元，10元；（2）設(shè)購進(jìn)“冰墩墩”小掛件x個，則購進(jìn)“雪容融”小掛件（100﹣x）個，所需總費(fèi)用為w元，由題意可得：w＝8x+10（100﹣x）＝﹣2x+1000，∴w隨x的增大而減小，∵“雪容融”的數(shù)量不少于“冰墩墩”數(shù)量的，∴100﹣x≥x，解得x≤75，∴當(dāng)x＝75時，w取得最小值，此時w＝850，100﹣x＝25，答：最省錢的購買方案是設(shè)購進(jìn)“冰墩墩”小掛件75個，購進(jìn)“雪容融”小掛件25個，最少費(fèi)用為850元．【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組和函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值．19．（2023春?吳江區(qū)月考）某快遞公司為了提高工作效率，計劃購買A、B兩種型號的機(jī)器人來搬運(yùn)貨物，已知每臺A型機(jī)器人比每臺B型機(jī)器人每天多搬運(yùn)20噸，并且3臺A型機(jī)器人和2臺B型機(jī)器人每天共搬運(yùn)貨物460噸．（1）求每臺A型機(jī)器人和每臺B型機(jī)器人每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？（2）每臺A型機(jī)器人售價3萬元，每臺B型機(jī)器人售價2萬元，該公司計劃采購A、B兩種型號的機(jī)器人共20臺，必須滿足每天搬運(yùn)的貨物不低于1800噸，請根據(jù)以上要求，求出A、B兩種機(jī)器人分別采購多少臺時，所需費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少？【分析】（1）題目中的等量關(guān)系是：①每臺A型機(jī)器人比每臺B型機(jī)器人每天多搬運(yùn)20噸，②3臺A型機(jī)器人和2臺B型機(jī)器人每天共搬運(yùn)貨物460噸．（2）題目中的不等關(guān)系是：每天搬運(yùn)的貨物不低于1800噸，等量關(guān)系是：總費(fèi)用＝A型機(jī)器費(fèi)用+B型機(jī)器費(fèi)用，極值問題來利用函數(shù)的遞增情況解決．【解答】（1）解：設(shè)每臺A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物x噸，每臺B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物y噸，，解得，∴每臺A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物100噸，每臺B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物80噸；（2）設(shè)：A種機(jī)器人采購m臺，B種機(jī)器人采購（20﹣m）臺，總費(fèi)用為w（萬元），100m+80（20﹣m）≥1800．解得：m≥10．w＝3m+2（20﹣m）＝m+40．∵1＞0，∴w隨著m的減少而減少．∴當(dāng)m＝10時，w有最小值，w小＝10+40＝50．∴A、B兩種機(jī)器人分別采購10臺，10臺時，所需費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是50萬元．【點(diǎn)評】考查了二元一次方程組的應(yīng)用及一次函數(shù)應(yīng)用．解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，找到所求的量的等量關(guān)系．列出對應(yīng)的方程組，極值問題來利用函數(shù)的遞增情況解決題型5.含絕對值不等式的應(yīng)用20．（2023春·河北保定·八年級?？茧A段練習(xí)）不等式的解集是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)絕對值性質(zhì)分、，去絕對值符號后解相應(yīng)不等式可得x的范圍．【詳解】解：①當(dāng)，即時，原式可化為：，解得：，；②當(dāng)，即時，原式可化為：，解得：，，綜上，該不等式的解集是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的能力，根據(jù)絕對值性質(zhì)分類討論是解題的關(guān)鍵．21．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解下列不等式：（1）（2）【答案】（1）或；（2）【分析】根據(jù)絕對值的意義，分類討論，再解一元一次不等式不等式即可．【詳解】（1）當(dāng)時，則，解得，，當(dāng)時，則，解得，，綜上，或；（2）當(dāng)，即時，，解得，，當(dāng)時，則，解得，，綜上，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，根據(jù)絕對值的意義，分類討論是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?姑蘇區(qū)校級期末）數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形進(jìn)行完類地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了很多有趣的結(jié)論和方法．