2021年上海市松江區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

2021年上海市松江區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

一.填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）考

生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.（4分）lim"—>8-----=.

"3"+2”----

2.（4分）若集合A={x|-l<x<3},8={1,2,3,4},則AB=.

3.（4分）已知復(fù)數(shù)z滿足z-（l-i）=l+9為虛數(shù)單位），則|z|=—.

4.（4分）若sina=1，貝!]cosQr-2a）=.

3

5.（4分）拋物線的準(zhǔn)線方程是.

6.（4分）已知函數(shù)f（x）圖象與函數(shù)g（x）=2'的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，則/（3）=.

7.（5分）從包含學(xué)生甲的1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為80的樣本，則學(xué)生甲被抽到

的概率—.

8.（5分）在（f+的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于_.

X

9.（5分）在AABC中，角A,B,C對(duì)的邊分別為〃，h,c,^|^+2c&2rz|=（）^則

cosB&l

角A=.

10.（5分）從以下七個(gè)函數(shù)：y=x,y=—,y=x2,y=2x,y=log_2x,y=sinx,y=cosx

x

中選取兩個(gè)函數(shù)記為f（x）和g（x）,構(gòu)成函數(shù)尸（%）=/（/>+g（x）,若尸（X）的圖象如圖所示,

則/（外=.

11.（5分）已知向量|a|=|b|=|c|=1,若〃?/?='，且。=%助，則x+y的最大值為.

2

12.（5分）對(duì)于定義域?yàn)椤５暮瘮?shù)f（x）,若存在冗_(dá)1,x_2e。且x_lw%_2,使得

/*_12）=/*_22）=2/（%」+工_2）,則稱函數(shù)/（幻具有性質(zhì)〃，若函數(shù)8（幻=|1?！?工-1|,

具xw（0,有性質(zhì)則實(shí)數(shù)〃的最小值為.

二.選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)

在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.（5分）已知兩條直線/_1,/_2的方程為/_1:?x+y-l=0和/_2:x-2y+l=0,貝！|a=2

是“直線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.（5分）在正方體中，下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.直線8」C與直線AC所成的角為60。

B.直線與平面AO_1C所成的角為60。

C.直線8」C與直線所成的角為90。

D.直線與直線所成的角為90。

15.（5分）設(shè)x>0,y>0,若2x+1=l,則上的（）

yx

A.最小值為8B.最大值為8C.最小值為2D.最大值為2

16.（5分）記為數(shù)列｛〃_〃｝的前〃項(xiàng)和,已知點(diǎn)（〃,〃_〃）在直線y=10-2%上,若有且

只有兩個(gè)正整數(shù)〃滿足S_〃囪,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

Q1

A.（8,14]B.（14,18]C.（18,20|D.（18,—]

4

三、解答題（共5小題，滿分76分）

17.（14分）如圖1,在三棱柱45。-4」8」（?_1中，已知A8J.AC,AB=AC=1,AA_i=2,

且平面A8C,過4」，C_l,8三點(diǎn)作平面截此三棱柱，截得一個(gè)三棱錐和一個(gè)

四棱錐（如圖2）.

（1）求異面直線BC」與AA_1所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）；

（2）求四棱錐8-ACC_L4_l的體積和表面積.

G

18.(14分)已知函數(shù)f(x)=bsinxcosx+cos?x+1.

（1）求f（x）的最小正周期和值域;

（2）若對(duì)任意xeR,尸（工）一女f（x）—z,o的恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

19.（14分）某網(wǎng)店有（萬件）商品，計(jì)劃在元旦旺季售出商品x（萬件），經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查測(cè)

算，花費(fèi)3萬元）進(jìn)行促銷后，商品的剩余量3-x與促銷費(fèi)t之間的關(guān)系為3-x=±（其

r+1

中k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，只能售出1（萬件）商品.

