拓?fù)淇臻g開(kāi)集閉集閉包聚點(diǎn)鄰域

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第一章拓?fù)淇臻g與拓?fù)洳蛔兞?/p>

數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)函數(shù)的定義與和值域都是歐氏空間（直線、平面或空間）或是其中的一部分。本章將首先把連續(xù)函數(shù)的定義域和值域的主要特征抽象出來(lái)用以定義度量空間，將連續(xù)函數(shù)的主要特征抽象出來(lái)用以定義度量空間的連續(xù)映射。然后將兩者再度抽象，給出拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射。隨后逐步提出拓?fù)淇臻g的一些基本問(wèn)題如鄰域、開(kāi)集、閉集、閉包、聚點(diǎn)、導(dǎo)集、內(nèi)部、邊界、序列、極限等。進(jìn)一步引入緊致性、連通性、可數(shù)性與分開(kāi)性等重要的拓?fù)洳蛔冃?/p>

§1.1拓?fù)淇臻g、開(kāi)集、閉集、聚點(diǎn)、閉包、鄰域

一、問(wèn)題的引入

數(shù)學(xué)分析里我們知道，在連續(xù)函數(shù)的定義中只涉及距離這個(gè)概念，定義域是一維歐氏空間,即實(shí)數(shù)空間，兩點(diǎn)之間的距離d(x,y)=|x-y|,即兩兩實(shí)數(shù)之差的絕對(duì)值,定義域是n維歐氏空間，兩點(diǎn)x=(x1,x2,?，xn),Y=(y1,y2,?，yn)之間的距離d(x,y)=

(x1?y1)2?…+(xn?yn)2。

無(wú)論是幾維空間，它的距離都有下面的性質(zhì)：

1.d(x,y)≥0,?x,y∈R;2.d(x,y)=0?x=y;

3.d(x,y)=d(y,x)?x,y∈R;4.d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z),?x,y,z∈R;這些性質(zhì)反映了距離的特征。

將R推廣為一般的集合，我們由距離可以抽象出度量以及度量空間的定義。

nnnn（一）度量空間

1.定義

定義1設(shè)X是一個(gè)集合，ρ：X×X→R,假使對(duì)于任何x,y,z∈X,有①（正定性）ρ（x,y）≥0并且ρ(x,y)=0?x=y；②（對(duì)稱(chēng)性）ρ(x,y)=ρ(y,x)；

③（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)則稱(chēng)ρ是集合X中的一個(gè)度量。

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假使ρ是集合X中的一個(gè)度量，則稱(chēng)偶對(duì)（X，ρ）是一個(gè)度量空間，或徑稱(chēng)X是一個(gè)度量空間。而ρ（x,y）稱(chēng)為從點(diǎn)X到點(diǎn)Y的距離。

2.度量空間舉例例2.1.1實(shí)數(shù)空間R

對(duì)實(shí)數(shù)集合，定義ρ：R×R→R如下：?x,y∈R，令ρ（x,y）=|x-y|,易知ρ是R的一個(gè)度量。因此（R,ρ）是一個(gè)度量空間。

可見(jiàn)，度量空間是實(shí)數(shù)空間的推廣，度量是距離的推廣。

例2.1.1n維歐式空間R

對(duì)實(shí)數(shù)集合R的n重笛卡爾積R=R×R×?×R，定義ρ：R×R→R如下：對(duì)任意兩點(diǎn)x=(x1,x2,?，xn),Y=(y1,y2,?，yn)∈R，令ρ（x,y）=

nnnnnnn?(xi?1ni?yi)2，

n可以驗(yàn)證ρ是R的一個(gè)度量，偶對(duì)（R，ρ）稱(chēng)為n維歐氏空間。有時(shí)徑稱(chēng)R為n維歐氏空間。n=2時(shí)，R2常稱(chēng)為歐氏平面或平面。

例2.1.2Hilbert空間H

記H是平方收斂的所有實(shí)數(shù)序列構(gòu)成的集合，即H={x=(x1,x2,?，xn)|xi∈R,i∈Z+,

?xi?1?2iH→R如下：對(duì)于任意x=(x1,x2,?，??},定義ρ：H×

?xn),Y=(y1,y2,?，yn)∈H，令ρ（x,y）=

??(xi?1i?yi)2。這個(gè)定義的合理性及驗(yàn)

證?(xi?12?y)ii??以及驗(yàn)證ρ是H的一個(gè)度量，可見(jiàn)P49附錄。因此（H,ρ）

是一個(gè)度量空間，稱(chēng)為Hilbert空間。

例2.1.3離散的度量空間

設(shè)（X,ρ）是一個(gè)度量空間，稱(chēng)（X,ρ）是一個(gè)離散的度量空間或稱(chēng)ρ是一

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個(gè)離散的度量，假使對(duì)每一個(gè)x∈X,存在一個(gè)實(shí)數(shù)?x?0使得ρ（x,y）>?x,對(duì)任何y∈X，y≠x成立。

如，設(shè)X是一個(gè)集合，定義ρ：X×X→R,使得對(duì)于任何x,y∈X,有

?(x,y)??離散的。

思考題

?0若x?y,易知ρ是X的一個(gè)離散度量，度量空間（X,ρ）是

1若x?y?例2.1.5令X=C([a,b])={f:[a,b]→R|f在[a,b]上連續(xù)}，并且對(duì)于任意的f,g∈C([a,b]),令d(f,g)=