閱讀材料（一）：數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a，b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．閱讀材料（二）：例1：解方程|x﹣1|＝2．容易得出，在數(shù)軸上與1距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為3和﹣1，即該方程的x＝3或x＝﹣1；例2：解不等式|x﹣1|＞2，如圖，在數(shù)軸上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為﹣1，3，則|x﹣1|＞2的解為x＜﹣1或x＞3；參考閱讀材料，利用數(shù)軸探究下列問題：（1）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為6，直接寫出線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為；（2）方程|x+4|＝7的解為．（3）不等式|x﹣3|＞4的解集為．（4）|x+2|﹣|x﹣6|有最大值是；（5）點(diǎn)C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為10，動點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)在數(shù)軸上運(yùn)動，若存在某個位置，使得PA+PB＝PC，則稱點(diǎn)P是關(guān)于點(diǎn)A，B，C的“石室幸運(yùn)點(diǎn)”，請問在數(shù)軸上是否存在“石室幸運(yùn)點(diǎn)”？若存在，請直接寫出所有“石室幸運(yùn)點(diǎn)”．【分析】（1）參照材料一，利用線段的中點(diǎn)公式求解；（2）參照材料二中的例1，根據(jù)絕對值的幾何意義可直接求解；（3）參照材料二中的例2，先求出|x﹣3|＝4的解，再結(jié)合數(shù)軸可得不等式的解集；（4）根據(jù)|x+2|﹣|x﹣6|表示的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸求解；（5）分m＜﹣2，﹣2≤m≤6，6＜m≤10，m＞10四種情況，根據(jù)PA+PB＝PC列方程，即可求解．【解答】解：（1）由材料一可知，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為，故答案為：2；（2）|x+4|＝7可寫成|x﹣（﹣4）|＝7，在數(shù)軸上與﹣4距離為7的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為﹣4±7，即3或﹣11，因此方程|x+4|＝7的解為x＝3或x＝﹣11，故答案為：x＝3或x＝﹣11；（3）在數(shù)軸上與3距離為4的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為3±4，即7或﹣1，可得方程|x﹣3|＝4的解為x＝7或x＝﹣1則|x﹣3|＞4的解為x＜﹣1或x＞7；故答案為：x＜﹣1或x＞7；（4）由絕對值的幾何意義可知，|x+2|﹣|x﹣6|表示x對應(yīng)的點(diǎn)到﹣2的距離與到6的距離之差，因此當(dāng)x≥6時，|x+2|﹣|x﹣6|取最大值，|x+2|﹣|x﹣6|＝x+2﹣x+6＝8，故答案為：8；（5）存在，設(shè)“石室幸運(yùn)點(diǎn)”P對應(yīng)的數(shù)是m，點(diǎn)C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為10，當(dāng)m＜﹣2時，由PA+PB＝PC得：﹣2﹣m+6﹣m＝10﹣m，解得m＝﹣6；當(dāng)﹣2≤m≤6時，由PA+PB＝PC得：m﹣（﹣2）+6﹣m＝10﹣m，解得m＝2；當(dāng)6＜m≤10時，由PA+PB＝PC得：m﹣（﹣2）+m﹣6＝10﹣m，解得，不合題意，舍去；當(dāng)m＞10時，由PA+PB＝PC得：m﹣（﹣2）+m﹣6＝m﹣10，解得m＝﹣6，不合題意，舍去；綜上可知，“石室幸運(yùn)點(diǎn)”P對應(yīng)的數(shù)是﹣6或2．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離，利用數(shù)軸解含絕對值的方程和不等式，解一元一次方程等知識點(diǎn)，掌握絕對值的幾何意義，熟練運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【方法三】差異對比法易錯點(diǎn)1.不等式兩邊同除以一個負(fù)數(shù)時易出錯23.（2022秋?蘇州期末）解下列不等式：．【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得．【解答】解：∵，∴3（x+3）＜5（2x﹣5）﹣15，3x+9＜10x﹣25﹣15，3x﹣10x＜﹣25﹣15﹣9，﹣7x＜﹣49，x＞7．【點(diǎn)評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號方向要改變．易錯點(diǎn)2.去分母時，忘記添括號24．（2023?盤錦）不等式≥的解集是．【答案】x≥﹣3．【解答】解：去分母得，3（x+1）≥2x，去括號得，3x+3≥2x，移項合并同類項得，x≥﹣3．