（I）要使促銷后商品的利余量不大于01（萬件），促銷費(fèi)f至少為多少（萬元）？

（2）已知商品的進(jìn)價(jià)為32（元/件），另有固定成本3（萬元），定義每件售出商品的平均

成本為32+』（元），若將商品售價(jià)定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍“與“每件售出

X

商品平均促銷費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)促銷費(fèi)/為多少（萬元）時(shí)，該網(wǎng)店售出商品的總利潤(rùn)

最大？此時(shí)商品的剩余量為多少？

22

20.（16分）已知橢圓「:二+與=1（〃>6>0）的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的0

ab"

倍，直線/交「橢圓于不同的兩點(diǎn)"和N,

（1）求橢圓「的方程；

（2）若直線/經(jīng)過點(diǎn)P（0,4）,且AOMN的面積為2點(diǎn)，求直線/的方程；

（3）若直線/的方程為y=kx+f（kH0）,點(diǎn)〃關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為“，直線MN,MW分

別與x軸相交于P、。兩點(diǎn)，求證：|OP|?|OQ|為定值.

y

21.(18分)對(duì)于由，"個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的有限集M={〃_1,a_2,a_3,,a_m},記

P(M)=a_\+a_2+...+a_m,特別規(guī)定尸(0)=0,若集合〃滿足：對(duì)任意的正整數(shù)

k?P(M),都存在集合M的兩個(gè)子集A、B,使得k=P(A)-P(B)成立，則稱集合M

為“滿集”.

(1)分別判斷集合M」={1，2}與M_2={1,4}是否為“滿集”，請(qǐng)說明理由;

(2)若。_2,…，a_加由小到大能排列成公差為"(deN")的等差數(shù)列，求證：集

合用為“滿集”的必要條件是?！?1,d=l或2；

(3)若a」，a_2,…,。_機(jī)由小到大能排列成首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，求證：

集合M是“滿集”.

2021年上海市松江區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一.填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）考

生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

3〃

1.（4分）lim〃------=1.

-3〃+2〃-----

3〃11

［解答］解：lim_n-^oo-----=lim_n—>oo------=---=1.

3"+2“1+（知I—

故答案為：1.

2.（4分）若集合A={x|-l<x<3},8={1,2,3,4},則4B=_{\^2］_.

【解答］解：A={x|-l<x<3},B={1,2,3,4),

.?.A8={1,2}.

故答案為：{1,2}.

3.（4分）己知復(fù)數(shù)z滿足=l+為虛數(shù)單位），貝！J|z|=1

【解答】解：由z<l-i）=l+i,

1-/(1-0(1+0

z|=l.

故答案為1.

17

4.（4分）若sina=-，則cosO-2a）=——.

3一9一

【解答】解：sina=-,

3

2227

cosO-2a）=-cos2a=-（1-2sin-a）=-\+2sin-a=-\+—=?

故答案為：

9

5.（4分）拋物線V=Tx的準(zhǔn)線方程是_x=l_.

【解答】解：拋物線的方程y2=-4x,，2p=4,得5=1,

因此，拋物線的焦點(diǎn)為尸（-1,0）,準(zhǔn)線方程為x=l.

故答案為：X=1

6.（4分）已知函數(shù)f（x）圖象與函數(shù)g（x）=2”的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，則f（3）=_log_23

【解答】解：函數(shù)/*)的圖象與函數(shù)g(x)=2'的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

.??函數(shù)/(x)與函數(shù)g(x)=2*互為反函數(shù)，

/(x)=log_2x,

:.f(3)=log_23,

故答案為：k>g_23.

7.(5分)從包含學(xué)生甲的1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為80的樣本，則學(xué)生甲被抽到

的概率--

一15一

【解答】解：從包含學(xué)生甲的1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為80的樣本，

基本事件總數(shù)〃=C」200w),

學(xué)生甲被抽到包含的基本事件個(gè)數(shù)〃?=C_120079C_L

二學(xué)生甲被抽到的概率P=-=0=_L.

nC_12OO8015

故答案為：

15

8.(5分)在(f+2)<>的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于240.

X

【解答】解：在(f+2)6的二項(xiàng)展開式中，通項(xiàng)公式為7；M=C；2,產(chǎn)-3,,

X

令12-3r=0,求得/?=%可得展開式的常數(shù)項(xiàng)為C；24=240,

故答案為：240.

9.(5分)在AABC中，角A,B,C對(duì)的邊分別為a,b,c,且|""十？c&2a卜。，則

cos8&1

角A=

-6-

【解答】解：在AABC中，角A,B,C對(duì)的邊分別為a,b,c,且|四+2c&2a卜0,

cosB&1

可得小b+2c=2acosB,

由正弦定理可得J^sinB+sinC=2sinAcosB,

即5/3sinB+sin(A4-B)=2sinAcosB，可得cosA=-且,

所以A=3.

6

故答案為：—.

