多分形波動率的測度方法

多分形波動率的測度方法

多段是一種復雜的科學方法，可以研究系統(tǒng)的局部特征以及最終整體特征。該方法將復雜對象分成許多奇異度不同的區(qū)域來研究,從而為更加真實、全面地掌握對象特征提供幫助。最初的多分形是為了研究自然界中的非均勻和各向異性現(xiàn)象提出的,Mandelbrot先后2次指出其在刻畫金融市場復雜波動特征領域的廣闊應用前景。在Mandelbrot開創(chuàng)性思想的指引下,Sun等運用多分形方法實證研究了股票市場、外匯市場以及金融衍生品市場的復雜波動現(xiàn)象,結果表明,多分形特征廣泛存在于上述各種金融市場波動中。魏宇等在對中國滬深股市的類似研究中,同樣證實了多分形波動現(xiàn)象的存在。上述諸多研究都還停留在對金融價格波動多分形特征的實證檢驗層面,而如何進一步挖掘多分形分析過程中產(chǎn)生的對定量描述價格波動有益的統(tǒng)計信息,進而為波動相關領域的研究提供依據(jù),無疑是一個更為深入和更具價值的研究方向。因此,近年來開始有學者運用多分形語言來改進或重構主流的金融波動研究方法。Calvet等建立了一個資產(chǎn)價格波動的多分形模型,并對金融研究中的多分形技術進行了全面的探討;Wei等將多分形分析運用到金融市場的波動率測度和預測領域,提出了一種基于多分形分析的波動率測度MFV(MultifractalVolatility),并運用具有長記憶特征的自回歸分整移動平均模型(Auto-RegressionFractionalIntegratedMovingAverageModel,ARFIMA)為其對數(shù)序列(lnMFV)建模,從而構建了lnMFV-ARFIMA波動模型,并在某些損失函數(shù)下取得了較好的波動率預測效果。在此基礎上,王鵬等進一步提出了改進的MFV測度,并證明了這一改進測度較原有測度對市場真實波動率的估計更為準確。魏宇以上證綜指的歷史數(shù)據(jù)為實證樣本,探討了lnMFV-ARFIMA波動模型在短期(未來1天)市場風險價值(VaR)計算中的應用,研究結果表明,在上證綜指的高風險水平上,lnMFV-ARFIMA模型較GARCH類模型具有更高的短期VaR風險測度精度。然而,需要指出的是,現(xiàn)有研究在多分形波動率測度建模、目標風險測度選擇等方面仍然存在一些明顯的不足和值得進一步深入研究的方向:(1)目前對MFV測度動力學特征的刻畫主要由ARFIMA模型完成,該模型著重刻畫波動過程的長記憶性。然而,許多現(xiàn)有波動模型,特別是在金融波動研究中占據(jù)主流地位的普通GARCH類模型(如GARCH、EGARCH、GJR等),本質上都可以看作是具有短記憶特征的自回歸移動平均模型(Auto-RegressionMovingAverageModel,ARMA)。與長記憶模型相比,短記憶模型具有完全不同的信息關注重點和預測能力。因此,就短期的波動預測和風險估計而言,lnMFV-ARFIMA模型與普通GARCH類模型并不具有較強的可比性,相關研究結論的實用性和有效性值得懷疑。(2)現(xiàn)有研究證明了多分形波動率測度在估計VaR時的有效性,但VaR測度本身具有諸多理論缺陷。如VaR只是說明了在一定的持有期和置信水平下,資產(chǎn)所面臨的最大損失界限,而忽略了風險測度最應關心的收益分布的極端尾部狀況。Bouchaud等都曾指出,這一重要理論缺陷使得VaR測度常常低估實際風險,而在低估的風險值下進行運作,可能會使金融機構面臨更大的潛在破產(chǎn)風險。同時,VaR本身也不滿足次可加性,這將使得基于VaR的多樣化資產(chǎn)組合風險分散策略失效。