故答案為：x≥﹣3．易錯點(diǎn)3.去分母時，漏乘不含分母的項25．（2023春?鐵西區(qū)期末）解不等式：．【答案】x≥﹣4．【解答】解：，去分母得：3（3x﹣2）﹣12≤2（5x﹣7），去括號得：9x﹣6﹣12≤10x﹣14，移項得：9x﹣10x≤﹣14+6+12，合并同類項得：﹣x≤4，化系數(shù)為1得：x≥﹣4．【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1.一元一次不等式的解法1．（2023?攀枝花）下列各數(shù)是不等式x﹣1≥0的解的是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】移項即可得出答案．【解答】解：∵x﹣1≥0，∴x≥1，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查不等式的解集，解題的關(guān)鍵是正確理解不等式的解的概念，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．（2023?臺州）不等式x+1≥2的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【分析】直接解一元一次不等式，再將解集在數(shù)軸上表示即可．【解答】解：x+1≥2，解得：x≥1，在數(shù)軸上表示，如圖所示：．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了解一元一次不等式，正確解不等式是解題關(guān)鍵．3．（2023?盤錦）不等式≥的解集是．【分析】按解一元一次不等式的步驟解不等式即可．【解答】解：去分母得，3（x+1）≥2x，去括號得，3x+3≥2x，移項合并同類項得，x≥﹣3．故答案為：x≥﹣3．【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是關(guān)鍵．4．（2023?瀘州）關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x+y＞2，寫出a的一個整數(shù)值．【分析】解方程組得到x+y的關(guān)系式，再根據(jù)題目所給的x+y＞2求出取值范圍即可得出結(jié)論．【解答】解：①﹣②得：x+y＝a﹣3．∵x+y＞2，∴a﹣3，解得a．∵，∴．∴，∵a取整數(shù)值，∴a可取大于5的所有整數(shù)．故本題答案為：6（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組、不等式以及無理數(shù)的估算，能正確估計一個無理數(shù)在哪兩個整數(shù)之間是解決問題的關(guān)鍵．5．（2023?宿遷）不等式x﹣2≤1的最大整數(shù)解是．【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：移項、合并同類項可得．【解答】解：移項，得：x≤1+2，合并同類項，得：x≤3，則不等式的最大整數(shù)解為3；故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號方向要改變．考法2.列一元一次不等式解應(yīng)用題6．（2023?麗水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．從這個月開始，小霞每月存15元零花錢，小明每月存12元零花錢，設(shè)經(jīng)過n個月后小霞的存款超過小明，可列不等式為（）A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n【分析】利用小霞原來存款數(shù)+15×月數(shù)n＞小明原來存款數(shù)+12×月數(shù)n，求出即可．【解答】解：由題意可得：52+15n＞70+12n．故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，得到兩人存款數(shù)的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023?廣東）某商品進(jìn)價4元，標(biāo)價5元出售，商家準(zhǔn)備打折銷售，但其利潤率不能少于10%，則最多可打折．【分析】利潤率不能少于10%，意思是利潤率大于或等于10%，相應(yīng)的關(guān)系式為：（打折后的銷售價﹣進(jìn)價）÷進(jìn)價≥10%，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．【解答】解：設(shè)這種商品可以按x折銷售，則售價為5×x，那么利潤為5×x﹣4，所以相應(yīng)的關(guān)系式為5×x﹣4≥4×10%，解得：x≥．答：該商品最多可以打折，故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得到利潤率的相關(guān)關(guān)系式，注意“不能低于”用數(shù)學(xué)符號表示為“≥”；利潤率是利潤與進(jìn)價的比值．8．（2023?淄博）某古鎮(zhèn)為發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉(xiāng)村振興，決定在“五一”期間對團(tuán)隊*旅游實行門票特價優(yōu)惠活動，價格如下表：購票人數(shù)m（人）10≤m≤5051≤m≤100m＞100每人門票價（元）605040*題中的團(tuán)隊人數(shù)均不少于10人．