6

2x

10.(5分)從以下七個(gè)函數(shù)：y=x,y=—,y=xfy=2fy=log_2x,y=sinx,y=cosx

x

中選取兩個(gè)函數(shù)記為/(x)和g(x),構(gòu)成函數(shù)尸(%)=/(為+g(N),若F(x)的圖象如圖所示,

則尸(x)=_2*+sinx_.

4

【解答】解：由圖象可知，函數(shù)尸(X)的定義域?yàn)镽,故排除y=Ly=\og_2x,

X

又尸(x)的圖象過定點(diǎn)(0,1),

當(dāng)x>0時(shí)，/(工)>1且為增函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，尸。)大于0與小于0交替出現(xiàn)，

2

故排除y=x,y=xf

y=2xH(0,1),且當(dāng)x>0時(shí)，y>1,當(dāng)x<0時(shí)，0<y<l.

若包含y=cosx,當(dāng)x=0時(shí)，y=l,y=2*+cosx不滿足過點(diǎn)(0,1),

/.只有y=2x+sinx滿足.

故答案為：2、+sinx.

11.(5分)已知向量|〃|=|b|=|c|=l,若=g,且。誨鼾，則元+y的最大值為_2表

【解答】解：|。|=|切，且。為=」，

2

二.a與b的夾角為60。,

設(shè)a=(1,0),則b=(g,亭)'

c=xa+yb,

,I小、

..c=(x+-y,—y),

又|c|=l,

(x+；y)2+(T>)2=1，化簡(jiǎn)得f+初+丫2=1,

，(x+y)2—1=孫,，巨士漢，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=巫時(shí)，等號(hào)成立，

43

..X+%---.

3

故答案為：子.

12.(5分)對(duì)于定義域?yàn)椤５暮瘮?shù)/(x),若存在x_l,x_2e￡>且x_lxx_2,使得

/(x_l2)=/(x_22)=2/(x_l+x_2),則稱函數(shù)/(x)具有性質(zhì)M,若函數(shù)g(x)=|k)g_2x-\\,

具xw(O,a］有性質(zhì)A7,則實(shí)數(shù)a的最小值為_h壺+2一

【解答】解：設(shè)x_l<x_2,由f(x」2)=f(x_22)得，|/og_2x」2-lR/og_2x_22-l|,

則l-/og_2x_F=log_2x_22-1,log_2x_12x_22-2,

x_l2x_22=4(x_l2<2,x_22>2),

又2.f(x」+x_2)h2/og_2(x」+x_2)-2R/og_2(x」+x_2)2-2|,

：.log_2(x_i+x_2)2-2=i-log_2x_i2,

44

X_F=—/，log_2(x_\2+—萬+4)-2=l-/og_2x_F,

x_2'x_\

貝lJZog_2(x_『+4X_P+4)=3,.X_14+4X_12+4=8,

x_l-小2直-2>故x_2=J2&+2,

a..J2&+2,則實(shí)數(shù)a的最小值為。2出+2.

故答案為：《2丘+2.

二.選擇題(本大題共有4題，滿分20分，每題5分)每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)

在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.(5分)已知兩條直線//，/_2的方程為/_l:ar+y-l=O和/-2:x-2y+l=0,則a=2

是''直線/_U/_2”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答］解：若a=2,則/」:2x+yT=4)和/一2:x-2y+l=0,k_l-k_2=-2xl=-l,

2

所以直線滿足充分性；

若直線則“xl+lx（-2）=0,解得”=2,滿足必要性.

所以。=2是“直線的充要條件.

故選：C.

14.（5分）在正方體ABCD-A_1B_1C_1O_1中，下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

5G

A.直線8」C與直線AC所成的角為60。

B.直線B_1C與平面AO_1C所成的角為60。

C.直線B」C與直線所成的角為90。

D.直線8」C與直線AB所成的角為90°

【解答】解：連接A8_l,/XABJC為等邊三角形，二ZAC8」=60。，即直線8_1C與AC

所成的角為60。，故選項(xiàng)A正確;

連接AB_\=B_\C=CD_\=AD_\,四面體AB_\CD_\是正四面體,

.?.點(diǎn)8」在平面上的投影為△的中心，設(shè)為點(diǎn)。，連接B」O,OC,則

OC=—BC,

3

設(shè)直線B_1C與平面AZ）_1C所成的角為。，

遠(yuǎn)BCr

則cosO="L=g—=世/2.,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

B_\C及BC32

連接8C_1,AO」//8C_1,且B」C_LfiC」，，直線B」C與AD_1所成的角為90。,

故選項(xiàng)C正確;

Afi，平面即直線B_1C與AB所成的角為90。，故選項(xiàng)。正

確.

