第十六屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題（小學(xué)組-深圳）

第1頁（共1頁）第十六屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題（小學(xué)組-深圳）一、填空（每題10分，共80分）1．（10分）…++…++…++＝．2．（10分）甲車從A出發(fā)駛向B，往返來回；乙車從B同時(shí)出發(fā)駛向A，往返來回．兩車第一次相遇后，甲車?yán)^續(xù)行駛4小時(shí)到達(dá)B，乙車?yán)^續(xù)行駛1小時(shí)到達(dá)A．若A，B兩地相距100千米，那么當(dāng)甲車第一次到達(dá)B時(shí)，乙車的位置距離A千米．3．（10分）每個(gè)鉛字上刻有一個(gè)數(shù)碼．如果印刷十二頁書，所用的頁碼鉛字要以下15個(gè)：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2．現(xiàn)要印刷一本新書，從庫房領(lǐng)出頁碼鉛字共2011個(gè)，排版完成后有剩余．那么，這本書最多有頁．最少剩余個(gè)鉛字．4．（10分）一列數(shù)：8，3，1，4，．…，從第三個(gè)開始，每個(gè)數(shù)都是最靠近它前兩個(gè)數(shù)的和的個(gè)位數(shù)．那么第2011個(gè)數(shù)是．5．（10分）編號(hào)從1到50的50個(gè)球排成一行，現(xiàn)在按照如下方法涂色：（1）涂2個(gè)球；（2）被涂色的2個(gè)球的編號(hào)之差大于2．如果一種涂法被涂色的兩個(gè)球與另一種涂法被涂色的兩個(gè)球至少有一個(gè)是不同號(hào)的，這兩種涂法就稱為”不同的”．那么不同的涂色方法有種．6．（10分）A，B兩地相距100千米．甲車從A到B要走m個(gè)小時(shí)，乙車從A到B要走n個(gè)小時(shí)，m，n是整數(shù)．現(xiàn)在甲車從A，乙車從B同時(shí)出發(fā)，相向而行，經(jīng)過5小時(shí)在途中C點(diǎn)相遇．若甲車已經(jīng)走過路程的一半，那么C到A路程是千米．7．（10分）自然數(shù)b與175的最大公約數(shù)記為d．如果176×（b﹣11×d+1）＝5×d+1，則b＝．8．（10分）如圖．ABCD為平行四邊形．AE＝2EB．若三角形CEF的面積＝1．那么，平行四邊形ABCD的面積＝．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡(jiǎn)要過程）9．（10分）三位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和等于百位數(shù)字的數(shù)，稱為”好數(shù)”．共有多少個(gè)好數(shù)？10．（10分）在下列2n個(gè)數(shù)中，最多能選出多少個(gè)數(shù)，使得被選出的數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的比都不是2或？3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25，…，3×22n﹣1．11．（10分）一個(gè)四位數(shù)和它的反序數(shù)都是65的倍數(shù)．求這個(gè)數(shù)．12．（10分）用寫有+1和﹣1的長(zhǎng)方塊放在10×n方格中，使得每一列和每一行的數(shù)的乘積都是正的，n的最小值是多少？三、解答下列各題（每題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13．（15分）十五個(gè)盒子，每個(gè)盒子裝一個(gè)白球或一個(gè)黑球，且白球不多于12個(gè)．你可以任選三個(gè)盒子來提問：“這三個(gè)盒子中的球是否有白球？”并得到真實(shí)的回答．那么你最少要問多少次，就能找出一個(gè)或更多的白球？14．（15分）求與2001互質(zhì)，且小于2001的所有自然數(shù)的和．