現(xiàn)有甲、乙兩個團(tuán)隊共102人，計劃利用“五一”假期到該古鎮(zhèn)旅游，其中甲團(tuán)隊不足50人，乙團(tuán)隊多于50人．（1）如果兩個團(tuán)隊分別購票，一共應(yīng)付5580元，問甲、乙團(tuán)隊各有多少人？（2）如果兩個團(tuán)隊聯(lián)合起來作為一個“大團(tuán)隊”購票，比兩個團(tuán)隊各自購票節(jié)省的費(fèi)用不少于1200元，問甲團(tuán)隊最少多少人？【分析】（1）設(shè)甲團(tuán)隊有x人，乙團(tuán)隊（102﹣x）人，但需要考慮乙團(tuán)隊人數(shù)是否大于100，所以分類討論即可．甲團(tuán)隊按票價是每人80元，乙團(tuán)隊按票價是每人60元，如果乙超過100人，大概需要繳納4000多元，但是5580元減去4000多元，剩下的錢不足以構(gòu)成甲的人數(shù)，因為此時甲的人數(shù)只能是1人，所以這種情況省略；所以甲人數(shù)在50以下，乙人數(shù)在51到100之間，聯(lián)列方程即可；（2）兩個團(tuán)隊要合起來購票的話，每人40元，列出一共購票的錢和各自購票的錢之和，然后建立不等式即可求解；【解答】解：（1）設(shè)甲人數(shù)x人，乙人數(shù)（102﹣x）人；∵當(dāng)乙大于100人時，此時甲人數(shù)只能是1人，共花的價格不夠5580元；∴乙人數(shù)在51到100之間，甲人數(shù)在10到50之間；∴列方程得：60x+（102﹣x）50＝5580；解之得：x＝48，102﹣x＝54；∴甲48人，乙54人；答：甲團(tuán)隊48人，乙團(tuán)隊54人．（2）設(shè)甲人數(shù)x人，乙人數(shù)（102﹣x）人；甲乙一起買價格：102×40＝4080（元）；甲乙分開買價格：60x+（102﹣x）50；∴60x+（102﹣x）50﹣4080≥1200；解之得：x≥18．∴甲最少18人；答：甲團(tuán)隊最少18人．【點(diǎn)評】本題考查學(xué)生不等式的基本應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【方法五】成果評定法一、單選題1．（2023春·陜西榆林·八年級?？计谥校┫铝胁坏仁街?，屬于一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義求解即可．【詳解】解：A、沒有未知數(shù)，故本選項不符合題意；B、含有兩個未知數(shù)，故本選項不符合題意；C、含有一個未知數(shù)，次數(shù)為1，不等式兩邊是整式，故本選項符合題意；D、含有一個未知數(shù)，但未知數(shù)的次數(shù)是2，故本選項不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的定義，理解一元一次不等式的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·福建福州·八年級?？奸_學(xué)考試）在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法利用排除法進(jìn)行解答．【詳解】解：不等式中包含等于號，必須用實心圓點(diǎn)，可排除A、B，不等式中是大于等于，折線應(yīng)向右折，可排除D．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式解集的方法，即“”空心圓點(diǎn)向右畫折線，“”實心圓點(diǎn)向右畫折線，“”空心圓點(diǎn)向左畫折線，“”實心圓點(diǎn)向左畫折線．3．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）設(shè)“〇”□”△”分別代表三種不同的物體，用天平比較它們質(zhì)量的大小，兩次情況如圖所示，若每個“△”的質(zhì)量為1，則每個“〇”的質(zhì)量的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)“○”的質(zhì)量為，“□”的質(zhì)量為，根據(jù)第二幅圖可得到求出的值，再根據(jù)第一幅圖列出不等式，解不等式結(jié)果為，找到對應(yīng)的數(shù)軸圖即可．【詳解】解：設(shè)“○”的質(zhì)量為，“□”的質(zhì)量為，根據(jù)圖可知，，解得，，即，解得：，則每個“○”的質(zhì)量的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的為圖．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的應(yīng)用，不等式的求解，一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意根據(jù)題中給出的圖列出相應(yīng)的式子是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023春·安徽宿州·八年級校考期中）樅陽實驗中學(xué)為落實“五項管理”工作，促進(jìn)學(xué)生健康和全面發(fā)展﹐豐富學(xué)生的體育活動，準(zhǔn)備從體育用品商店購買一些鞍馬、鉛球，標(biāo)槍，鞍馬和鉛球的單價相同，買一個鉛球需要元，買一個標(biāo)槍需要元．