2017年“迎春杯”數(shù)學(xué)花園探秘科普活動試卷（小中組決賽a卷）

第1頁（共1頁）2017年“迎春杯”數(shù)學(xué)花園探秘科普活動試卷（小中組決賽A卷）一、解答題（共11小題，滿分0分）1．算式67×67﹣34×34+67+34的計算結(jié)果是．2．在橫式×+C×D＝2017中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，若等式成立，那么代表的兩位數(shù)是．3．如圖中共有個平行四邊形．4．小兔與蜘蛛共50名學(xué)員參加舞蹈訓(xùn)練營，小兔學(xué)員走了一半，蜘蛛學(xué)員增加了一倍，但老師發(fā)現(xiàn)學(xué)員的腳既沒有增加也沒有減少，那么原有小兔只．（注：蜘蛛有8只腳）5．一組有兩位數(shù)組成的偶數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為100，若從第1項(xiàng)開始，將每個奇數(shù)項(xiàng)與它后面相鄰的偶數(shù)項(xiàng)不改變次序地合并成一個四位數(shù)，形成一個新的數(shù)列，那么新數(shù)列的和與原數(shù)列的和相差．6．最常見的骰子是六面骰，它是一個正方體，6個面上分別有1到6個點(diǎn)，其相對兩面點(diǎn)數(shù)的和都等于7，現(xiàn)在從空間一點(diǎn)看一個骰子，能看到所有點(diǎn)數(shù)之和最小是1，最大是15（15＝4+5+6），那么在1～15中，不可能看到的點(diǎn)數(shù)和是．7．一排格子不到100個，一開始僅有兩端的格子內(nèi)各放有一枚棋子，幾名同學(xué)依次輪流向格子中放棋子．每人每次只放一枚且必須放在相鄰兩個棋子正中間的格子中（如從左到右第3格，第7格中有棋子，第4、5、6格中沒棋子，則可以在第5格中放一枚棋子；但第4格，第7格中有棋子，第5、6格沒棋子，則第5、6格都不能放）．這幾名同學(xué)每人都放了9次棋子，使得每個格子中都恰好放了一枚棋子，那么共有名同學(xué)．8．蕾蕾買了一些山羊和綿羊，如果她多買2只山羊，那么每只羊的平均價格會增加60元，如果她少買2只山羊，那么每只羊的平均價格會減少90元．蕾蕾一共買了只羊．9．現(xiàn)有A、B、C、D、E五名誠實(shí)的安保在2016年12月1日～5日各值班三天，每天將有3名安保值班，每位安保值班安排5天一循環(huán)．今天（2017年1月1日周日），關(guān)于他們在上個月的值班情況，5人進(jìn)行了如下對話：A：我和B在周末（周六、周日）值班的日子比其他3人都多；B：我與其余4人在這個月都一起值過班；C：12月3日本來我休息，但那天恰逢數(shù)學(xué)花園探秘初賽，于是我也來幫忙，可惜不算值班；D：E每次都和我安排在一起；E：圣誕節(jié)（12月25日）那天我和A都值班了．那么，安保A在12月份中第2次、第6次、第10次值班日期順次排列組成的五位數(shù)是．（如果第2次、第6次、第10次值班分別在12月3日、12月17日，則答案為，31217）10．如圖中每個小正三角形的面積是12平方厘米，那么大正三角形的面積為平方厘米．11．如圖，圓圈表示房間，實(shí)線表示地上通道，虛線表示地下通道，開始時，一個警察和一個小偷在兩個不同房間中，每一次警察從所在房間的地上通道轉(zhuǎn)移到相鄰的房間；同時，小偷從所在房間沿著地下通道轉(zhuǎn)移到相鄰的房間，如果警察和小偷轉(zhuǎn)移了3次都沒有在任何房間相遇，那么他們有種不同的走法．