故選：B.

15.（5分）設(shè)x>0,y>0,若2x+1=l,則上的（）

yx

A.最小值為8B.最大值為8C.最小值為2D.最大值為2

【解答】解：由已知2尤+,=1可得y=—

yl-2x2

所以2=1

2

X41-2x)-2x+x_2(x_h+j_

48

當(dāng)V時(shí)，生+』q,此時(shí)3=8,

故選：A.

16.（5分）記S_〃為數(shù)列｛〃一〃｝的前〃項(xiàng)和，已知點(diǎn)（九,。_九）在直線y=10-2x上,若有且

只有兩個(gè)正整數(shù)〃滿足S_〃鹵，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

Q1

A.（8,14]B.（14,18]C.（18,20]D.（18,—]

4

【解答】解：由已知可得a_〃=10-2〃，由a_〃-=-2,所以數(shù)列｛〃_"｝為等差數(shù)

列，首項(xiàng)為8,公差為-2,

所以S_n=Sn+^——x（-2）=-n2+9n,

2

當(dāng)”=4或5時(shí)，S_〃取得最大值為20,

因?yàn)橛星抑挥袃蓚€(gè)正整數(shù)〃滿足S_〃鹵,

所以滿足條件的"=4和"=5,

因?yàn)镾_3=S_6=18，

所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是（18,20|.

故選：C.

三、解答題（共5小題，滿分76分）

17.（14分）如圖1,在三棱柱48（7-4_18_1（7_1中，已知AB_LAC,AB=AC=\,A4_l=2,

且44」，平面ABC,過A」，C_l,8三點(diǎn)作平面截此三棱柱，截得一個(gè)三棱錐和一個(gè)

四棱錐（如圖2）.

（1）求異面直線3C」與A4」所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）；

（2）求四棱錐8-ACCJA」的體積和表面積.

【解答】解：(1)A4」//CC_1,.?.NBC」C即為異面直線8C」與AA」所成角,

A4_1_L平面A8C,「.CC」，平面ABC,

/.ZC_1CB=9O°.

22

CB=y/AB+AC=-J\+l=-j2fCC_1=2,

tanZC_lCB=-^-,Z.C_\CB=arctan,

22

即異面直線BC_1與AA_1所成角的大小為arctan-y

1o4

(2)VB-ACC1Al=-xlx22=-;

一__33

S全=^ABAC++S%G+,^C4AC,

=—xlxl+—xlx24--xlx^+—x>/2x2+1x2

2222

2+i+正+應(yīng)+2,+員苴.

2222

四棱錐B-ACC」A_1的體積為表面積為g+0+亭

18.(14分)己知函數(shù)/'")=68m》85%+852工+1.

(1)求/(X)的最小正周期和值域；

(2)若對(duì)任意xeR,尸(幻-4/(x)-N,0的恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

解答】解(1)

21G.ecos2x+l1G.eIc3.%\3

/(X)=。3sinxcosx+cos-x+1=——sin2x+-------+1=——sin2x+—cos2x+—=sin(2x+—)+—

2222262

所以/（x）的最小正周期7=二="，值域?yàn)椋跮-］.

222

（2）iEf（x）=t,則>

22

由尸（x）-A:/（x）-2,0恒成立，知產(chǎn)-h-2?0恒成立，即公..嚴(yán)-2恒成立，

因?yàn)?0,所以4..二/=/一/,因?yàn)間?）=-7在|］時(shí)單調(diào)遞增，

,、W5417

^（0=^（-）=---=—?

所以上的取值范圍是".U.

10

19.（14分）某網(wǎng)店有（萬件）商品，計(jì)劃在元旦旺季售出商品x（萬件），經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查測(cè)

算，花費(fèi)1萬元）進(jìn)行促銷后，商品的剩余量3r與促銷費(fèi)f之間的關(guān)系為3-x=±（其

r+1

中k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，只能售出1（萬件）商品.

