2013年湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平數(shù)學(xué)考試試卷及答案

數(shù)學(xué)試題卷第6頁共6頁2013年湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平考試試卷數(shù)學(xué)本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共5頁。時(shí)量120分鐘，滿分100分。一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，滿分40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，若，則的值為（）A.B.C.D.2．已知函數(shù)，則的值為（）A.B.C.D.3．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體為（）A.球B.圓錐C.圓柱D.圓臺4．函數(shù)，的最小值是（）A.B.C.D.5．已知向量，，若∥，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.6．某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)分別為600，400，800。為了了解教師的教學(xué)情況，該校采用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級中抽取45名學(xué)生進(jìn)行座談，則高一、高二、高三年級抽取的人數(shù)分別為（）A.，，B.，，C.，，D.，，7．某袋中有9個(gè)大小相同的球，其中有5個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任意取出1個(gè)，則取出的球恰好是白球的概率為（）A.B.C.D.8．已知點(diǎn)在如圖所示的平面區(qū)域（陰影部分）內(nèi)運(yùn)動，則的最大值是（）A.B.C.D.9．已知兩點(diǎn),則以線段為直徑的圓的方程是（）A.B.C.D.10．如圖，在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長度，工程技術(shù)人員已測得隧道兩端的兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離，且，則兩點(diǎn)間的距離為（）A.B.C.D.開始輸入開始輸入輸出結(jié)束是否（第14題圖）11．計(jì)算：______________.12．若成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)______________.13．經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是______________.14．某程序框圖如圖所示，若輸入的值為，則輸出的值為______________.15．已知向量與的夾角為，，且，則______________.三、解答題：本小題共5小題，滿分40分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程。16．（本小題滿分6分）已知，。（1）求的值；（2）求的值。17．（本小題滿分8分）某公司為了了解本公司職員的早餐費(fèi)用情況，抽樣調(diào)查了100位職員的早餐日平均費(fèi)用（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖，圖中標(biāo)注的數(shù)字模糊不清。（1）試根據(jù)頻率分布直方圖求的值，并估計(jì)該公司職員早餐日平均費(fèi)用的眾數(shù)；（2）已知該公司有1000名職員，試估計(jì)該公司有多少職員早餐日平均費(fèi)用不少于8元？18．（本小題滿分8分）如圖，在三棱錐中，⊥平面，⊥，，，直線與平面所成的角為，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)。（1）求證：∥平面；（2）求三棱錐的體積。19．（本小題滿分8分）已知數(shù)列滿足：，（，）。（1）求，及通項(xiàng)；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列，，，…中哪一項(xiàng)最??？并求出這個(gè)最小值。20．（本小題滿分10分）已知函數(shù)（）。（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（3）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。一、選擇題BCABD ADBDC 二、填空題11．eq\f(1,4) 12．－9 13．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 14．92三、解答題15．解：（Ⅰ）f(x)＝(sinx－cosx)2＋m＝m＋1－sin2x，

所以f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2,2)＝． ………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)sin2x＝－1時(shí)，f(x)取最大值，

故有m＋2＝3，得m＝1． ………………8分16．解：（Ⅰ）由3Sn＝an＋4，得3Sn－1＝an－1＋4，兩式相減，得

3(Sn－Sn－1)＝(an＋4)－(an－1＋4)＝an－an－1，整理，得eq\f(an,an－1)＝－eq\f(1,2)（n≥2）．

又3a1＝a1＋4，得a1＝2，所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，以－eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，

故有an＝2×(－eq\f(1,2))n－1． ………………4分

（Ⅱ）由已知，得b2＝－eq\f(1,a5)＝－8，又等差數(shù)列{bn}的公差d＝3，

故bn＝b2＋(n－2)d＝3n－14，因此當(dāng)n≤4時(shí)，bn＜0，當(dāng)n≥5時(shí)，bn＞0，

所以n＝4時(shí)，{bn}的前n項(xiàng)和Tn最小，

最小值為T4＝eq\f(4(b1＋b4),2)＝－26． ………………8分17．解：由莖葉圖知：6天有4天空氣質(zhì)量未超標(biāo)，有2天空氣質(zhì)量超標(biāo)．

記未超標(biāo)的4天為a，b，c，d，超標(biāo)的兩天為e，f．則從6天中抽取2天的所有情況為：

ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，基本事件數(shù)為15． …2分

（Ⅰ）記“6天中抽取2天，恰有1天空氣質(zhì)量超標(biāo)”為事件A，

可能結(jié)果為：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，基本事件數(shù)為8．∴P(A)＝eq\f(8,15)． …5分

（Ⅱ）記“至多有一天空氣質(zhì)量超標(biāo)”為事件B，“2天都超標(biāo)”為事件C，其可能結(jié)果為ef，

故P(C)＝eq\f(1,15)，∴P(B)＝1－P(C)＝eq\f(14,15)． …8分18．解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由eq\f(eq\r((x－1)2＋y2),eq\r((x－4)2＋y2))＝eq\f(1,2)，

化簡，得軌跡C的方程是：x2＋y2＝4． …4分

（Ⅱ）因?yàn)橹本€l：y＝kx＋3與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，

所以eq\f(|3|,eq\r(1＋k2))＜2，解得k＞eq\f(\r(5),2)或k＜－eq\f(\r(5),2)．

假設(shè)存在點(diǎn)M