第十六屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題（小學(xué)組-深圳）參考答案與試題解析一、填空（每題10分，共80分）1．（10分）…++…++…++＝95．【分析】根據(jù)數(shù)字特點(diǎn)，把分母相同的分?jǐn)?shù)相加，原式變?yōu)?（+）+（++）+…+（++…+）+（++…+），然后把每個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)字算出來，在運(yùn)用乘法分配律以及高斯求和公式簡(jiǎn)算即可．【解答】解：（++…+）+（+…+）+…+（+）+＝+（+）+（++）+…+（++…+）+（++…+）＝+1+1+…+9+9＝×（1+2+3+…+19）＝×[（1+19）×19÷2]＝×190＝95故答案為：95．2．（10分）甲車從A出發(fā)駛向B，往返來回；乙車從B同時(shí)出發(fā)駛向A，往返來回．兩車第一次相遇后，甲車?yán)^續(xù)行駛4小時(shí)到達(dá)B，乙車?yán)^續(xù)行駛1小時(shí)到達(dá)A．若A，B兩地相距100千米，那么當(dāng)甲車第一次到達(dá)B時(shí)，乙車的位置距離A100千米．【分析】設(shè)甲車車速為v1，乙車車速為v2．根據(jù)路程比等于速度的比可得出第一次相遇時(shí)兩車的路程比，再根據(jù)兩車第一次相遇后，甲車?yán)^續(xù)行駛4小時(shí)到達(dá)B，乙車?yán)^續(xù)行駛1小時(shí)到達(dá)A，再求出兩車行駛的路程，因?yàn)槁烦袒Q，從而求出速度的比，再根據(jù)速度的比求出當(dāng)甲車第一次到達(dá)B時(shí)，乙車行駛的路程得出乙車距離A的路程．【解答】解：設(shè)甲車車速為v1，乙車車速為v2．如圖，第一次相遇在C點(diǎn)，則＝，而AC＝v2，BC＝4v1，＝，v2＝2v1，所以，當(dāng)甲車第一次到達(dá)B時(shí)，乙車的位置在B處，距離A100千米．故答案為：100．3．（10分）每個(gè)鉛字上刻有一個(gè)數(shù)碼．如果印刷十二頁書，所用的頁碼鉛字要以下15個(gè)：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2．現(xiàn)要印刷一本新書，從庫房領(lǐng)出頁碼鉛字共2011個(gè)，排版完成后有剩余．那么，這本書最多有706頁．最少剩余1個(gè)鉛字．【分析】分別求出前9頁用多少個(gè)鉛字，從第10頁到第99頁每頁用幾個(gè)鉛字，從第100頁到999頁每頁用多少個(gè)鉛字，再進(jìn)行解答．【解答】解：前9頁用9個(gè)鉛字，從第10頁到99頁每頁用2個(gè)鉛字，99頁共用，9+（100﹣10）×2＝189（個(gè)）從第100頁到999頁每頁用3個(gè)鉛字一頁，100頁共用189+3個(gè)鉛字，設(shè)一共有k頁，根據(jù)題意得189+3（k﹣99）＜2011，3k＜2011+297﹣189＝2119＝3×706+1．答．這本書最多706頁．最少剩余1個(gè)鉛字．4．（10分）一列數(shù)：8，3，1，4，．…，從第三個(gè)開始，每個(gè)數(shù)都是最靠近它前兩個(gè)數(shù)的和的個(gè)位數(shù)．那么第2011個(gè)數(shù)是2．【分析】繼續(xù)將數(shù)列寫下去，會(huì)發(fā)現(xiàn)60個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，然后2011除以60得33余31，即第2011個(gè)數(shù)和第31個(gè)數(shù)相同，據(jù)此即可解答．【解答】解．寫下這列數(shù)的前若干個(gè)數(shù)：8，3，1，4，5，9，4，3，7，0，7，7，4，1，5，6，1，7，8，5，3，8，1，9，0，9，9，8，7，5，2，7，9，6，5，1，6，7，3，0，3，3，6，9，5，4，9，3，2，5，7，2，9，1，0，1，1，2，3，5，8，3，…．