因此,文獻[17-18,20-22]中都認為,更具價值的風險度量精度比較分析應當在另一種更具理論優(yōu)勢的風險測度—ES(ExceptedShortfall)測度下展開。(3)目前針對多分形波動率測度的相關實證研究主要集中在中國股市這樣的新興資本市場上,而由于市場交易機制、投資者構成以及監(jiān)管制度等都存在巨大差異,相關研究結論在成熟資本市場上是否仍然成立,以及在MFV測度視角下兩類市場的波動特征差異如何,是一個非常值得深入探討的問題。基于以上認識,為了更為全面、深入地探索MFV這一新興波動率測度方法的建模方式及在風險管理領域中的應用效果,本文與已有研究的不同之處主要體現(xiàn)在以下3個方面:(1)如前所述,考慮到現(xiàn)有研究中最常用的普通GARCH類模型本質上都可以看作是ARMA模型,因此,運用模型形式更為簡潔以及具有更高估計效率的ARMA模型為MFV測度建模,以克服現(xiàn)有多分形波動率模型與普通GARCH類模型可比較性不足的缺陷;(2)在ES測度下考察MFV測度及其動力學模型的風險測度精度表現(xiàn)。ES測度定義為超過VaR的期望損失值,由于它不僅滿足一致性風險測度公理,而且更加全面、真實地反映了資產(chǎn)損失尾部的風險狀況,因此,基于ES測度的研究結論比現(xiàn)有基于VaR測度的相關結論更能準確揭示MFV測度及其動力學模型的市場風險測度能力,同時也具有更強的實用性;(3)本文以中國股票市場中的上證綜指和成熟資本市場的代表性指數(shù)—標準普爾500指數(shù)為對比樣本,通過詳細說明MFV測度的計算過程、ES風險度量的估計及后驗分析方法,實證檢驗MFV測度及其動力學模型在兩類不同市場中的風險測度精度差異。1ssec指數(shù)本文采用的數(shù)據(jù)為上證綜指(SSEC)和標準普爾500指數(shù)(SP)的每5min高頻股價數(shù)據(jù)。其中,SSEC的數(shù)據(jù)區(qū)間為1999-01-19~2006-10-10,共1849個交易日;SP的數(shù)據(jù)區(qū)間為2001-03-01~2006-10-10,共1411個交易日。其中,SSEC數(shù)據(jù)來自CCER中國證券市場高頻數(shù)據(jù)庫,SP數(shù)據(jù)來自DiskTrading數(shù)據(jù)庫。采用這樣的抽樣區(qū)間的原因在于:1999年5月19日的中國股市5.19行情井噴,2001年6月的SSEC指數(shù)達到階段性高點2245.42點;但隨著國有股減持辦法出臺,股市開始單邊大幅下挫,2005年6月的SSEC跌至998.23的新低;隨后又開始一波強勁的單邊上漲行情。同時,美國股市在2001年上半年之前呈震蕩上行之勢;而9.11事件及后來的經(jīng)濟衰退導致SP指數(shù)在2001年下半年至2003年第一季度間下跌了30%左右;2003年第二季度至2006年10月,隨著美國經(jīng)濟逐漸回暖,SP500指數(shù)又保持了穩(wěn)步攀升態(tài)勢。因此,兩種指數(shù)都經(jīng)歷了一個較為完整的上升-下跌-上升周期,對兩國股市一個完整的波動周期具有較好的代表性。另外,上海證券交易所每個交易日9:30開盤,到11:30中午休市,然后13:00開盤,到15:00收盤,每天共有4h(共240min)的連續(xù)競價交易時間。因此,采用每5min記錄一個數(shù)據(jù)的方法,每天可以產(chǎn)生48個高頻股價記錄(不包括開盤價),樣本期間內高頻數(shù)據(jù)總量為88752個。