巖石爆破振動(dòng)信號(hào)的奇異譜分析

巖石爆破振動(dòng)信號(hào)的奇異譜分析

近年來，該分行在巖石爆炸聲的研究中發(fā)揮了重要作用。楊軍等討論了分形幾何在巖石力學(xué)中的應(yīng)用狀況,并將分形維數(shù)引入爆破塊度研究中,為塊度預(yù)報(bào)提供了依據(jù);并利用分形理論提出了一種新的巖石爆破損傷模型。劉慧等從理論和實(shí)測(cè)兩方面論證了巖體中的爆破振動(dòng)信號(hào)具有分形特征,并說明了巖體性質(zhì)、炸藥特性及裝藥結(jié)構(gòu)等參量對(duì)分形維數(shù)的影響。單曉云等探討了巖石破碎過程中的分形特征。多分形是定義在分形結(jié)構(gòu)上的由多個(gè)標(biāo)度指數(shù)的分形測(cè)度組成的集合,能夠更細(xì)致地描述目標(biāo)的物理特征?；诜中螣崃W(xué)公式的多分形計(jì)算方法存在著難以計(jì)算和誤差較大的問題。而基于小波分析的多分形計(jì)算方法卻引起人們的注意。J.Muzy和E.Bacry提出了基于小波模極大的多分形譜計(jì)算方法。彭志科利用此方法給出了在旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)方面的應(yīng)用,并成功地進(jìn)行了機(jī)械設(shè)備故障診斷。傅強(qiáng)討論了該方法在Rayleigh-Benard對(duì)流溫度信號(hào)中的應(yīng)用。本文首先說明盒維數(shù)對(duì)巖體爆破振動(dòng)信號(hào)分析中的缺陷,然后利用小波變換模極大方法來計(jì)算多分形譜。1爆破振動(dòng)信號(hào)分析分形維數(shù)是分形研究的重要內(nèi)容之一,盒維數(shù)DB是最常用的一種分形維數(shù)。n維歐氏空間子集F的盒維數(shù)DB定義為其中:Nδ(F)表示最大直徑為δ且能覆蓋F的集合的最小數(shù)。在實(shí)際計(jì)算中通常采用多點(diǎn)直線擬和來計(jì)算DB。圖1給出了某一巖石介質(zhì)的爆破振動(dòng)信號(hào);橫坐標(biāo)為信號(hào)采用長(zhǎng)度,縱坐標(biāo)為加速度;信號(hào)采樣頻率為1024Hz。圖2給出了其盒維數(shù)DB的分布情況,共利用8個(gè)點(diǎn),采用最小二乘來擬和直線。大量事實(shí)表明,爆炸地震效應(yīng)是一個(gè)短時(shí)非平穩(wěn)隨機(jī)力學(xué)現(xiàn)象,其信號(hào)特征應(yīng)該是隨機(jī)的和非線性的,如圖1所示。圖2中的8個(gè)點(diǎn)所擬和的斜率即盒維數(shù)為1.0207,但同時(shí)注意到,擬和的直線并非嚴(yán)格意義上直線,各段之間的斜率也有較大不同,分布為0.8015～1.2953。而規(guī)則的分形如Koch曲線,僅用一個(gè)盒維數(shù)就可進(jìn)行描述。因此僅僅利用一個(gè)分形維數(shù)會(huì)忽略很多重要的信息。而爆炸振動(dòng)信號(hào)也應(yīng)該屬于多分形研究的范疇,其中多分形譜的研究就是其重要的內(nèi)容。2變異特征的整體重新分配尋找多分形信號(hào)的奇異性分布對(duì)于分析信號(hào)的性質(zhì)是至關(guān)重要的。多分形譜給出了不同Lipschitz正則性的奇異特征的整體重新分配。依據(jù)分形的定義可得其中:li表示第i個(gè)部分的線度;Mi表示在該部分產(chǎn)生的某種行為;α為奇異指數(shù),控制著測(cè)度M的奇異性。如果在不同的li存在的奇異指數(shù)α不同,此時(shí)就存在α的一個(gè)序列,該序列確定了一個(gè)稱為多分形譜的f(α)的分布。2.1模極大線族的定義一般地,對(duì)任意的f(t)∈L2(R),其小波變換的定義為其中:a為尺度因子;b為平移因子;*表示復(fù)共軛;ψ(x)為母小波函數(shù)。一般常用的小波為Gaussian小波,其定義為ψN(x)=dNdxN[exp(?x2/2)]?(4)ψΝ(x)=dΝdxΝ[exp(-x2/2)]?(4)其中:N表示對(duì)x求導(dǎo)的次數(shù)。Gaussian小波具有N階消失矩,此性質(zhì)能夠保證模極大曲線延伸到最細(xì)的尺度。對(duì)于小波變換式(3),固定尺度參數(shù)a時(shí),在x的鄰域內(nèi),若|Wf(a,x0)|>|Wf(a,x)|,則稱x0為Wf(a,b)的一個(gè)局部極大值點(diǎn)。這些極大值x0的連線稱為模極大線族,簡(jiǎn)稱模極大。