2017年“迎春杯”數(shù)學(xué)花園探秘科普活動試卷（小中組決賽A卷）參考答案與試題解析一、解答題（共11小題，滿分0分）1．算式67×67﹣34×34+67+34的計算結(jié)果是3434．【解答】解：67×67﹣34×34+67+34＝67×（67+1）﹣34×34+34＝67×2×34﹣34×34+34＝101×34＝3434故答案為：3434．2．在橫式×+C×D＝2017中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，若等式成立，那么代表的兩位數(shù)是14．【解答】解：由于0＜C×D＜100，所以1900＜×＜2017，因?yàn)?30×13＝1690，140×14＝1960，150×15＝2250，所以＝14，進(jìn)一步可得C×（14+D）＝57，C＝3，D＝5．故答案為14．3．如圖中共有15個平行四邊形．【解答】解：根據(jù)分析可得，①單個的（紅色）有：4個；②兩個組成的（藍(lán)色）有8個；③6部分組成的（黃色）有：3個；共有：4+8+3＝15（個）；答：圖中共有15個平行四邊形．故答案為：15．4．小兔與蜘蛛共50名學(xué)員參加舞蹈訓(xùn)練營，小兔學(xué)員走了一半，蜘蛛學(xué)員增加了一倍，但老師發(fā)現(xiàn)學(xué)員的腳既沒有增加也沒有減少，那么原有小兔40只．（注：蜘蛛有8只腳）【解答】解：每走一只小兔，總腿數(shù)少了4，每增加一只蜘蛛，總腿數(shù)多了8，由此要總腿數(shù)不變，減少的兔子數(shù)量應(yīng)該是增加蜘蛛數(shù)量的兩倍，把增加的蜘蛛當(dāng)作1份，那么原蜘蛛數(shù)量也是1份，走了的兔子數(shù)量是2份，原有兔子數(shù)量為4份，則原有動物共5份，是50只，1份有10只，所以原有兔子4×10＝40只．故答案為40．5．一組有兩位數(shù)組成的偶數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為100，若從第1項(xiàng)開始，將每個奇數(shù)項(xiàng)與它后面相鄰的偶數(shù)項(xiàng)不改變次序地合并成一個四位數(shù)，形成一個新的數(shù)列，那么新數(shù)列的和與原數(shù)列的和相差9900．【解答】解：設(shè)這個等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)分別為a1，a3，a5，…，公差為d，那么將每個奇數(shù)項(xiàng)與后面相鄰的偶數(shù)項(xiàng)合并，由于每一項(xiàng)都是兩位數(shù)，所以合并后的四位數(shù)列可以表示為a1×100+a1+d，a2×100+a2+d，…，所以新數(shù)列的和與原數(shù)列的和相差99×（a1+a3+a5+…），由于奇數(shù)項(xiàng)的和為100，所以99×（a1+a3+a5+…）＝99×100＝9900，故答案為9900．6．最常見的骰子是六面骰，它是一個正方體，6個面上分別有1到6個點(diǎn)，其相對兩面點(diǎn)數(shù)的和都等于7，現(xiàn)在從空間一點(diǎn)看一個骰子，能看到所有點(diǎn)數(shù)之和最小是1，最大是15（15＝4+5+6），那么在1～15中，不可能看到的點(diǎn)數(shù)和是13．【解答】解：骰子上相對的兩面點(diǎn)數(shù)分別為（1，6），（2，5），（3，4），從空間一點(diǎn)看一個骰子，可能只看到骰子的一個面，也可以看到相鄰的兩個面，還可以看到相鄰的三個面，在1～15中，點(diǎn)數(shù)1～6顯然可以看到，7＝1+2+7，8＝6+2，9＝6+3，10＝6+4，11＝6+5，12＝6+2+4，14＝6+5+3，15＝4+5+6，13無法拆出，即在1～15中，不可能看到的點(diǎn)數(shù)和是13．故答案為13．7．一排格子不到100個，一開始僅有兩端的格子內(nèi)各放有一枚棋子，幾名同學(xué)依次輪流向格子中放棋子．每人每次只放一枚且必須放在相鄰兩個棋子正中間的格子中（如從左到右第3格，第7格中有棋子，第4、5、6格中沒棋子，則可以在第5格中放一枚棋子；但第4格，第7格中有棋子，第5、6格沒棋子，則第5、6格都不能放）．這幾名同學(xué)每人都放了9次棋子，使得每個格子中都恰好放了一枚棋子，那么共有7名同學(xué)．【解答】解：由題意可得，若相鄰兩枚棋子之間有偶數(shù)個空格子，則無法再往其中放棋子，那么若想要在每個格子中都放上棋子，每次放完相鄰兩棋子間空格數(shù)應(yīng)為奇數(shù)．