江西省九江市永修縣2023-2024學年九年級上學期月考數(shù)學試卷（10月份）

2023-2024學年江西省九江市永修縣九年級第一學期月考數(shù)學試卷（10月份）一、單項選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題列出的四個備選項中只有一項是最符合題目要求的，請將其代碼填入題后括號內(nèi).錯選、多選或未選均不得分.1．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x﹣1＝0 B．a(chǎn)x2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)） C．x2+x＝3 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝02．菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對角線互相垂直 B．對邊相等 C．對角相等 D．是中心對稱圖形3．解方程x2＝4的結(jié)果為（）A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣4，x2＝44．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．當AB＝BC時，它是正方形 B．當AC⊥BD時，它是菱形 C．當AC＝BD時，它是矩形 D．當∠ABC＝90°時，它是矩形5．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有一個非零實數(shù)根c，則b+c的值為（）A．1 B．﹣1 C．0 D．26．如圖，把一張矩形紙片ABCD按如下方法進行兩次折疊：第一次將DA邊折疊到DC邊上得到DA′，折痕為DM，連接A′M，CM，第二次將△MBC沿著MC折疊，MB邊恰好落在MD邊上．若AD＝1，則AB的長為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．把一元二次方程x（x﹣3）＝4化成ax2+bx+c＝0的一般形式，其中a＝1，則常數(shù)項c＝．8．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，如果∠ADB＝25°，那么∠AOB的度數(shù)為．9．關(guān)于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值是．10．若關(guān)于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的兩個根分別為m與2m﹣6，則m的值為．11．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是正方形，點A的坐標是（2，1），則點C的坐標是．12．如圖，在菱形ABCD中，AB＝20，∠A＝45°，點E在邊AB上，AE＝13，點P從點A出發(fā)，沿著A→D→C→B的路線向終點B運動，連接PE，若△APE是以AE為腰的等腰三角形，則AP的長可以是．三、解答題（本大題共6小題，每小題3分，共30分）13．解方程：x2﹣2x﹣1＝0．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，∠A＝30°，BC＝2，求CD的長．15．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點C作BD的平行線交AB的延長線于點E．求證：AC＝CE．16．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點A作AE⊥BC于E，若OB＝2，S菱形ABCD＝4，求AE的長．17．如圖，△ACB和△CED都是等腰直角三角形，點B，C，E在同一直線上，且E是BC的中點，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中，作?ABMC；（2）在圖2中，作正方形ACBN．18．如圖，矩形綠地的長為12m，寬為9m，將此綠地的長、寬各增加相同的長度后，綠地面積增加了72m2，求綠地的長、寬增加的長度．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）19．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程為x2+bx+c＝0．在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，并解這個方程．①b＝2，c＝1；②b＝1，c＝2；③b＝3，c＝﹣1；④b＝﹣3，c＝2．注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分．20．定義：如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足b＝a+c，那么我們稱這個方程為“完美方程”．（1）下面方程是“完美方程”的是．（填序號）①x2﹣4x+3＝0；②2x2+x+3＝0；③2x2﹣x﹣3＝0．（2）已知3x2+mx+n＝0是關(guān)于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一個根，求m的值．21．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的點，連接BE，DF，BE與DF交于點P，BE＝DF．添加下列條件之一使?ABCD成為菱形：①CE＝CF；②BE⊥CD，DF⊥BC．（1）你添加的條件是（填序號），并證明．（2）在（1）的條件下，若∠A＝45°，△BFP的周長為4，求菱形的邊長．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）22．【閱讀】解方程：（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．解：設(shè)x﹣1＝y(tǒng)，則原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．