顯然在模極大線族上的點(diǎn)滿足2.2模極大與尺度指數(shù)事實(shí)上,分形熱力學(xué)公式在實(shí)現(xiàn)上有諸多困難,且誤差較大。而用小波變換方法除了能夠得到所有的多分形參數(shù)外,還能夠給出信號(hào)的多層次多尺度空間結(jié)構(gòu)。基于此,E.Bacry等人引入了全局分解函數(shù),并提出了從小波變換的局部極大值即模極大(WTMM)來測(cè)量多分形的多分形譜的方法。設(shè){up(s)}p∈Z是|Wf(a,b)|在給定尺度a下的所有局部極大點(diǎn)。則分解函數(shù)Z度量了所有這些模極大的q方之和式(6)利用尺度指數(shù)τ(q)測(cè)量了Z(q,a)隨尺度a的漸進(jìn)衰減性。文獻(xiàn)證明尺度指數(shù)是多分形譜f(α)的Legendre變換,即其中:Λ=[αmin,αmax]是f(α)的支集。實(shí)際應(yīng)用中可以利用log2Z(q,a)作為log2a的函數(shù)的線性衰減來計(jì)算τ(q),即需要說明的是,為了度量直至αmax的所有奇異指數(shù),必須使用具有足夠高階消失矩的小波,例如Gaussian小波。在數(shù)值計(jì)算上,τ(q)是通過求和Z(q,a)來計(jì)算。故通過式(8)的Legendre的逆變換就可得到多分形譜f(a),即3爆破振動(dòng)信號(hào)的多分形譜圖1給出了一典型的爆破振動(dòng)信號(hào),其小波變換及其模極大分布,如圖3所示。選擇小波為ψ′(x)。圖3(a)(b)分別給出爆破振動(dòng)信號(hào)的小波變換及其三維圖,可看出小波變換清晰反映出信號(hào)的能量分布情況,顯然在高尺度上能量分布的差別較大。時(shí)域信號(hào)中在130點(diǎn)處有一明顯的沖擊成分,在圖3(a)(b)中可清晰地表現(xiàn)。圖3(c)給出了某一尺度下的小波變換情況,波形的變化反映了此尺度時(shí)的能量分布趨勢(shì),顯然極大值出現(xiàn)在每個(gè)突變處。圖3(d)給出了爆破振動(dòng)信號(hào)的模極大線族,由于使用了Gaussian小波,能夠使模極大延伸導(dǎo)至最小細(xì)節(jié)尺度處。在此基礎(chǔ)上,可方便地計(jì)算Z(q,a),然后利用log2Z(q,a)與log2a的函數(shù)的線性衰減來計(jì)算τ(q),最后給出爆破振動(dòng)信號(hào)的多分形譜f(α),如圖4所示。圖4(a)給出了在q取某些值時(shí)Z(q,a)與log2a的關(guān)系,可看出當(dāng)q在[-1,1]之間逐漸變化時(shí),log2a在上和Z(q,a)均保持較好的線性衰減,表現(xiàn)出較高的標(biāo)度不變性,說明此信號(hào)的奇異分布屬于多重分形。圖4(a)經(jīng)線性回歸后即得到圖4(b)中的τ(q)分布,與文獻(xiàn)中給出的魔鬼階梯的τ(q)分布相比,此時(shí)τ(q)分布已經(jīng)不再是標(biāo)準(zhǔn)的直線,而是大致呈直線分布,這說明爆破振動(dòng)中出現(xiàn)(也可能是連續(xù)的)不同的奇異性,顯示出明顯的多分形特性。在上述工作的基礎(chǔ)上,圖4(c)給出了爆破振動(dòng)信號(hào)的多分形譜,曲線是凸的,呈鐘狀分布。可看出α的分布區(qū)間主要集中在[-0.5,1.5]之間,分布范圍較寬,說明信號(hào)的奇異度變化較大。同時(shí)f(α)大部分分布在α<1尺度中,說明在該尺度內(nèi),信號(hào)具有很強(qiáng)的奇異性,這些地方體現(xiàn)了信號(hào)的突變,這與爆破振動(dòng)信號(hào)的特征一致;而在α>1時(shí),f(α)范圍較少,說明此時(shí)信號(hào)的脈動(dòng)要平緩得多。同時(shí)發(fā)現(xiàn),當(dāng)α∈[0.28,0.72]時(shí),f(α)主要集中在0.8～0.9之間,變化緩慢,說明對(duì)于此類爆破振動(dòng)信號(hào)的奇異指數(shù)主要集中在0.28～0.72之間。綜上所述,可知多分形譜準(zhǔn)確地反映了信號(hào)的奇異特征及其分布特點(diǎn)。同時(shí),信號(hào)的分?jǐn)?shù)維數(shù)Df=-τ(0)=1.0513≈1;對(duì)于一個(gè)一維信號(hào),Df=1說明對(duì)于爆破地震信號(hào)雖然是連續(xù)的,但幾乎是處處奇異的。4爆破振動(dòng)信號(hào)的多分形特征(1)爆破振動(dòng)信號(hào)是典型的非平穩(wěn)信號(hào),具有非線性和不規(guī)則性,僅僅利用某種分形維數(shù),來對(duì)爆破振動(dòng)信號(hào)的分形特征進(jìn)行刻畫