2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)2019單元復(fù)習(xí)試題單元復(fù)習(xí)09平面向量基礎(chǔ)題

單元復(fù)習(xí)09平面向量01平面向量的基礎(chǔ)概念與運(yùn)算一、單選題1．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．零向量的長(zhǎng)度是0C．長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量D．共線向量是在同一條直線上的向量【答案】B【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】A：僅表示與的大小相等，但是方向不確定，故未必成立，所以A錯(cuò)誤；B：根據(jù)零向量的定義可判斷B正確；C：長(zhǎng)度相等的向量方向不一定相同，故C錯(cuò)誤；D：共線向量不一定在同一條直線上，也可平行，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．在中，為的中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量加法的三角形法則，轉(zhuǎn)化為和即可．【詳解】.故選：B3．已知平面向量，滿足，，與的夾角為45°，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】，，，∴.故選：A4．已知平面向量，不共線，，，，則（

）A．，，三點(diǎn)共線 B．，，三點(diǎn)共線C．，，三點(diǎn)共線 D．，，三點(diǎn)共線【答案】D【分析】根據(jù)給定條件逐項(xiàng)計(jì)算對(duì)應(yīng)三點(diǎn)確定的某兩個(gè)向量，再判斷是否共線作答.【詳解】平面向量，不共線，，，，對(duì)于A，，與不共線，A不正確；對(duì)于B，因，，則與不共線，B不正確；對(duì)于C，因，，則與不共線，C不正確；對(duì)于D，，即，又線段與有公共點(diǎn)，則，，三點(diǎn)共線，D正確.故選：D5．給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若,，則；④的充要條件是且.其中正確命題的序號(hào)是（

）A．②③ B．①② C．③④ D．②④【答案】A【分析】對(duì)于①，根據(jù)向量相等的概念分析可知不正確；對(duì)于②，根據(jù)向量相等的概念以及充要條件的概念分析可知正確；對(duì)于③，根據(jù)向量相等的概念分析可知正確；對(duì)于④，根據(jù)向量相等的概念以及充要條件的概念分析可知不正確.【詳解】對(duì)于①，兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，不能推出兩個(gè)向量的方向的關(guān)系，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)锳，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且等價(jià)于且，即等價(jià)于四邊形ABCD為平行四邊形，故②正確；對(duì)于③，若,，則；顯然正確，故③正確；對(duì)于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分條件，故④不正確,故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握向量相等的概念和充要條件的概念是解題關(guān)鍵.6．已知中，，，，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取、為基底，把，都用、表示，再計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，所以，，即，因此.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：向量運(yùn)算的技巧：（1）構(gòu)造向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則；（2）樹(shù)立“基底”意識(shí)，利用基向量進(jìn)行運(yùn)算.二、多選題7．如果，，都是非零向量.下列判斷正確的有（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ACD【分析】利用平行向量的定義可判斷AD，利用數(shù)量積的概念及性質(zhì)可判斷BC.【詳解】∵，，都是非零向量，∴若，，則，故A正確；若，，則，但不一定等于，故B錯(cuò)誤；由，可得，整理可得，所以，故C正確；若，則，故D正確.故選：ACD.8．已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若在上的投影為，則向量與夾角為C．與共線的單位向量只有一個(gè)為D．存在，使得【答案】BD【分析】對(duì)A：由向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解判斷；對(duì)B：根據(jù)投影的定義即可求解判斷；對(duì)C：與共線的單位向量為即可判斷；對(duì)D：根據(jù)向量與共線同向時(shí)，滿足即可判斷.【詳解】解：向量，，對(duì)A：因?yàn)?，所以，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，即，所以，又，所以，因?yàn)椋韵蛄颗c夾角為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C：與共線的單位向量有兩個(gè)，分別為和，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)向量與共線同向，滿足，所以存在，使得，故選項(xiàng)D正確；故選：BD.三、填空題9．在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊，，的中點(diǎn)，則__________.【答案】【分析】根據(jù)平面向量的加法法則運(yùn)算可得，由題意得，進(jìn)而求得.【詳解】如圖所示，在中，，又點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，所以，所以.故答案為：10．已知平面向量，滿足，，若，則_____．【答案】2【分析】利用模長(zhǎng)公式，數(shù)量積的定義及運(yùn)算法則即求.【詳解】由題知，，，，則，代值運(yùn)算得：，解得或（舍去），故．故答案為：2．四、解答題11．若平面向量滿足，.（1）若，求的坐標(biāo).（2）若，求與的夾角.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）設(shè)，由向量共線得，再根據(jù)模的關(guān)系即可得或，進(jìn)而得答案；（2）根據(jù)已知條件得，再根據(jù)向量夾角的公式計(jì)算即可得答案.【詳解】解：（1）設(shè)，因?yàn)?，所?①又因?yàn)椋?②由①?②，解得或，所以的坐標(biāo)為或.（2）由可知，由可得，即，解得，設(shè)與的夾角為，則，又因?yàn)椋?12．已知向量，且與的夾角為（1）求;（2）若與垂直，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）λ=.【分析】（1）根據(jù)向量，且與的夾角為，由，求得m，再得到的坐標(biāo)求解.(2)由（1)得到，與的坐標(biāo)，根據(jù)與垂直求解.【詳解】（1）因?yàn)橄蛄?，且與的夾角為，所以，解得，所以，則.(2)由（1)知m=1，故，，因?yàn)榕c垂直，所以，解得.02平面向量的基本定理及應(yīng)用一、單選題1．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，DE=EC，CF=2BF，設(shè)，，則=（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合向量加減法法則求解即可.【詳解】由題意，，設(shè)，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得.故選：D.2．已知AB是的直徑，C，D是半圓弧AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由平面向量的線性運(yùn)算法則求解．【詳解】是的直徑，C，D是半圓弧AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且，．故選：A．3．如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對(duì)岸的碼頭B.已知AB=1km，水的流速為2，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的時(shí)間為6min，則客船在靜水中的速度為（