當y＝1時，即x﹣1＝1，解得x＝2；當y＝4時，即x﹣1＝4，解得x＝5．所以原方程的解為x1＝2，x2＝5．上述解法稱為“整體換元法”【應用】（1）若在方程中，設(shè)，則原方程可化為整式方程：．（2）請運用“整體換元法”解方程：（2x﹣3）2﹣（2x﹣3）﹣2＝0．23．如圖1，在?ABCD中，點E，F(xiàn)在對角線AC上，AE＝CF，DE⊥AC，過點D作DG∥AC交BF的延長線于點G．（1）求證：四邊形DEFG是矩形．（2）如圖2，連接DF，BE，當∠DFG＝∠BEF時，判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由．六、解答題（本大題共12分）24．（1）如圖1，在正方形ABCD中，F(xiàn)為對角線AC上一點，連接BF，DF．圖中的全等三角形有（寫出一對即可，不必證明）．（2）如圖2，P為DF延長線上一點，且BP⊥BF，DP交BC于點E．判斷△BPE的形狀．并說明理由．（3）如圖3，過點F作HF⊥BF交DC的延長線于點H．①求證：HF＝DF．②若，請直接寫出CH的長．

參考答案一、單項選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題列出的四個備選項中只有一項是最符合題目要求的，請將其代碼填入題后括號內(nèi).錯選、多選或未選均不得分.1．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x﹣1＝0 B．a(chǎn)x2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)） C．x2+x＝3 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程判斷即可．解：A．方程3x﹣1＝0不是一元二次方程，故本項不符合題意；B．方程ax2+bx+c＝0當a＝0時不是一元二次方程，故本項不符合題意；C．方程x2+x＝3符合定義，是一元二次方程，故本項符合題意；D．方程3x2﹣2xy﹣5y2＝0含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本項不符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．2．菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對角線互相垂直 B．對邊相等 C．對角相等 D．是中心對稱圖形【分析】利用菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)進行判斷可求解．解：A、菱形具有對角線互相垂直平分，平行四邊形具有對角線互相平分，符合題意；B、菱形具有對邊相等，平行四邊形具有對邊相等，不符合題意；C、菱形具有對角相等，平行四邊形具有對角相等，不符合題意；D、菱形是中心對稱圖形，平行四邊形是中心對稱圖形，不符合題意．故選：A．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．解方程x2＝4的結(jié)果為（）A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣4，x2＝4【分析】兩邊直接開平方即可．解：∵x2＝4，∴x1＝﹣2，x2＝2，故選：C．【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．4．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．當AB＝BC時，它是正方形 B．當AC⊥BD時，它是菱形 C．當AC＝BD時，它是矩形 D．當∠ABC＝90°時，它是矩形【分析】根據(jù)矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定可得出答案．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當AB＝BC，平行四邊形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故選項A錯誤，符合題意；當AC⊥BD，平行四邊形ABCD是菱形，故選項B正確，不符合題意；當AC＝BD，平行四邊形ABCD是矩形，故選項C正確，不符合題意；當∠ABC＝90°，平行四邊形ABCD是矩形，故選項D正確，不符合題意；故選：A．【點評】本題考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的判定方法．5．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有一個非零實數(shù)根c，則b+c的值為（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2【分析】由關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有一個非零實數(shù)根c，可得c+b+1＝0，然后移項變形即可得解．解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有一個非零實數(shù)根c，∴c2+bc+c＝0，即c（c+b+1）＝0∵c≠0，∴c+b+1＝0，∴b+c＝﹣1，故選：B．【點評】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解的意義是解答本題的關(guān)鍵．6．如圖，把一張矩形紙片ABCD按如下方法進行兩次折疊：第一次將DA邊折疊到DC邊上得到DA′，折痕為DM，連接A′M，CM，第二次將△MBC沿著MC折疊，MB邊恰好落在MD邊上．若AD＝1，則AB的長為（）A． B． C． D．【分析】由第一次折疊可知∠DA′M＝∠DAM＝90°，DA′＝DA，則四邊AMA′D為正方形，AM＝A′M＝AD，，由第二次折疊可知∠BMC＝∠B′MC，利用平行線的性質(zhì)得∠DCM＝∠BMC，于是可得∠B′MC＝∠DCM，由等邊對等角得，以此即可求解．解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC．