函數(shù)方程的幾種解法

解函數(shù)方程的幾種方法李素真摘要：本文通過給出求解函數(shù)方程的基本方法，來介紹函數(shù)方程，探索通過構(gòu)造函數(shù)方程求解其它問題的方法,以獲得新的解題思路。關(guān)鍵詞：函數(shù)方程；換元法；待定系數(shù)法；解方程組法；參數(shù)法含有未知函數(shù)的等式叫做函數(shù)方程，能使函數(shù)方程成立的函數(shù)叫做函數(shù)方程的解，求函數(shù)方程的解或證明函數(shù)方程有無解的過程叫解函數(shù)方程。函數(shù)方程的解法有換元法（或代換法）、待定系數(shù)法、解方程組法、參數(shù)法。換元法換元法是將函數(shù)的“自變量”或某個關(guān)系式代之以一個新的變量(中間變量)，然后找出函數(shù)對中間變量的關(guān)系，從而求出函數(shù)的表達式。例1已知，求。解：令，則，于是可得，，以代替，得。例2已知，求。解：令，則，于是，即。例3已知，求。解：原式可以化為，令，，則換元后有。2.待定系數(shù)法待定系數(shù)法適用于所求函數(shù)是多項式的情形。當我們知道了函數(shù)解析式的類型及函數(shù)的某些特征，用待定系數(shù)法來解函數(shù)方程較為簡單。一般首先確定多項式的次數(shù)，寫出它的一般表達式，然后由已知條件，根據(jù)多項式相等的條件確定待定系數(shù)。例4已知為多項式函數(shù)，且，求。解：由于與不改變的次數(shù)，而它們的和是次的，所以為二次函數(shù)，故可設，從而有由已知條件得根據(jù)兩個多項式相等的條件得，，，由此得，，，故有。例5已知是的二次函數(shù)，且，求。解：因為c是的二次函數(shù)，故可設，由此，將上式化簡并代入，得比較對應項的系數(shù)有，解之得，故。解方程組法此方法是將函數(shù)方程的變量或關(guān)系式進行適當?shù)淖兞看鷵Q，得到新的函數(shù)方程，然后與原方程聯(lián)立，解方程組，即可求出所求的函數(shù)。例6設是對及以外的一切實數(shù)有定義的實值函數(shù)，并且，求。解：以代換，得。以代換，得。由消去，得。例7解函數(shù)方程解：函數(shù)方程中的未知函數(shù)和不能用的同一個解析式表達出，若把它們看作是方程中的兩個未知元，就必須設法消去一個才能解出另一個。為此，分別以和代替方程中的，相應地得到和。將該兩式看作是關(guān)于未知元和的二元一次方程組，即可求解。得。于是。即為函數(shù)方程的解。例8是定義在上的實值函數(shù)，且，求。解：以代替，得消去，得。參數(shù)法參數(shù)法是通過設參數(shù)、消參數(shù)得出函數(shù)的對應關(guān)系，從而求出的表達式。例9已知，求。解：設所求函數(shù)的參數(shù)表達式為，所以。聯(lián)立方程組消去參數(shù)，得，所以。即。例10已知，求。解：設所求函數(shù)的參數(shù)表達式為：，所以。聯(lián)立方程組消去參數(shù)，得，即。參考文獻：【1】高夯，現(xiàn)代數(shù)學與中學數(shù)學（第二版）[M]，北京：北京師范大學出版社，2010.【2】姚開成，函數(shù)方程的幾種解法[J]，新疆石油教育學院學報，2000.【3】聶錫軍，函數(shù)方程的解法及應用[J]，丹東師專學報，1997.【4】胡皓，函數(shù)方程的一些解法[J]，西昌師范高等?？茖W校學報，2002.【5】劉