（1）要使促銷后商品的利余量不大于0.1（萬件），促銷費(fèi)r至少為多少（萬元）？

（2）已知商品的進(jìn)價(jià)為32（元/件），另有固定成本3（萬元），定義每件售出商品的平均

成本為32+之（元），若將商品售價(jià)定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍“與“每件售出

X

商品平均促銷費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)促銷費(fèi)f為多少（萬元）時(shí)，該網(wǎng)店售出商品的總利潤(rùn)

最大？此時(shí)商品的剩余量為多少？

k

【解答】解：（1）由3—x=當(dāng)"。，1=1時(shí)，得k=2,

r+1

29

3—x=,由---,,0.1,得九.19,

r+lr+1

故要使促銷后商品的剩余量不大于0.1（萬件），促銷費(fèi)，至少為19（萬元）;

（2）設(shè)網(wǎng)店的利潤(rùn)為y（萬元），由題意可得,

/3+32X-，、/rre、

y=M------xl.5d---)一(3+32x+r)

x2x

9932t32

_￡±_l=50-(—42.

~2t+\2r+l

當(dāng)且僅當(dāng)生=山即t=7時(shí)取等號(hào)，此:時(shí)3-x=0.25.

t+\2

.??當(dāng)促銷費(fèi)f為7（萬元）時(shí)，該網(wǎng)店售出商品的總利潤(rùn)最大為42萬元，此時(shí)商品的剩余量

為0.25(萬件).

22

20.(16分)已知橢圓「:=+與=1(4＞。＞0)的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的先

ab

倍，直線/交「橢圓于不同的兩點(diǎn)用和N,

(1)求橢圓「的方程；

(2)若直線/經(jīng)過點(diǎn)P(0,4),且AOMN的面積為2&,求直線/的方程；

(3)若直線/的方程為y=kx+?kw0),點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為AT,直線MN,M'N分

別與x軸相交于P、。兩點(diǎn)，求證：|OP|“OQ|為定值.

【解答】解：(1)由題意可得/-從=4,

解得a=2-J2,b=2,

所以橢圓的方程為工+匕=1;

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(2)設(shè)點(diǎn)〃，N的坐標(biāo)為y_l),N(x_2,y_2),

y=kx+4

直線/的方程為丫=口+4,聯(lián)立方程Vy2,

---1---=1

84

消去y可得：(l+2k2)x2+16kx+24=0,

-16k

則x_l+x_2=xlx2=24

l+2k2一一l+2k2

所以S_\OMN=--4-J(X_1+X_2)2_4X_1X_2=8*J2k3=2點(diǎn),

2v一一-l+2k-

解得k=士羋，所以直線/的方程為y=±"x+4；

(3)證明：由題意知AT點(diǎn)的坐標(biāo)為“(x_l,-y_l),

將丫=口+￡代入橢圓方程可得：(l+2k2)f+4k優(yōu)+2*-8=0,

-4kt2r2-8

所以x_l+x_2=x_lx_2=

l+2k21+21?

所以y_i+y_2=k(x_l+x_2)4-2/=-—

對(duì)于直線^二心+人令y=o,得工=一2_,所以|OPR一_L\,

kk

對(duì)于直線MW:y-y_2=y_2_y」Q_x_2),令y=0,^x=~y-2(X-2~X-l)+x_2

x_2-x_ly_2+y_l

_x\y2+x2y\_x\(kx2+1)+x2(kxl+1)

y_2+y_ly_2+y_l

=."回2型(=.』2)二型,所以|OQ|=|一四i，

y-2+y_ltt

tRk

所以|0p-|0。|=|一！卜|一竺|=8為定值，

kt

故原結(jié)論成立.

21.(18分)對(duì)于由他個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的有限集A7=伍_1,a_2,(z_3,...,a_m},記

P(M)=a_]+a_2+...+a_m,特別規(guī)定P(0)=Q,若集合M滿足：對(duì)任意的正整數(shù)

k?P(M),都存在集合”的兩個(gè)子集A、B,使得k=P(A)-P(B)成立，則稱集合M

為“滿集”.

(1)分別判斷集合M」={1,2}與M_2={1,4}是否為“滿集”，請(qǐng)說明理由;

(2)若a」，a_2,....相由小到大能排列成公差為"(deN")的等差數(shù)列，求證：集

合M為“滿集”的必要條件是。」=1,d=l或2；

(3)若。_1,a_2,…,相由小到大能排列成首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，求證：

集合M