根據(jù)實際需要，該學(xué)校從體育用品商店一次性購買了三種體育器材共個，且購買三種體育器材的總費(fèi)用不超過元，則這所中學(xué)最多可購買標(biāo)槍的個數(shù)為（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】根據(jù)購買三種體育器材的總費(fèi)用不超過6000元，列不等式求出解集后得出相應(yīng)的整數(shù)解，從而求解．【詳解】解：設(shè)該中學(xué)購買標(biāo)槍m個，根據(jù)題意，得：，解得，∵m是整數(shù)，∴m的最大整數(shù)解是．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，列出相應(yīng)總費(fèi)用的不等式是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023春·陜西西安·八年級校考期中）關(guān)于x的一元一次不等式組的解集如圖所示，則它的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)實心圓表示有等號，結(jié)合解集確定的口訣，小大大小中間找，確定．【詳解】根據(jù)實心圓表示有等號，結(jié)合解集確定的口訣，小大大小中間找，故表示的解集是，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸表示不等式的解集，熟練掌握解集確定的法則是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先移項合并同類項，然后再將未知數(shù)的系數(shù)化為1即可．【詳解】解：，移項，合并同類項得：，未知數(shù)系數(shù)化為1得：，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式的一般步驟，準(zhǔn)確計算．7．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的解集，即可得到，然后求得即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的不等式的解集為，∴，∴，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，不等式的兩邊都除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變，不等式的兩邊都除以同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．8．（2023秋·湖南長沙·八年級?？奸_學(xué)考試）不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出解集即可．【詳解】解：，∴，解得：，在數(shù)軸上表示如圖：；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查求不等式的解集，在數(shù)軸上表示不等式的解集，解題的關(guān)鍵是正確的求出不等式的解集．9．（2023春·河北邯鄲·八年級校聯(lián)考期中）某城市出租車的起步價為10元（即行駛距離在3千米及以內(nèi)付10元車費(fèi)），超過3千米后，每行駛1千米加2元（不足1千米按1千米計）．小張在該市乘出租車從甲地到乙地，支付車費(fèi)22元，則從甲地到乙地的路程最多有（

）A．11千米 B．10千米 C．9千米 D．8千米【答案】C【分析】求甲地到乙地的路程，根據(jù)所支付的車費(fèi)可知，大于起步的3千米，由多支付的車費(fèi)列出不等式即可．【詳解】解：設(shè)甲地到乙地的路程是x千米，∵支付的車費(fèi)為22元，大于起步價10元，∴甲到乙的路程大于3千米，由題意得，，解得：，∴從甲地到乙地的路程最多有千米，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查列不等式組解應(yīng)用題，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題列出不等式關(guān)系式即可求解．10．（2023春·陜西榆林·八年級?？计谥校┈幀幦ネ婢叩曩徺I一款心愛的玩具，付款時收銀員說：玩具成本是元，定價為元，今天是店慶，可以打折優(yōu)惠，但利潤率不能低于，則該玩具最多可以打（

）A．折 B．折 C．折 D．折【答案】C【分析】設(shè)該玩具打折銷售，利用利潤售價進(jìn)價，結(jié)合利潤率不能低于，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)該玩具打折銷售，根據(jù)題意：，解得：該玩具最多可以打折，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023秋·廣東廣州·八年級廣州市第一一三中學(xué)?？奸_學(xué)考試）不等式的解集是．【答案】【分析】直接把未知數(shù)的系數(shù)化為1即可.【詳解】解：∵，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的方法與步驟是解本題的關(guān)鍵.12．