由第一次折疊可知，∠DA′M＝∠DAM＝90°，DA′＝DA，∴四邊形AMA′D為正方形，∴AM＝A′M＝AD，∴．由第二次折疊可知，∠BMC＝∠B′MC，∵BM∥CD，∴∠DCM＝∠BMC，∴∠B′MC＝∠DCM，∴，∴．故選：B．【點評】本題主要考查矩形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．把一元二次方程x（x﹣3）＝4化成ax2+bx+c＝0的一般形式，其中a＝1，則常數(shù)項c＝﹣4．【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．解：x（x﹣3）＝4，∴x2﹣3x﹣4＝0，∵a＝1，∴常數(shù)項c＝﹣4．故答案為：﹣4．【點評】本題主要考查了一元二次方程的一般式，熟練掌握一元二次方程的一般式ax2+bx+c＝0（a≠0）其中a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，如果∠ADB＝25°，那么∠AOB的度數(shù)為50°．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)證得OA＝OD，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OA＝OD，∵∠ADB＝25°，∴∠OAD＝∠ODA＝25°，∴∠AOB＝∠OAD+∠ODA＝50°．故答案為：50°．【點評】本題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．9．關(guān)于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值是1．【分析】根據(jù)根的判別式Δ＝0，即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可得出k值．解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案為：1．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．10．若關(guān)于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的兩個根分別為m與2m﹣6，則m的值為2．【分析】根據(jù)題意可得m+2m﹣6＝0，然后進行計算即可解答．解：由題意得：m+2m﹣6＝0，3m＝6，m＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握解一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是正方形，點A的坐標是（2，1），則點C的坐標是（﹣1，2）．【分析】如圖，過點C作CD⊥x軸，過點A作AE⊥x軸，由“AAS”可證△AOE≌△OCD，可得DO＝AE＝1，CD＝OE＝2，即可求解．解：如圖，過點C作CD⊥x軸，過點A作AE⊥x軸，∵點A的坐標是（2，1），∴AE＝1，OE＝2，∵四邊形OABC是正方形，∴AO＝CO，∠AOC＝90°，∴∠AOE+∠COD＝90°，且∠AOE+∠OAE＝90°，∴∠COD＝∠OAE，且AO＝CO，∠AEO＝∠CDO＝90°，∴△AOE≌△OCD（AAS）∴DO＝AE＝1，CD＝OE＝2，∴點C坐標為（﹣1，2）故答案為：（﹣1，2）【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．12．如圖，在菱形ABCD中，AB＝20，∠A＝45°，點E在邊AB上，AE＝13，點P從點A出發(fā)，沿著A→D→C→B的路線向終點B運動，連接PE，若△APE是以AE為腰的等腰三角形，則AP的長可以是13或13或5．【分析】過點D作DH⊥AB于H，可求得AH＝DH＝10，分四種情況：當點P在AD邊上時，若AP＝AE，若PE＝AE，可分別求得AP的長；當點P在CD邊上時，AP＞PE＞AE，不可能為等腰三角形；當點P在BC邊上，且PE＝AE＝13時，可求得AP＝5．解：過點D作DH⊥AB于H，∵四邊形ABCD是菱形，AB＝20，∠A＝45°，∴AD＝DC＝BC＝AB＝20，∴AH＝DH＝AD＝10＞13，又點E在邊AB上，AE＝13，當點P在AD邊上時，若AP＝AE，則AP＝13；若PE＝AE，則∠APE＝∠A＝45°，∴∠AEP＝90°，∴△APE是等腰直角三角形，∴AP＝AE＝13；當點P在CD邊上時，AP＞PE＞AE，不可能為等腰三角形；當點P在BC邊上，且PE＝AE＝13時，如圖，過點P作PG⊥AB于G，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠PBG＝∠A＝45°，∴△PBG是等腰直角三角形，∴PG＝BG，設(shè)PG＝BG＝y(tǒng)，則EG＝y(tǒng)+7，∵EG2+PG2＝PE2，∴（y+7）2+y2＝132，解得：y＝5（負值舍去），∴PG＝5，AG＝25，∴AP＝＝＝5；綜上所述，AP的長為13或13或5．故答案為：13或13或5．【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法，注意掌握分類討論思想與方程思想的應用是解此題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共6小題，每小題3分，共30分）13．解方程：x2﹣2x﹣1＝0．【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解皆可．解：解法一：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣1）＝8＞0∴∴，；解法二：∵x2﹣2x﹣1＝0，則x2﹣2x+1＝2∴（x﹣1）2＝2，開方得：，∴，．【點評】命題意圖：考查學生解一元二次方程的能力，且方法多樣，可靈活選擇．本題考查了解一元二次方程的方法，公式法適用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c＝0的解為x＝（b2﹣4ac≥0）．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，∠A＝30°，BC＝2，求CD的長．