第一個(gè)數(shù)＝第61個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)＝第62個(gè)數(shù)，…60為數(shù)的出現(xiàn)的周期．2011＝33×60+31，第31個(gè)數(shù)是2．所以第2011個(gè)數(shù)是2．5．（10分）編號(hào)從1到50的50個(gè)球排成一行，現(xiàn)在按照如下方法涂色：（1）涂2個(gè)球；（2）被涂色的2個(gè)球的編號(hào)之差大于2．如果一種涂法被涂色的兩個(gè)球與另一種涂法被涂色的兩個(gè)球至少有一個(gè)是不同號(hào)的，這兩種涂法就稱為”不同的”．那么不同的涂色方法有1128種．【分析】第一個(gè)球涂色，另一個(gè)球從4號(hào)開始到第50號(hào)分別涂色，有47種方法；第二個(gè)球涂色，另一個(gè)球從5號(hào)開始到第50號(hào)，有46種涂法，…第47個(gè)球涂色，另一個(gè)球只有第50號(hào)涂色；根據(jù)加法原理，即可得解．【解答】解：設(shè)被涂色的球中的小號(hào)碼為K，1≤K≤50﹣3＝47，則另一個(gè)被涂色的求的號(hào)碼可能是K+3，…50；一共有50﹣（K+2）＝48﹣K種不同涂法，K可以取值1，2，…47；那么總共有：（48﹣1）+（48﹣2）+（48﹣3）+…+（48﹣47）＝1+2+…+47＝（1+47）÷2×47＝24×47＝1128答：那么不同的涂色方法有1128種．故答案為：1128．6．（10分）A，B兩地相距100千米．甲車從A到B要走m個(gè)小時(shí)，乙車從A到B要走n個(gè)小時(shí)，m，n是整數(shù)．現(xiàn)在甲車從A，乙車從B同時(shí)出發(fā)，相向而行，經(jīng)過5小時(shí)在途中C點(diǎn)相遇．若甲車已經(jīng)走過路程的一半，那么C到A路程是83千米．【分析】根據(jù)甲車從A，乙車從B同時(shí)出發(fā)，相向而行，經(jīng)過5小時(shí)在途中C點(diǎn)相遇可得＝5，則+＝．令m＝5+p，n＝5+q．即+＝，將分式方程去分母可得5（5+p+5+q）＝（5+p）（5+q），化簡(jiǎn)得50+5（p+q）＝25+5（p+q）+pq，pq＝25，由于m，n是整數(shù)，所以設(shè)出mn的值，看是否符合要求即可解答．【解答】解：＝5，則+＝．令m＝5+p，n＝5+q．則：+＝，5（5+p+5+q）＝（5+p）（5+q），50+5（p+q）＝25+5（p+q）+pq，pq＝25，（1）p＝5，q＝5，m＝10，AC＝5×AB＝AB；不滿足要求．（2）p＝25，q＝1，m＝30，AC＝5×AB＝AB，不滿足要求．（3）p＝1，q＝25，m＝6，AC＝5×AB＝AB＝＝83千米＞AB，滿足要求．所以C到A路程是83千米．故答案為：83．7．（10分）自然數(shù)b與175的最大公約數(shù)記為d．如果176×（b﹣11×d+1）＝5×d+1，則b＝385．【分析】因?yàn)閎與175的最大公約數(shù)記為d，所以d與175是倍數(shù)關(guān)系，把175分解質(zhì)因數(shù)，再根據(jù)5d+1＝176，176比175多1，由此可以求出d的值．然后把d的值代入176×（b﹣11×d+1）＝5×d+1，即可求出b的值．【解答】解：因?yàn)閎與175的最大公約數(shù)記為d，d必為175的約數(shù)，而175＝5×5×7，所以d只能取1，5，7，25，35，175；另外由176×（b﹣11×d+1）＝5×d+1可知b﹣11×d+1為非0自然數(shù)，即b﹣11d+1≥1，因此5d+1≥176?d≥35．所以d＝35或175．以d＝35代入176×（b﹣11×d+1）＝5×d+1，得b＝385．