）A． B．8C． D．10【答案】A【分析】設(shè)靜水中的速度為，水流速度為，合速度，將正交分解為，由已知條件知，，進(jìn)而求，即得，則可求.【詳解】設(shè)客船在靜水中的速度大小為，水流速度為，則，則船實(shí)際航行的速度，，由題意得.把船在靜水中的速度正交分解為，即，∵km/h，而與同向，即，∴∴.故選：A.4．如圖所示的矩形中，滿足，為的中點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】將作為基底，根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合已知條件把用表示，從而可求出的值.【詳解】連接，由題可知，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，所以.故選：A.5．在中，，點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)E在線段上，且滿足，，交于點(diǎn)F，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得AB＝4，AC＝3，設(shè)，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，推出，由B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線求得λ，再將表示成以為基底的向量，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則得答案．【詳解】如圖：由，得AB＝4，AC＝3，設(shè)，則三點(diǎn)共線，，即，則故選：C.6．已知在中，為的中點(diǎn)，，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則最小值為（

）A．2 B． C． D．－2【答案】C【分析】由，結(jié)合投影幾何意義，建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量數(shù)量積的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由,結(jié)合投影幾何意義有：過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足落在的延長(zhǎng)線上，且,以所在直線為軸，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)，其中則解析式是關(guān)于的二次函數(shù)，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸時(shí)取得最小值，當(dāng)時(shí)取得最小值故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量方法解決幾何最值問(wèn)題，屬于中等題型.二、多選題7．給出下列命題，其中正確的選項(xiàng)有（