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出AB，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出2BC＝AB即可得解．解：∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD是AB邊上的中線，∴CD＝AB，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，∴CD＝B＝×4＝2，【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點C作BD的平行線交AB的延長線于點E．求證：AC＝CE．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可以得到AC＝BD，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可以得到BD＝CE，從而可以得到AC＝CE．【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴BD＝AC，AB∥DC，∴BE∥DC，又∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形，∴BD＝CE，∴AC＝CE．【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出BD＝CE．16．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點A作AE⊥BC于E，若OB＝2，S菱形ABCD＝4，求AE的長．【分析】由四邊形ABCD是菱形，OB＝2，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BD＝4，再根據(jù)菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半求得AC＝2，再根據(jù)勾股定理求得BC，進而利用面積即可求得AE的長．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴，∴BD＝2OB＝4．∵，∴AC＝2，∴OC＝1，∴．∵S菱形ABCD＝BC?AE＝4，∴．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)菱形的面積公式（菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半）求得AC＝2是解題的關(guān)鍵．17．如圖，△ACB和△CED都是等腰直角三角形，點B，C，E在同一直線上，且E是BC的中點，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中，作?ABMC；（2）在圖2中，作正方形ACBN．【分析】（1）延長AE和CD，它們的交點為M點，則四邊形ABMC滿足條件；（2）延長DE交AB于O點，然后分別延長CO和MB，它們相交于點N，則四邊形ACBN滿足條件．解：（1）如圖1，?ABMC為所作；（2）如圖2，正方形ACBN為所作．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形和正方形的判定．18．如圖，矩形綠地的長為12m，寬為9m，將此綠地的長、寬各增加相同的長度后，綠地面積增加了72m2，求綠地的長、寬增加的長度．【分析】設(shè)綠地的長、寬增加的長度為xm，由題意：將此綠地的長、寬各增加相同的長度后，綠地面積增加了72m2，列出一元二次方程，解方程即可．解：設(shè)綠地的長、寬增加的長度各為xm，由題意得：（12+x）（9+x）＝12×9+72，整理得：x2+21x﹣72＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣24（不符合題意，舍去），答：綠地長、寬增加的長度各為3m．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）19．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程為x2+bx+c＝0．在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，并解這個方程．①b＝2，c＝1；②b＝1，c＝2；③b＝3，c＝﹣1；④b＝﹣3，c＝2．注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分．【分析】先根據(jù)這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在①②③中選取，然后求解方程即可．解：∵這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴b2﹣4ac＞0，∵a＝1，∴b2＞4c，選①②時，不符合，∴③④均可．選③解方程，則這個方程為x2+3x﹣1＝0，∴，∴，；選④解方程，則這個方程為x2﹣3x+2＝0，∴，∴x1＝2，x2＝1．【點評】本題主要考查的是根據(jù)一元二次方程根的判別式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判別式大于0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式等于0，方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式小于0，方程無解．20．定義：如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足b＝a+c，那么我們稱這個方程為“完美方程”．（1）下面方程是“完美方程”的是③．（填序號）①x2﹣4x+3＝0；②2x2+x+3＝0；③2x2﹣x﹣3＝0．（2）已知3x2+mx+n＝0是關(guān)于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一個根，求m的值．