第一輪只能在最中間放1枚棋子，此時將格子分為前半部分和后半部分，那么第二輪在每一部分的中間，都可以放1枚棋子，總共可以放2枚，此時將格子分成了4，第三輪在每一部分的中間，都可以放1枚棋子，總共可以放4枚，以此類推，總共放下的棋子個數(shù)應(yīng)該為等比數(shù)列1，2，4，8，…的和，而由于每人都放9次，因此這個和為9的倍數(shù)，且該和不能超過100，枚舉可得1+2+4+8+16+32＝63，滿足條件，則共有63÷9＝7名同學(xué)，棋子分布依次為：1，651，33，651，17，33，49，651，9，17，25，33，41，49，57，65，…故答案為7．8．蕾蕾買了一些山羊和綿羊，如果她多買2只山羊，那么每只羊的平均價格會增加60元，如果她少買2只山羊，那么每只羊的平均價格會減少90元．蕾蕾一共買了10只羊．【解答】解：假設(shè)蕾蕾買了x只羊，原平均價格為a元，買2只山羊，每只羊的平均價格會增加60元，總價格增加60x+2（a+60）元；少買2只山羊，那么每只羊的平均價格會減少90元，總價格減少90x+2（a﹣90）元，兩次變化都是兩只山羊的價錢，應(yīng)該相等，所以60x+2（a+60）＝90x+2（a﹣90），解得x＝10，故答案為10．9．現(xiàn)有A、B、C、D、E五名誠實(shí)的安保在2016年12月1日～5日各值班三天，每天將有3名安保值班，每位安保值班安排5天一循環(huán)．今天（2017年1月1日周日），關(guān)于他們在上個月的值班情況，5人進(jìn)行了如下對話：A：我和B在周末（周六、周日）值班的日子比其他3人都多；B：我與其余4人在這個月都一起值過班；C：12月3日本來我休息，但那天恰逢數(shù)學(xué)花園探秘初賽，于是我也來幫忙，可惜不算值班；D：E每次都和我安排在一起；E：圣誕節(jié)（12月25日）那天我和A都值班了．那么，安保A在12月份中第2次、第6次、第10次值班日期順次排列組成的五位數(shù)是41016．（如果第2次、第6次、第10次值班分別在12月3日、12月17日，則答案為，31217）【解答】解：12月份值班表如下：由E說的話可知，25日A和E都值班，又由D的話可知D和E永遠(yuǎn)在一起，那么可以判斷5日這一豎列值班人為A，D，E．由C的話可知，3日他不值班，由于每天必須有3人值班，所以D，E中必須有一個，又因?yàn)镈，E在一起，所以3日這一豎列，D，E都值班．通過A的話判斷，A，B在周末值班的日子比C，D，E多，統(tǒng)計出每一列中的周末數(shù)量，為2，1，2，2，2，每人都要在三列中值班，若要A，B比其他人多，那么1那一列必須是C，D，E值班，每天都要有3人值班，D，E現(xiàn)在已經(jīng)排滿，因此第1，4列為A，B，C值班．還剩第3列沒有排完，B要跟每個人都搭配過，因此此處為B．A在12月份中第2，6，10次值班日期依次為4，10，16，故五位數(shù)為41016．故答案為41016．10．如圖中每個小正三角形的面積是12平方厘米，那么大正三角形的面積為84平方厘米．【解答】解：如圖所示，補(bǔ)出右邊的一些小等邊三角形，則△ABC被分為面積相等的三個鈍角三角形△AMB，△BNC，△APC，以及一個小正三角形△PMN，其中△AMB面積是所在的平行四邊形ADBM的一半為12×4÷2＝24平方厘米，那么△ABC面積為3×24+12＝84平方厘米．故答案為84．11．如圖，圓圈表示房間，實(shí)線表示地上通道，虛線表示地下通道，開始時，一個警察和一個小偷在兩個不同房間中，每一次警察從所在房間的地上通道轉(zhuǎn)移到相鄰的房間；同時，小偷從所在房間沿著地下通道轉(zhuǎn)移到相鄰的房間，如果警察和小偷轉(zhuǎn)移了3次都沒有在任何房間相遇，那么他們有1476種不同的走法．【解答】解：考慮起始時，警察與小偷所在房間有三類關(guān)系相鄰、相隔、相對．相鄰：如1與2，那么下一步都順時針走，可變?yōu)?與3，都逆時針走，變?yōu)?與1，一個順時針，一個逆時針變?yōu)?與1或6與3，都有3種可能相鄰，1種可能相對；相隔：如1與3，那么下一步可能變?yōu)?與4，6與2，6與4，都有3種可能相鄰；相對：如1與4，那么下一步可能變?yōu)?與3，6與5，6與3，2與5，即有2種相鄰的可能和2種相對的可能．假設(shè)警察初始房間為1，小偷與其相鄰可能為2或6