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市第七中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）“與2的差小于0”用不等式表示為．【答案】/【分析】首先表示“與2的差”，再表示“小于0”即可．【詳解】解：與2的差小于0，用不等式表示為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實際問題列出不等式，關(guān)鍵是要抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、是正數(shù)（負(fù)數(shù)）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號．13．（2023秋·廣東惠州·八年級校考開學(xué)考試）某商品進(jìn)價4元，標(biāo)價6元出售，商家準(zhǔn)備打折出售，但其利潤率不能少于，則最多可打折．【答案】8【分析】利潤率不能少于，意思是利潤率大于或等于，相應(yīng)的關(guān)系式為：（打折后的銷售價進(jìn)價）進(jìn)價，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：設(shè)這種商品可以按折銷售，則售價為，那么利潤為，所以相應(yīng)的關(guān)系式為，解得：．答：該商品最多可以打8折，故答案為：8．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得到利潤率的相關(guān)關(guān)系式，注意“不能少于”用數(shù)學(xué)符號表示為“”；利潤率是利潤與進(jìn)價的比值．14．（2023秋·吉林長春·八年級東北師大附中?？奸_學(xué)考試）某次數(shù)學(xué)測驗，共16道選擇題，評分標(biāo)準(zhǔn)為：答對一題給6分，答錯或不答一題扣2分，小明想自己的分?jǐn)?shù)不低于72分，他至少要答對道題．【答案】13【分析】根據(jù)題意可知：小明答對題目得分+答錯或不答題目的扣分=總分?jǐn)?shù)，然后即可列出相應(yīng)的不等式，再求解即可．【詳解】解：設(shè)小明答對了x道題，由題意可得：，解得，故小明至少答對13道題，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查了用一元一次不等式解決實際問題，根據(jù)題意列出不等式是解答此題的關(guān)鍵．15．（2023春·山東棗莊·八年級?？计谥校┎坏仁降姆秦?fù)整數(shù)解共有個．【答案】6【分析】先求出不等式的解集，然后再求出不等式的非負(fù)整數(shù)解即可．【詳解】解：，去分母得：，移項合并同類項得：，未知數(shù)系數(shù)化為1得：，∴非負(fù)整數(shù)解有5、4、3、2、1、0共6個．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解不等式，求不等式的非負(fù)整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解不等式的一般步驟，得出不等式的解集．16．（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶一中?？计谀┛爝f運(yùn)費(fèi)通常按郵件重量計算，某快遞公司規(guī)定：省內(nèi)郵件重量不超過1千克時收費(fèi)10元；郵件重量超過1千克時，超過的部分按每千克3元收費(fèi)．若省內(nèi)寄快遞的費(fèi)用不超過28元，則郵件的重量最多為千克．【答案】7【分析】設(shè)郵件的重量為千克，根據(jù)題意，列出不等式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)郵件的重量為千克，由題意，得：，解得：，∴郵件的重量最多為7千克；故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，正確的列出不等式．17．（2023秋·浙江杭州·八年級?？奸_學(xué)考試）若不等式的解集為，則a的取值范圍是．【答案】【分析】分兩種情況：當(dāng)，時，分別求不等式的解集，在確定與條件相符的情況即可求解．【詳解】解：解不等式，當(dāng)，即時，原不等式可化為，即，與已知相矛盾；當(dāng)時，即時，原不等式可化為，即，符合題意；∴a的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式，熟練掌握不等式的性質(zhì)：在不等式兩邊同時除以一個負(fù)數(shù)時，要改變不等號的方向是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·四川達(dá)州·八年級?？计谀┤絷P(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是．【答案】m≤6且m≠4【分析】先求得分式方程的解，利用已知條件列出不等式，解不等式即可求解．【詳解】解：關(guān)于x的分式方程的解為：x＝6?m，∵分式方程有可能產(chǎn)生增根2，∴6?m≠2，∴m≠4，∵關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，∴6?m≥0，解得：m≤6，綜上，m的取值范圍是：m≤6且m≠4．