中國城市空間分布的分形特征區(qū)域城市人口分布的分形測度

中國城市空間分布的分形特征區(qū)域城市人口分布的分形測度

1城鄉(xiāng)聚落的空間分布是多分形國內(nèi)外科學(xué)家對人口分布是否具有分裂特征有不同的看法。高安秀樹認為城市人口分布遵循指數(shù)衰減法則,否認人口分布的自相似性質(zhì)(self-similarity)。王放(1991)、劉式達(1993)等則提出人口分布的多分形(multifractals)設(shè)想,但未能取得數(shù)據(jù)予以證實。高安秀樹否定人口分布分形性質(zhì)的理論依據(jù)是城市社會學(xué)中的人口密度法則——?Clark公式,按照這種法則,距離城市中心r處的人口密度ρ?(r)與e-r/ro成比例,這里存在一個特征距離ro,在r≥ro的區(qū)域內(nèi),ρ?(r)急劇衰減。由此他推斷,大城市周圍的衛(wèi)星城向大城市集中的趨勢非常明顯,故亦為指數(shù)分布而不具備自相似性態(tài),從而區(qū)域人口分布也不是分形。但陳濤(陳彥光,1995)研究發(fā)現(xiàn),城市(鎮(zhèn))體系分布是分形的,這就否定了高安秀樹的推論前提。單緯東、陳彥光(1997)進一步考察發(fā)現(xiàn),鄉(xiāng)村聚落的空間分布與城市(鎮(zhèn))體系同構(gòu),這意味著城鄉(xiāng)聚落體系在整體上具有自相似特征。由于人口分布于聚落之中,聚落體系的分形特征決定了人口分布的分形性質(zhì),按照高安秀樹的推理模式可以判定,區(qū)域人口空間分布也是分形?，F(xiàn)在,如果能證明區(qū)域城市(鎮(zhèn))的空間分布具有多分形性質(zhì),也就證明了城鄉(xiāng)聚落體系是多分形;證明了城鄉(xiāng)聚落體系的多分形構(gòu)造,也就揭示了人口分布的多分形特征。為此,本文試以河南省北部為研究區(qū),考察其城市(鎮(zhèn))群的空間分布特征,藉此研究區(qū)域人口分布的分形測度(fractalmeasure)。2理論基礎(chǔ)2.1多標度分形的局部特征設(shè)定一個區(qū)域R,考察其地理現(xiàn)象的空間分布,如果這種分布不是完全隨機的,即受到某種隱含法則的支配,則可能形成分形體(fractalbody)。如果這類分形體是均勻的,那么給定一個尺度r,相應(yīng)的測度f?(r)具有性質(zhì)f?(λr)=λαf?(r)。式中λ為標度因子,α為標度指數(shù),它與分形維數(shù)(fractaldimension,簡稱“分維”)的關(guān)系一般是α=d-D,這里d為分形體所在空間的歐氏維數(shù),顯然f?(r)與r具有關(guān)系f?(r?)∝rα?(1)當(dāng)分形體不規(guī)則時,則可證明下式成立,即Ν∑i=1riD=1?(2)式中:N為分形體分解為下級單元的數(shù)目,ri為相應(yīng)的尺度。許多人文地理現(xiàn)象如城市(鎮(zhèn))、人口等地理背景復(fù)雜,其空間分布的幾何支體(support)如地形、水系等均具有分形結(jié)構(gòu),因此可能形成奇異的多標度分形,分形點的分布概率Pi處處于不同。假定q階矩的標度指數(shù)是一個參變量τ?(q?),則類似于式(1),有n∑iΡiq～rτ?(q?)?(3)式中:q為參數(shù),類比于式(2)的歸一化性質(zhì)可得Ν∑iΡiqri-τ?(q?)=1?(4)從而-τ?(q?)=lnΝ∑iΡiqln?(1/r)?(5)可以引用廣義維Dq刻畫多分形的空間性狀,于是有Dq=Ιqln?(1/r)=11-q?lnn∑iΡiqln?(1/r)?(6)式中:Ιq=11-qlnΝ∑iΡiq為Renyi信息熵函數(shù)。在上式中,q∈(-∞,∞)?？梢宰C明,當(dāng)q=0時,Dq=Do為容量維,即Hausdorff維數(shù);當(dāng)q=1時,Dq=D1為信息維;當(dāng)q=2時,Dq=D2為關(guān)聯(lián)維。比較式(5)與式(6)易得τ?(q?)=(q-1)Dq?(7)廣義維Dq和q階矩的標度指數(shù)τ?(q?)是刻畫多分形的一套參量,但它們都是從整體上來表征多分形的,故需引用另一套參量——非均勻標度指數(shù)α?(q?)及其分維分布函數(shù)f?(α?)來描述多分形的局部特征?？疾於鄻硕鹊乩矸中误w不同層次的分布概率Pi,賦予一個標度指數(shù)α?(q?),并用相應(yīng)的另一個量f?(α?)來記載這一層次在總的分布中所占的份量。設(shè)在[α′,α′+dα′]區(qū)間的取值次數(shù)為dα′ρ?(α′)r-f?(α′),這里f?(α′)為一連續(xù)函數(shù),ρ?(α′)為區(qū)域的分形點“密度”函數(shù),考慮到Pi∝riα有Piq∝riαq,從而∑iΡiq=∫dα′ρ?(α′)rq?α′-f?(α′?)?(8)比較上式與式(3)得τ?(q?)=α?(q?)q?-?f?[α?(q?)]?(9)根據(jù)極值條件,由式(8)又得df?(α)/dα=q?(10)故有dτ?(q?)/dq=α?(q?)