以d＝175代入176×（b﹣11×d+1）＝5×d+1，得176×（b﹣11×175+1）＝5×175+1＝876，即44×（b﹣11×175+1）＝219，左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，矛盾！所以d＝175不合要求．所以b＝385．故答案為：385．8．（10分）如圖．ABCD為平行四邊形．AE＝2EB．若三角形CEF的面積＝1．那么，平行四邊形ABCD的面積＝5．【分析】S△AEF：S△CEF＝AF：FC＝AE：DC＝2：3，則S△AEF＝，S△AEC＝+1＝，同理可求S△ABC，進(jìn)而求得平行四邊形ABCD的面積．【解答】解：S△AEF：S△CEF＝AF：FC＝AE：DC＝2：3，則S△AEF＝，S△AEC＝+1＝，S△AEC：S△BEC＝AE：EB＝2：1，則S△BEC＝，S△ABC＝+＝，S?ABCD＝2S△ABC＝5答：平行四邊形ABCD的面積5；故答案為：5．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡(jiǎn)要過程）9．（10分）三位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和等于百位數(shù)字的數(shù)，稱為”好數(shù)”．共有多少個(gè)好數(shù)？【分析】為解答方便，我們不妨按百位數(shù)分類計(jì)數(shù)，百位數(shù)＝1，十位數(shù)＝0，1，共2個(gè)；百位數(shù)＝2，十位數(shù)＝0，1，2，共3個(gè)；…，百位數(shù)＝k，十位數(shù)＝0，…，k，共k+1個(gè)；據(jù)此解答．【解答】解．按百位數(shù)分類計(jì)數(shù)：百位數(shù)＝1，十位數(shù)＝0，1，個(gè)位數(shù)字＝1，0，共2個(gè)；百位數(shù)＝2，十位數(shù)＝0，1，2，個(gè)位數(shù)字＝2，1，0，共3個(gè)；百位數(shù)＝3，十位數(shù)＝0，1，2，3，個(gè)位數(shù)字＝3，2，1，0，共4個(gè)；…．百位數(shù)＝k，十位數(shù)＝0，…，k，共k+1個(gè)；因?yàn)?＜k＜10，因此k最大為9，因此k+1＝10．所以共有2+3+…+10＝54個(gè)．答：共有54個(gè)好數(shù)．10．（10分）在下列2n個(gè)數(shù)中，最多能選出多少個(gè)數(shù)，使得被選出的數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的比都不是2或？3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25，…，3×22n﹣1．【分析】運(yùn)用反證法，假設(shè)選出的數(shù)多于n個(gè)，那么就可以從中挑出n+1個(gè)，通過論證，得出矛盾的結(jié)論．據(jù)此解答．【解答】解：最多可選出n個(gè)，如3，3×22，…3×22n﹣1．如果選出的數(shù)多于n個(gè)，那么就可以從中挑出n+1個(gè)，如下：2l1×3，2l2×3，2l3×3，…，2ln+1×3，l1＜l2＜l3＜…＜ln+1．則2n﹣1＞ln+1．﹣l1＝（ln+1．﹣ln）+（ln﹣ln﹣1）+…+（l2﹣l1）≥＝2n．2n﹣1＞2n，不可能．因此選出的數(shù)不能多于n個(gè)．11．（10分）一個(gè)四位數(shù)和它的反序數(shù)都是65的倍數(shù)．求這個(gè)數(shù)．【分析】因?yàn)橐粋€(gè)四位數(shù)和它的反序數(shù)都是65的倍數(shù)，所以1000a+100b+10c+d≡1000d+100c+10b+a≡0（mod65）．通過推理，解決問題．【解答】解：1000a+100b+10c+d≡1000d+100c+10b+a≡0（mod65）．1001（a+d）+110（b+c）≡0（mod65）．7×11×13（a+d）+2×5×11（b+c）≡0（mod65）．65＝13×5．所以a+d＝5，10，15；b+c＝0，13．