對于SP指數(shù),每天這樣的高頻股價記錄數(shù)量為80個1),樣本期間內高頻數(shù)據(jù)總量為112880個。若將兩指數(shù)的高頻價格序列記為It(d)(對于SSEC指數(shù),t=1,2,…,T=1849,d=1,2,…,D=48;對于SP指數(shù),t=1,2,…,T=1411,d=1,2,…,D=80),則It(D)就代表了第t天中的最后一個5min高頻數(shù)據(jù),即第t天的收盤價,進而百分比形式的每日連續(xù)復合收益率可以表示為2多段波動率的測量和動力學模型2.1為“高頻市場”的ssec和多分形譜的高頻價格表7奇異指數(shù)α和多分形譜f(α)是描述多分形對象復雜特征的一套基本語言。一般來講,常用“數(shù)盒子”的方法來計算金融價格時間序列的α和f(α),具體計算過程如下:(1)假設整個交易日的時間長度為標準化的1。對于上證綜指,無重復均勻覆蓋每天48個高頻股價記錄的“盒子長度”分別可以取為:1,1/2,1/3,1/4,1/6,1/8,1/12,1/16,1/24,1/48;而對于SP指數(shù),這樣的“盒子長度”可以取為:1,1/2,1/4,1/5,1/8,1/10,1/16,1/20,1/40,1/80。(2)當盒子長度為δ時,假設覆蓋一天中所有的高頻股價記錄需要m個盒子,每個盒子內有n個記錄,同時記一天當中的高頻股價記錄為I(d),記第i個盒子中的第j個指數(shù)為I(ij),則定義在第i個盒子上的指數(shù)概率測度為由文獻[7,13],有如下冪律關系存在:式中,Nα(δ)表示具有相同奇異指數(shù)α的長度為δ的盒子個數(shù),而多分形譜f()α為α子集的分形維數(shù)。(3)f(α)和α可以通過同樣滿足冪律關系的“配分函數(shù)”Sk(δ)來計算,其中,可以看到,當k取正數(shù)時,k越大,則Sk(δ)主要反映那些具有大的概率測度的盒子的信息;反之,當k取負數(shù)時,k越小,則Sk(δ)主要反映那些具有小的概率測度的盒子的信息。在實際計算時,k的取值范圍以α和f(α)達到飽和值為準(經(jīng)試算,令k=-100,-99,…,0,…,99,100),而τ(k)的值可以通過求取在雙對數(shù)坐標軸ln(Sk(δ))~ln(δ)上的直線斜率得出,并通過Legendre變換可以得:任取SSEC和SP各2天的高頻價格數(shù)據(jù),按照上述步驟,分別計算出各自的奇異指數(shù)α和多分形譜f(α),并將其與一天內的高頻價格走勢如圖1和圖2所示。觀察圖1和圖2可以發(fā)現(xiàn),SSEC和SP各自2天內的f(α)~α分布都呈現(xiàn)顯著弓形,并且發(fā)現(xiàn),其余各天內兩指數(shù)f(α)~α的分布形狀均與此類似。這一結果是SSEC和SP的日內價格波動具有明顯多分形特征的有力佐證,因此,可以運用多分形語言來描述股指的日內波動模式。2.2價格波動率測定的角度在圖1和圖2所示的指數(shù)價格波動形式與f(α)~α分布中,不同的價格波動幅度對應著奇異指數(shù)α分布的不同離散程度。具體來講,2002-06-03,SSEC指數(shù)的日內價格走勢比較平穩(wěn),對應的α分布就較為集中;而在2002-06-04,SSEC的日內價格波動幅度相對較大,這天的奇異指數(shù)α的分布也就較為離散。SP指數(shù)在2002-07-23和07-24的情況與此一致。由此來看,多分形語言中確實蘊含了有關價格波動幅度的豐富統(tǒng)計信息,且奇異指數(shù)α分布的離散程度就是一種能夠測度價格波動率大小的定量指標。