。(11)回想式(7)得到Dq=1q-1[q?α?(q?)-f?[α?(q?)]]?(12)以及α?(q?)=ddq[(q-1)Dq]?(13)這便是聯(lián)系兩套參數(shù)即多分維Dq與f?(α)譜(又稱奇異譜)的Legendre變換。式(12)、(13)是在多重分形研究中非常有用的公式。2.2eq5人口分形模型取一個矩形區(qū)域R,將其分成相等的兩部分,左邊一半人口比例為P,右邊一半相應(yīng)地為(1-P);再將左右兩部分進行對分(尺度變?yōu)樵瓉淼?/4),假定每部分的人口比例為PP,P(1-P),(1-P)P,(1-P)2,依此類推,反復(fù)細分,可得帶有多標度奇異性的人口分形模型。由式(5)得人口分布q階矩的標度指數(shù)τ?(q?)=ln[Ρ?q+(1-Ρ)q]ln(1/2)?(14)求導(dǎo)得人口分布的奇異性指數(shù)α?(q?)=1ln(1/2)×Ρ?qlnΡ+(1-Ρ)qln(1-Ρ)Ρ?q+(1-Ρ)q?(15)將式(14)、(15)代入式(9)得人口分布的奇異性維數(shù)f?(q?)=1ln2[ln(Ρ?q+(1-Ρ)q)-Ρ?qlnΡ?q+(1-Ρ)qln(1-Ρ)qΡ?q+(1-Ρ)q]?(16)再將式(14)代入式(7)得人口分布的多分維Dq=ln[Ρ?q+(1-Ρ)q](1-q)ln2?(17)可以看出,當(dāng)q=0時,D?o=-τ(0)=1;當(dāng)q=1時,D1=α(1),而且αmax=D(-∞),αmin=D(+∞),fmax=D0(見圖1)。這里αmin指示人口分布測度最集中的區(qū)域,αmax表征人口分布測度最分散的區(qū)域。3示范分析3.1研究區(qū)的界定以河南省的幾何中心許昌市所在的緯線為界,取其北部地區(qū)(簡稱豫北地區(qū))為研究區(qū),考察鄭州(鄭)、開封(汴)、洛陽(洛)軸線一帶的城市(鎮(zhèn))分布。為研究方便,將研究范圍限定在一個矩形區(qū)域內(nèi),其大致范圍是33.91°N～36.11°N,111.07°E～115.69°E。區(qū)域內(nèi)含城市(鎮(zhèn))總數(shù)目N=92(1992年),包括山西、山東及河北等省的若干城鎮(zhèn)(我們的目的是要證實城市(鎮(zhèn))分布的多分形猜想,區(qū)域的形狀及界線并不重要)。確定了研究區(qū)的范圍,便可利用地圖進行多分維測算。將矩形區(qū)各邊分成k等份,則研究區(qū)被分成k2個網(wǎng)格即子區(qū)域,每個網(wǎng)格的尺寸為r=1/k。統(tǒng)計落入每個網(wǎng)格中的城市(鎮(zhèn))數(shù)目Ni?j,令Ρi?j=Νi?j?/Ν??(i,j=1?2??k)?(18)則Pi?j可近似地被看成是城鎮(zhèn)落入某個網(wǎng)格中的概率,引用μ—權(quán)重法,即采用公式μi=Ρiq/∑iΡiq?(19)則有α?(q?)=limr→01lnr∑iμilnpi?(20)及f?[α?(q?)]=limr→01lnr∑iμilnμi?(21)借助雙對數(shù)坐標圖,尋找無標度區(qū)(non-scalingrange)(圖2),在直線段部分運用最小二乘法,便可算出奇異性指數(shù)α?(q?)及相應(yīng)的分維f?(α?)隨參數(shù)而改變的各種數(shù)值,然后由Legendre變換式(9)及式(12)便可求出q階矩的標度指數(shù)τ?(q?)及多分維Dq(附表)。3.2多分形結(jié)構(gòu)的存計算結(jié)果顯示:(1)存在無標度區(qū),這表明豫北地區(qū)城市(鎮(zhèn))的空間分布具有分形性質(zhì)。(2)Dq≠f?[α?(q?)]=Do,即多分維不等于常數(shù),而是一個隨參數(shù)q而改變的函數(shù),亦即一個分維的集合體,這意味著豫北地區(qū)城市(鎮(zhèn))的空間分布不是單標度分形,而是多重分形體?？紤]到本文研究區(qū)選取的任意性,可以肯定,在一定時空條件下城市(鎮(zhèn))體系的確會形成多分維結(jié)構(gòu)。根據(jù)前面的分析可知,區(qū)域人口分布也應(yīng)該是多分形。需要說明兩個問題:第一,豫北地區(qū)城市(鎮(zhèn))分布的ln-ln坐標圖無標度區(qū)比較狹窄,這表明該區(qū)域城市(鎮(zhèn))體系的分形結(jié)構(gòu)發(fā)育不強;第二,豫北地區(qū)城市(鎮(zhèn))分布的多分維譜發(fā)生了標度間斷,即當(dāng)q<0時,f?(α)等主要參量不再收斂,這里可能有一個臨界值qc,在qc=-1附近標度斷裂(圖3),只有在q∈[0,∞)范圍內(nèi)分維譜線方才正常,這暗示:在人口分布測度集中的區(qū)域,多分形性態(tài)良好,而在人口分布測度稀疏的區(qū)域,不具有自相似特征。因此,豫北地區(qū)城市(鎮(zhèn))體系的多分形只存在于q>-1的階數(shù)。文章在測算過程中沒有涉及到各城市(鎮(zhèn))的規(guī)模,只是將人口分成一個個的聚落單元進行考慮。如果能計入城市(鎮(zhèn))規(guī)模,則計算