故答案為：m≤6且m≠4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能產(chǎn)生增根的情況，這是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2023春·陜西榆林·八年級?？计谥校┣蟛坏仁降呢?fù)整數(shù)解．【答案】負(fù)整數(shù)解為，，，，，．【分析】直接求出不等式的解集，然后求出負(fù)整數(shù)解即可．【詳解】解：，，，．原不等式的負(fù)整數(shù)解為，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握不等式的解法進(jìn)行解題．20．（2023春·陜西西安·八年級校考階段練習(xí)）解下列不等式，并將其解集表示在數(shù)軸上．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先去括號，然后移項合并同類項，系數(shù)化為1即可；（2）先去分母再括號，然后移項合并同類項，系數(shù)化為1即可．【詳解】（1）解：去括號得，移項得，。合并同類項得，，解得，；（2）解：，去分母得，去括號得，移項得，，合并同類項得，，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，正確掌握解一元一次不等式的方法是解題的關(guān)鍵．21．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谥校┰谝咔榉揽仄陂g，學(xué)校給每個班級配備了體溫檢測儀和霧化消毒器，已知一臺霧化消毒器單價比一個體溫檢測儀的單價多20元，用3000元購進(jìn)霧化消毒器的數(shù)量是用1200元購進(jìn)體溫檢測儀的數(shù)量的2倍．(1)求霧化消毒器和體溫檢測儀的單價分別為多少元？(2)學(xué)校根據(jù)實際情況，購進(jìn)霧化消毒器的數(shù)量是體溫檢測儀的3倍少5個，總費(fèi)用沒有超過10000元，那么學(xué)校最多可能購買了多少個體溫檢測儀．【答案】(1)霧化消毒器的單價為100元，體溫檢測儀的單價為80元；(2)最多可能購買了27個體溫檢測儀．【分析】（1）設(shè)霧化消毒器的單價為元，則體溫檢測儀的單價為元，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，解方程即可求解．（2）設(shè)學(xué)校購買了個體溫檢測儀，則購買了臺霧化消毒器，根據(jù)不等關(guān)系列出一元一次不等式并解不等式即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)霧化消毒器的單價為元，則體溫檢測儀的單價為元，由題意得:，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，則，答：霧化消毒器的單價為100元，體溫檢測儀的單價為80元．（2）設(shè)學(xué)校購買了個體溫檢測儀，則購買了臺霧化消毒器，由題意得：，解得：，∵m為整數(shù)，∴最多可能購買了27個體溫檢測儀．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用，理清題意，根據(jù)題意列出方程及不等式是解題的關(guān)鍵．22．（2023春·河南焦作·八年級焦作市實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算“”的含義為：當(dāng)時，．當(dāng)時，．例如：，．(1)填空：______；(2)如果，求的取值范圍．【答案】(1)6(2)【分析】（1）根據(jù)新定義運(yùn)算，求解即可；（2）根據(jù)新定義運(yùn)算可得，，求解不等式即可．【詳解】（1）解：∵∴，故答案為：6（2）由新定義運(yùn)算可得：，則解得．的取值范圍為．【點(diǎn)睛】此題考查了新定義運(yùn)算，一元一次不等式的求解，解題的關(guān)鍵是理解新定義運(yùn)算規(guī)則，正確的進(jìn)行計算．23．（2023秋·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）某水果店銷售A、B兩種規(guī)格的水果禮盒，A進(jìn)貨價為每盒60元，B進(jìn)貨價為每盒45元．表格中是該水果店近兩周這兩種水果禮盒的銷售情況．（進(jìn)價保持不變，不考慮水果變質(zhì)等損耗）銷售時段周銷售數(shù)量周銷售總利潤第一周40盒A水果禮盒85盒B水果禮盒2075元第二周60盒A水果禮盒100盒B水果禮盒2700元(1)若這兩周售價保持不變，求這兩種規(guī)格水果禮盒的售價分別為每盒多少元？(2)第三周，該店決定恰好9000元購進(jìn)A、B兩種水果禮盒，A水果禮盒按售價打九折進(jìn)行促銷，而B水果禮盒則按利潤率為定價，使得第三周總利潤至少為3000元，且A、B兩種水果禮盒全部售完，求第三周最多進(jìn)貨A水果禮盒多少盒？【答案】(1)A水果禮盒的售價為80元，B水果禮盒的售價為60元(2)48盒【分析】（1）設(shè)A水果禮盒的售價為x元，B水果禮盒的售價為y元，根據(jù)兩周的總利潤列出方程組，解之即可；（2）設(shè)購進(jìn)A種水果禮盒m盒，B種水果禮盒n盒，根據(jù)進(jìn)貨總價9000元列出方程，整理得到，再根據(jù)第三周總利潤至少為3000元列出不等式，代入求出最大整數(shù)解即可．