【分析】（1）根據(jù)“完美方程”的定義進行求解即可；（2）根據(jù)“完美方程”的定義得到n＝m﹣3，則原方程為3x2+mx+m﹣3＝0，再由m是此“完美方程”的一個根，得到4m2+m﹣3＝0，解方程即可．解：（1）①x2﹣4x+3＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝3，∴a+c＝4≠b，則方程x2﹣4x+3＝0不是“完美方程”；②2x2+x+3＝0，∵a＝2，b＝1，c＝3，∴a+c＝5≠b，則方程2x2+x+3＝0不是“完美方程”；③2x2﹣x﹣3＝0，∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3，∴a+c＝b，則方程2x2﹣x﹣3＝0是“完美方程”；故答案為：③．（2）∵3x2+mx+n＝0是關(guān)于x的“完美方程”，∴m＝3+n，∴n＝m﹣3，∴原方程為3x2+mx+m﹣3＝0．∵m是此“完美方程”的一個根，∴3m2+m2+m﹣3＝0，即4m2+m﹣3＝0，解得：m＝﹣1或．【點評】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定義，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．21．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的點，連接BE，DF，BE與DF交于點P，BE＝DF．添加下列條件之一使?ABCD成為菱形：①CE＝CF；②BE⊥CD，DF⊥BC．（1）你添加的條件是②（填序號），并證明．（2）在（1）的條件下，若∠A＝45°，△BFP的周長為4，求菱形的邊長．【分析】（1）可證△CFD≌△CEB，可得CD＝CB，即可求證；（2）連接CP，可證Rt△CEP≌Rt△CFP，可得PE＝PF，再證BE＝CE，BF＝PF，即可求解．解：（1）②．證明：∵BE⊥CD，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠CEB＝90°，在△CFD和△CEB中，∴△CFD≌△CEB（AAS），∴CD＝CB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形．（2）如圖，連接CP，由（1）知△CFD≌△CEB，∴CF＝CE，在Rt△CEP和Rt△CFP，∴Rt△CEP≌Rt△CFP（HL），∴PE＝PF，在菱形ABCD中，∠A＝45°，∴∠BCD＝45°，∵∠CFD＝∠CEB＝90°，∴∠BFP＝∠DEP＝90°，∴∠CBE＝∠BPF＝∠BCD＝45°，∴BE＝CE，BF＝PF，∵△BFP的周長為4，∴BP+PF+BF＝BP+PE+BF＝BE+BF＝CE+BF＝CF+BF＝BC＝4．即菱形的邊長為4．【點評】本題考查了菱形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）22．【閱讀】解方程：（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．解：設(shè)x﹣1＝y(tǒng)，則原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．當y＝1時，即x﹣1＝1，解得x＝2；當y＝4時，即x﹣1＝4，解得x＝5．所以原方程的解為x1＝2，x2＝5．上述解法稱為“整體換元法”【應用】（1）若在方程中，設(shè)，則原方程可化為整式方程：y2﹣3＝0．（2）請運用“整體換元法”解方程：（2x﹣3）2﹣（2x﹣3）﹣2＝0．【分析】（1）將原方程變形為只含有的形式，再將代入，化為整式方程即可；（2）根據(jù)“整體換元法”，設(shè)y＝2x﹣3，解新的一元二次方程，解出未知數(shù)后代入即可求解原方程的解．解：（1），變形為：，則可化為：，即y2﹣3＝0，故答案為：y2﹣3＝0；（2）設(shè)y＝2x﹣3，則原方程變形為y2﹣y﹣2＝0，∴（y﹣2）（y+1）＝0，∴y﹣2＝0或y+1＝0，解得y1＝2，y2＝﹣1，當y＝2時，即2x﹣3＝2，解得；當y＝﹣1時，即2x﹣3＝﹣1，解得x＝1．∴原方程的解為．【點評】本題主要考查解一元二次方程的方法，熟練掌握解一元二次方程的基本方法，利用整體換元法解方程是解答本題的關(guān)鍵．23．如圖1，在?ABCD中，點E，F(xiàn)在對角線AC上，AE＝CF，DE⊥AC，過點D作DG∥AC交BF的延長線于點G．（1）求證：四邊形DEFG是矩形．（2）如圖2，連接DF，BE，當∠DFG＝∠BEF時，判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝CB，AD∥CB，從而得出∠DAE＝∠BCF，推出△ADE≌△CBF（SAS），得到∠AED＝∠CFB．再證出DE∥GF，從而得到最后結(jié)果；（2）先證得DEBF是平行四邊形，得出DF∥BE，從而得出∠AFD＝∠BEF．進一步得出∠AFD＝∠DFG．最后可得出DEFG是正方形．【解答】（1）證明：在?ABCD中，AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF．又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠AED＝∠CFB．∵∠AFG＝∠CFB，∴∠AED＝∠AFG，∴DE∥GF．∵DG∥AC，∴四邊形DEFG是平行四邊形．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴四邊形DEFG是矩形．（2）四邊形DEFG是正方形．理由：由（1）知DE∥BF，DE＝BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴DF∥BE，∴∠AFD＝∠BEF．∵∠DFG＝∠BEF，∴∠AFD＝∠DFG．在矩形DEFG中，∠EFG＝∠DEF＝90°，∴∠DFE＝∠EDF＝45°，∴DE＝EF，∴矩形DEFG是正方形．【點評】本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的性質(zhì)及判定、矩形的性質(zhì)與判定、正方形的判定和性質(zhì)，全