正是基于以上認識,文獻中提出了基于一天中所有α值的極差Δα(Δα=αmax-αmin)的多分形波動率測度MFV,而王鵬等為了更加充分地利用多分形語言所提供的間接波動統(tǒng)計信息,進一步提出了基于一天中所有α值的標準差Sα的修正多分形波動率測度。按照文獻中的定義,若將第t天的Sα表示為Sα,t,則第t天的多分形波動率測度MFVt可以表示為式中,按照式(8)和式(9),計算了兩種指數(shù)的多分形波動率序列MFVt,并將其與其各自樣本期間內的日收益率序列rt如圖3和圖4所示。由圖3和圖4可見,無論是對于SSEC指數(shù)還是SP指數(shù),多分形波動率測度MFV都可以良好地刻畫其各自的價格波動變化。文獻中建議采用能夠刻畫波動長記憶特性的ARFIMA模型為lnMFV序列建模,該模型對時間序列的長記憶性具有較好的擬合能力。但如前所述,考慮到增強與常用普通GARCH類模型的可比較性等問題,這里采用形式更為簡潔以及更具估計效率的ARMA模型刻畫lnMFV序列的動力學特征。需要指出的是,由于具有不同滯后階數(shù)的ARMA(p,q)模型對lnMFVt的估計結果非常接近,同時結合估計的AIC信息準則(Akaike’sInformationCriterion)值和SIC信息準則(Schwarz’sInformationCriterion)值的大小比較,將ARMA的階數(shù)確定為p=1和q=1,即lnMFV-ARMA(1,1)模型表示為式中:L為滯后算子;c為常數(shù)項;同時假定殘差εt~NID(0,σε2)。3其他類型的garch類模型GARCH類模型是目前金融計量研究中運用最為廣泛的波動模型,該類模型假定金融資產(chǎn)收益率滿足的離散形式為式中:μt為收益波動的條件均值;σt2為條件方差,新生量zt通常被假定為zt~NID(0,1)2)。同時,由于日收益率的條件均值一般很小,因此,在實證研究中假定其為0。普通GARCH模型假定日收益率波動的條件方差σt2是可以直接觀測到的。由于有研究表明,GARCH(1,1)模型是權衡計算精度與模型復雜程度的一種比較合適的折中,故本文假定條件方差服從的GARCH(1,1)過程為為了將金融價格波動的其它很多典型事實納入GARCH模型的理論框架(如波動的非對稱杠桿效應等),一些學者又相繼發(fā)展出了許多其他類型的GARCH類模型。下面是本文所要考察的其他幾種常用GARCH類模型。EGARCH(1,1)模型為式中,γ稱為“非對稱杠桿系數(shù)”。GJR(1,1)模型為式中,I(·)是一個指示函數(shù),即當()中的條件成立時,其取值為1,否則取值為0。以上3種模型都可歸為線性GARCH類特征。為了增強本文研究結論的代表性,繼續(xù)考慮一種常用的非線性GARCH類模型,即APARCH(1,1)為而另一種IGARCH(1,1)模型的定義與式(13)所示的GARCH(1,1)模型類似,唯一不同的是,IGARCH模型要求滿足β1+β2=1。另外,目前在金融風險管理實務界常用的RiskMetrics模型對條件方差的定義就是σt2=0.06ε2t-1+0.94σ2t-1,因此,Riskmetrics可以視為IGARCH模型的一個特例。4es風險測度利用前文中的各種波動模型估計出SSEC和SP的條件波動率,然后,利用條件波動率估計值計算ES風險測度。其次,為了判斷l(xiāng)nMFV-ARMA模型是否有助于對金融市場的波動狀況和風險大小進行更為精確的描述,將展開對各種波動模型ES估計精度的后驗分析。