）A．非零向量、滿足，則與的夾角為B．若，則△為等腰三角形．C．等邊△的邊長(zhǎng)為，則D．已知向量，且，則【答案】AB【分析】A應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律得、，進(jìn)而求與的夾角；B利用向量加法、數(shù)量積的幾何意義判斷即可；C應(yīng)用向量數(shù)量積的定義計(jì)算；D應(yīng)用向量垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù)k.【詳解】A：由可得，則，，，易知與的夾角為，正確；B：若為邊上的中線，則，結(jié)合已知有，即，所以△中，正確；C：由題意，，錯(cuò)誤；D：，由題意有，即，錯(cuò)誤.故選：AB8．中，為上一點(diǎn)且滿足，若為線段上一點(diǎn)，且（，為正實(shí)數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最小值為3【答案】AD【分析】由題設(shè)結(jié)合三點(diǎn)共線可得，再應(yīng)用基本不等式求、的最值，利用向量加減、數(shù)乘的幾何意義求的線性關(guān)系.【詳解】由題設(shè)，可得，又三點(diǎn)共線，∴，即，B錯(cuò)誤；由，為正實(shí)數(shù)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確；，又，∴，故A正確.故選：AD.9．設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中相異的四點(diǎn)，若，，且，則稱(chēng)調(diào)和分割，已知平面上的點(diǎn)C，D調(diào)和分割點(diǎn)A，B，則下面說(shuō)法正確的是（

）A．A、B、C、D四點(diǎn)共線B．D可能是線段的中點(diǎn)C．C、D可能同時(shí)在線段上D．C、D不可能同時(shí)在線段的延長(zhǎng)線上【答案】AD【分析】根據(jù)題設(shè)條件可先判斷出、、、四點(diǎn)共線，從而判斷出選項(xiàng)A，然后可設(shè)、、、，結(jié)合題設(shè)條件可得，然后對(duì)各選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】∵，∴，∴、、、四點(diǎn)共線∵平面上的點(diǎn)C，D調(diào)和分割點(diǎn)A，B∴A、B、C、D四點(diǎn)共線，故A正確；由題意可設(shè)、、、，則，.∴，∵∴對(duì)于B，若D是線段的中點(diǎn)，則，代入到，不存在，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若C、D同時(shí)在線段上，則，，代入到，可得，此時(shí)C、D重合，與題意不符，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若C、D同時(shí)在線段的延長(zhǎng)線上，則，，所以，與矛盾，故C、D不可能同時(shí)在線段的延長(zhǎng)線上，故D正確.故選：AD.10．如圖，正方形中，為中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)為線段上的中點(diǎn)時(shí)，B．的最大值為C．的取值范圍為D．的取值范圍為【答案】ABC【分析】以為原點(diǎn)，為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示及向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示條件，由此判斷各選項(xiàng).【詳解】以為原點(diǎn)，為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，即，?duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)闉榫€段上的中點(diǎn)，所以，故，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，，當(dāng)時(shí)，取最大值為，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，，所以，的取值范圍為，C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，，所以，所以的取值范圍為，D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、解答題11．如圖，在菱形中，，.（1）若，求的值；（2）若，，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）結(jié)合平面圖形以及平面向量的線性運(yùn)算即可求出，的值，進(jìn)而求出結(jié)果；（2）根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算得到，在結(jié)合（1）中，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律以及定義即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以，，?（2）∵，∴，∵為菱形，∴，∴，即.12．在△ABC中，已知，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AD與CE交于點(diǎn)O.設(shè).(1)若，求的值；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)向量的線性運(yùn)算得到和，從而得到，，即可得到.（2）首先根據(jù)題意得到，根據(jù)，，得到，從而得到，再求解最小值即可.【詳解】（1）因?yàn)镃，O，E三點(diǎn)共線，所以有，即，得，同理可設(shè)，所以得，，解得.所以，即.（2）解：，由（1）可知，，所以，所以，令，則，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為.13．在如圖所示的平面圖形中，已知，，，，求：(1)設(shè)，求的值；(2)若，且，求的最小值及此時(shí)的夾角.【答案】(1)(2)的最小值為，為.【分析】（1）由向量的減法公式，結(jié)合題意和平面向量共線定理，即可求得，進(jìn)而求出結(jié)果；（2）記，因?yàn)?，所以，設(shè)，根據(jù)平面向量加法理和平面向量共線定可得，進(jìn)而求得，化簡(jiǎn)整理可得，再根據(jù)二次函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所以，所以，?（2）解：記，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，即最小值為，又，所以，所以，即，所以的最小值為，此時(shí)為.14．如圖所示，是的一條中線，點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)的直線分別與射線，射線交于，兩點(diǎn).(1)求證：；(2)設(shè)，，，，求的值；(3)如果是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，