另一方面，1000a+100b+10c+d﹣（1000d+100c+10b+a）＝999（a﹣d）+90（b﹣c）≡0（mod65）．所以a﹣d＝0，5或d﹣a＝5．由于a+d和a﹣d有相同的奇偶性，所以a＝d＝5．若b+c＝13，則：1000a+100b+10c+d＝5000+100b+10（13﹣b）+5＝5005+90b+130＝65×79+65b+25b≡25b≡0（mod65）．所以25b≡0（mod13），b＝0，c＝13，不可能（c是數(shù)碼）．所以b+c＝b＝c＝0，1000a+100b+10c+d＝5005．故答案為：5005．12．（10分）用寫有+1和﹣1的長(zhǎng)方塊放在10×n方格中，使得每一列和每一行的數(shù)的乘積都是正的，n的最小值是多少？【分析】由題意可得：每一列，每一行的﹣1的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)個(gè)，所以，整個(gè)方格中的﹣1的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)，而﹣1的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方塊的個(gè)數(shù)．所以可設(shè)有2m個(gè)長(zhǎng)方塊．每個(gè)長(zhǎng)方塊占2個(gè)格．當(dāng)長(zhǎng)方塊放滿的時(shí)候，10n＝4m，5n＝2m，所以n＝2k，m＝5k，k＝1，2，3，…然后從最小的2開始進(jìn)行討論，得出符合題意的答案．【解答】解：每一列，每一行的﹣1的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)個(gè)，所以，整個(gè)方格中的﹣1的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)，而﹣1的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方塊的個(gè)數(shù)．所以可設(shè)有2m個(gè)長(zhǎng)方塊．每個(gè)長(zhǎng)方塊占2個(gè)格．當(dāng)長(zhǎng)方塊放滿的時(shí)候，10n＝4m，5n＝2m，所以n＝2k，m＝5k，k＝1，2，3，…最小的n＝2，但是，若n＝2，m＝5，長(zhǎng)方塊不能水平放置，豎直放置5個(gè)長(zhǎng)方塊，每一列恰好5個(gè)﹣1，不可能滿足要求的情況．n＝4，m＝10，如圖．每個(gè)長(zhǎng)方塊都是水平放置+1，在左邊，﹣1在右邊即可．答：n的最小值是4．三、解答下列各題（每題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13．（15分）十五個(gè)盒子，每個(gè)盒子裝一個(gè)白球或一個(gè)黑球，且白球不多于12個(gè)．你可以任選三個(gè)盒子來提問：“這三個(gè)盒子中的球是否有白球？”并得到真實(shí)的回答．那么你最少要問多少次，就能找出一個(gè)或更多的白球？【分析】先給15個(gè)盒子進(jìn)行編號(hào)，選編號(hào)為1號(hào)，m號(hào)和n號(hào)的三個(gè)盒子提問一次，共需提問91次，通過回答的答案全部是“有”，或者“無”進(jìn)行分情況討論求解．【解答】解：將所有的盒子編號(hào)：1，2，3，…，15．如下提問91次：選編號(hào)為1號(hào)，m號(hào)和n號(hào)的三個(gè)盒子提問一次，2≤m≤n，共提問：14×（14﹣1）÷2＝91（次），如果回答全是“有”，則1號(hào)盒子中的球是白的，這是因?yàn)?～15號(hào)中2個(gè)盒子是黑球；如果1號(hào)是黑球，它們與1號(hào)盒子的組合得提問的回答一定是“無”；如果91個(gè)回答中有答“無”的，那么1號(hào)球是黑的，91個(gè)回答中，凡是答“無”的三個(gè)盒子（包括1號(hào)）全拿走，余下的盒子中的球就