4.1mfv-arma、引領性模型的es測度精度對比為了彌補VaR作為一種風險測度所存在的尾部風險考慮不足及不滿足次可加性等缺陷,Artzner等提出了一種更具理論優(yōu)勢的風險測度ES。ES測度定義為超過VaR的期望損失值,因此又被稱為尾部條件期望。與VaR相比,ES測度不僅對尾部風險給予充分重視,而且滿足次可加性,更接近于投資者的真實心理感受。在收益率服從正態(tài)分布且日收益率的條件均值μt為0的假定下,t時刻的VaR可以表示為式中:σt可以通過前文中的各種波動模型估計得到;Φq-1為標準正態(tài)分布的q損失分位數(shù)。為了提升研究結論的可靠性,將在5種不同分位數(shù)水平下(10%,5%,2.5%,1%,0.5%),考察MFV及其動力學模型的ES風險測度精度。t時刻q分位數(shù)水平下的ES測度用數(shù)學語言表示為由該定義出發(fā),ES測度的估計步驟如下:(1)將區(qū)間(0,q)進行M等分,從而得到M個長度為q/M的小區(qū)間和包括q在內的M個分位數(shù)(q/M,2q/M,…,q);(2)利用式(16),求出M個分位數(shù)水平下的VaR序列(VaRtq/M,VaRt2q/M…,VaRtq);(3)求取上述M個不同分位數(shù)水平下,VaR值的算術平均值,即可得到q分位數(shù)下的ES風險測度值,即表示為按照上述步驟,計算了SSEC和SP兩種指數(shù)的ES測度值。為了圖形清晰起見,圖5和圖6選擇了5%分位數(shù)水平下,lnMFV-ARMA、GARCH、EGARCH、GJR4種模型在樣本期間內其中一段(t=150~300)的ES估計結果進行匯報。同時,為了更為直觀地觀察基于不同波動模型ES測度值與實際損失間的接近程度,兩圖中用錘頭形標識收益率rt的負值3)。由圖5和圖6可以看出,3種GARCH類模型在這一段樣本期間內的很多時候似乎有高估ES測度值的傾向。當然,要得到更為精確的結論,必須進行更為嚴謹?shù)暮篁灧治觥?.2不同分級數(shù)小異因子分析的es估計精度在對ES測度的后驗分析中,考慮的超出殘差為式中,xt指的是損失超出VaR值的日收益率rt,即xt:rt<-VaRqt{,t∈T}。由于ES的后驗分析過程基于超出殘差yt,故首先按照上述步驟,繼續(xù)計算了SSEC指數(shù)和SP指數(shù)在5種不同分位數(shù)水平下的超出殘差序列yt。圖7和圖8是以5%分位數(shù)水平為例,分別報告了兩種指數(shù)基于7種不同波動模型的yt序列。由圖7和圖8可以看出,超出殘差序列yt在經(jīng)驗上并不具有系統(tǒng)的變化模式,同時,正值出現(xiàn)的頻率和絕對值大小遠大于負值的情況,即yt具有右偏經(jīng)驗分布。文獻中指出,在正確指定股票價格所服從的波動模型的前提下,所得到的超出殘差序列yt應該具有與獨立同分布樣本類似的動力學行為(這一點已由圖7和圖8的直觀表象得到一定程度的證實),并且更重要的是,由于ES度量了損失超過VaR時收益率的條件期望值,因此,如果估計ES時所使用的波動模型足夠準確的話,超出殘差yt還應具有零均值,即μy=0。然而,普通的假設檢驗方法并不適用于這里對μy=0的檢驗,原因在于:(1)如圖7和圖8所顯示,當實際損失超出VaR時,收益率的條件期望值經(jīng)常被ES低估,導致yt經(jīng)常呈現(xiàn)明顯的右偏分布;(2)由于yt序列所包含的樣本點個數(shù)嚴重依賴于預先指定的分位數(shù)q,所以在較高分位數(shù)水平上,yt中的樣本點總數(shù)經(jīng)常無法滿足一般假設檢驗的需要。為了解決這一問題,McNeil等建議采用Bootstrap方法實現(xiàn)對μy=0的假設檢驗。