?|f(x)-g(x)|dx,d是C([a,b])的度量嗎？

ab（答案：d是C([a,b])的度量，因此（C([a,b])，d）是一個(gè)度量空間）

3.鄰域、開(kāi)集

⑴度量空間的球形鄰域及其基本性質(zhì)

定義2.設(shè)（X,ρ）是一個(gè)度量空間，x∈X,對(duì)于任意的ε>0，

B（x,ε）={y∈X|ρ（x,y）<ε}稱(chēng)為以x為中心，ε為半徑的球形鄰域，也稱(chēng)為x的一個(gè)ε鄰域，也記作Bε(x)。

定理1.0.1度量空間（X,ρ）的球形鄰域具有以下性質(zhì)：①每一點(diǎn)x∈X至少有一鄰域，并且x屬于它的每一個(gè)鄰域；

②對(duì)于點(diǎn)x∈X的任意兩個(gè)球形鄰域，存在x的一個(gè)球形鄰域同時(shí)包含于兩者；

③假如y∈X屬于x的某個(gè)球形鄰域，則y有一個(gè)球形鄰域包含于x的那個(gè)球形鄰域。

證明：??

⑵度量空間的開(kāi)集及其基本性質(zhì)

定義3.設(shè)X是一個(gè)度量空間，A?X，假如?a?A,都???0，使B(a,ε)

?X，則稱(chēng)A是X的一個(gè)開(kāi)集。

由定理2.1.1的③知，X的球形鄰域都是開(kāi)集。

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例2.1.7實(shí)數(shù)空間R中的開(kāi)區(qū)間都是開(kāi)集，而半開(kāi)半閉區(qū)間、閉區(qū)間都不是開(kāi)集。兩個(gè)開(kāi)區(qū)間的并也是開(kāi)集。

可見(jiàn)，度量空間的開(kāi)集是實(shí)數(shù)空間開(kāi)區(qū)間的推廣。定理1.0.2度量空間X的開(kāi)集具有以下性質(zhì)：①集合X本身和空集Ф都是開(kāi)集；②任何兩個(gè)開(kāi)集的交是開(kāi)集；③任何一個(gè)開(kāi)集族的并是開(kāi)集。證??

推論U是度量空間的開(kāi)集的充分必要條件是U是這個(gè)空間中若干個(gè)球形鄰域的并。

⑶度量空間中點(diǎn)x的鄰域球形鄰域的推廣

定義4.設(shè)X是一個(gè)度量空間，x∈X,U?X，假如存在開(kāi)集V使x∈V?U，則稱(chēng)U是x的一個(gè)鄰域。

注：有定義可知，開(kāi)集V是它的每一點(diǎn)的鄰域，但鄰域卻不一定是開(kāi)集。如[0，2]是1的鄰域，但它不是開(kāi)集。

定理1.0.3設(shè)X是一個(gè)度量空間，x∈X,U?X，則U是x的一個(gè)鄰域?存

在B(x,ε)?U。

證明：??

本定理為鄰域提供了一個(gè)等價(jià)說(shuō)法。

推論X是一個(gè)度量空間，U?X，則U是X的一個(gè)開(kāi)集?U是其內(nèi)每一點(diǎn)的鄰域。

證由定義2.1.3和定理2.1.3。

（二）度量空間之間的連續(xù)映射

定義5設(shè)X和Y是兩個(gè)度量空間，f：X→Y，以及x0∈X，假如對(duì)于f(x0)的任何一個(gè)球形鄰域B(f(x0),ε)，存在x0的某一個(gè)球形鄰域B(x0，δ)使得f(B(x0，δ))?B(f(x0),ε)，則稱(chēng)映射f在x0處是連續(xù)的。

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假如映射f在X的每一點(diǎn)連續(xù)，則稱(chēng)f是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。顯然這個(gè)定義是數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)定義純粹形式上的推廣。

定理1.0.4設(shè)X和Y是兩個(gè)度量空間，f：X→Y，則

①f在x0點(diǎn)處連續(xù)?f(x0)的每一個(gè)鄰域的原像是x0的一個(gè)鄰域；②f是連續(xù)的?Y中每個(gè)開(kāi)集的原像是X中的開(kāi)集。

證明：①“?〞若f在x0點(diǎn)處連續(xù)，設(shè)U為f(x0)的一個(gè)鄰域，據(jù)TH2.1.3，有B(f(x0),ε)?U，由于f在x0點(diǎn)處連續(xù)，所以存在B(x0，δ)使得f(B(x0，δ))然而f-1[B(f(x0),ε)]?f-1(U)，而B(niǎo)(x0，δ)?f-1[B(f(x0),ε)]，?B(f(x0),ε)，

所以B(x0，δ)?f-1(U)，這說(shuō)明f-1(U)是x0的一個(gè)鄰域。

“?〞設(shè)f(x0)的每一個(gè)鄰域的原像是x0的一個(gè)鄰域，任給f(x0)的一個(gè)鄰域B(f(x0),ε)，則f-1[B(f(x0),ε)]是x0的一個(gè)鄰域，據(jù)TH2.1.3，x0有一個(gè)球形鄰域B(x0，δ)?f-1[B(f(x0),ε)]，因此f[B(x0，δ)]?B(f(x0),ε)，所以f在x0點(diǎn)處連續(xù)。

②“?〞設(shè)f連續(xù)，令V為Y中一開(kāi)集，U=f-1(V),對(duì)于每一個(gè)x∈U，則f(x)∈V，由于V是開(kāi)集，所以V是f(x)的一個(gè)鄰域，由于f在每一點(diǎn)x連續(xù)，故由①知U是x的一個(gè)鄰域，由上面的