對于某一特定的超出殘差序列,這一方法的具體過程如下:(1)設該超出殘差序列共包含I個樣本點,則首先由下式產(chǎn)生一個由超出殘差序列中每一個樣本值yt與其均值珔y的離差所構成的新序列l(wèi)t(t=1,2,…,I),并將其稱為初始樣本為(2)由初始樣本計算下述檢驗統(tǒng)計量值為式中:珋l為初始樣本的平均值;std(l)為其標準差。(3)為了獲得檢驗統(tǒng)計量t(l)的分布狀況及其p值,需要產(chǎn)生I個范圍在{1,2,…,I}之內的服從均勻分布的隨機數(shù),并按照每個隨機數(shù)所指定的位置,在lt中找出對應的樣本點,構成一個新的樣本,即該樣本是從初始lt樣本中隨機抽樣獲得的。(4)不斷重復這樣的過程B次,則可以產(chǎn)生B個來自初始樣本的新Bootstrap樣本。在本文的實證研究中,令B=1000。(5)對于所產(chǎn)生的每個Bootstrap樣本,均運用式(21)求取其檢驗統(tǒng)計量t(l),并分別記為{t1(l),t2(l),…,tB(l)},同時將由初始樣本計算的t(l)記為t0(l)。至此,獲得了檢驗統(tǒng)計量t(l)的經(jīng)驗分布。(6)由于yt經(jīng)常呈現(xiàn)明顯的右偏分布,所以檢驗的備擇假設應為μy>0,即該檢驗為拒絕域位于右尾的單尾檢驗。因此,計算出{t1(l),t2(l),…,tB(l)}中大于t0(l)的數(shù)值所占的比例,這一比例即是用于檢驗μy=0的顯著性p值。p值越大,越不能拒絕原假設μy=0,即認為該波動模型對ES的估計精度越高。表2是在5種不同分位數(shù)水平下,對7種波動模型ES估計精度的后驗分析結果。由表2可以看出:(1)在所考察的7種不同波動模型中,本文提出的lnMFV-ARMA模型對兩種指數(shù)ES測度的估計具有最高精度。這表現(xiàn)在:10組不同的檢驗中,lnMFV-ARMA模型取得最大檢驗p值的次數(shù)為6次(SSEC指數(shù)下的10%、2.5%水平和SP指數(shù)下的10%、5%、1%、0.5%水平),遠超其他各種波動模型所取得的最大p值次數(shù)。特別的,lnMFV-ARMA模型在SP指數(shù)高分位數(shù)水平上(1%和0.5%)取得的最大p值說明,該模型對SP指數(shù)的極端價格波動風險具備最優(yōu)的刻畫能力。(2)7種波動模型對SSEC指數(shù)ES測度的估計精度均落后于其各自在SP指數(shù)中的表現(xiàn)。這表現(xiàn)為在表2中,SSEC指數(shù)各分位數(shù)水平下的檢驗p值均小于SP指數(shù)下的對應值。本文認為,這應該是由于ES的理論定義及后驗分析過程對具有不同波動模式市場風險的考察重點不同造成的。如與成熟市場的SP指數(shù)相比,具有典型新興市場特征的SSEC指數(shù)的突然大幅波動更為頻繁(見圖3和圖4),而基于超出殘差的ES后驗分析過程對于這種突然大幅波動的捕捉有一定難度,這在超出殘差圖中也有一定反映,即圖7中,SSEC指數(shù)超出殘差的絕對值大于圖8中SP指數(shù)超出殘差的絕對值。當然,本文的這一初步認識還需進行更深入的探討和更嚴格的求證。(3)盡管一般認為非對稱波動模型(EGARCH、GJR)對金融價格波動方式的描述優(yōu)于普通GARCH模型,但在實際的波動率預測及風險度量中,GARCH模型也是一個足夠精確的選擇。這表現(xiàn)為,表2中EGARCH和GJR兩種非對稱波動模型未表現(xiàn)出較普通GARCH模型更為優(yōu)異