第三章-圖像變換

第三章圖像變換圖像變換的目的在于：①使圖像處理問題簡(jiǎn)化；②有利于圖像特征提取；③有助于從概念上增強(qiáng)對(duì)圖像信息的理解。圖像變換通常是一種二維正交變換。一般要求：①正交變換必須是可逆的；②正變換和反變換的算法不能太復(fù)雜；③正交變換的特點(diǎn)是在變換域中圖像能量將集中分布在低頻率成分上，邊緣、線狀信息反映在高頻率成分上，有利于圖像處理。因此正交變換廣泛應(yīng)用在圖像增強(qiáng)、圖像恢復(fù)、特征提取、圖像壓縮編碼和形狀分析等方面。3.1基礎(chǔ)知識(shí)

3.1.1點(diǎn)源和狄拉克函數(shù)一幅圖像可以看成由無窮多極小的像素組成，每一個(gè)像素都可以看作為一個(gè)點(diǎn)源，因此，一幅圖像也可以看成由無窮多點(diǎn)源所組成。數(shù)學(xué)上，點(diǎn)源可以用狄拉克δ函數(shù)來表示，二維δ函數(shù)定義為：且滿足：其它狄拉克δ函數(shù)性質(zhì)：(1)δ函數(shù)為偶函數(shù)，即(2)位移性或用卷積符號(hào)*表示為(3)可分性因此有(4)篩選性當(dāng)且僅當(dāng)α＝β＝0時(shí)3.1.2二維線性位移不變系統(tǒng)

滿足此條件的運(yùn)算稱為二維線性運(yùn)算，由它描述的系統(tǒng)稱為二維線性系統(tǒng)。f(x,y)g(x,y)δ(x,y)h(x,y)T[.]T[.]二維線性系統(tǒng)一般表示位移不變系統(tǒng)當(dāng)輸入為單位脈沖δ(x,y)時(shí)，系統(tǒng)的輸出便稱為脈沖響應(yīng)，用h(x,y)表示。在圖像處理中，它便是點(diǎn)源的響應(yīng)，稱為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。對(duì)一個(gè)二維線性位移不變系統(tǒng)來說，如果輸入為f(x,y)，輸出為g(x,y),系統(tǒng)加于輸入的線性運(yùn)算為T[.]，則有：上式表明：線性位移不變系統(tǒng)的輸出等于系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)脈沖響應(yīng)（點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)）的卷積。簡(jiǎn)記為：

3.2.1連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換

1.一維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換

令f(x)為實(shí)變量x的連續(xù)函數(shù)，f(x)的傅立葉變換用F(u)表示，則定義式為

若已知F(u)，則傅立葉反變換為

以上稱為傅立葉變換對(duì)。3.2傅立葉變換這里f(x)是實(shí)函數(shù)，它的傅立葉變換F(u)通常是復(fù)函數(shù)。F(u)的實(shí)部、虛部、振幅(幅度譜)、能量（功率譜、譜密度）和相位分別表示如下：傅立葉變換中出現(xiàn)的變量u通常稱為頻率變量。

2.二維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換

傅立葉變換很容易推廣到二維的情況。如果f(x，y)是連續(xù)和可積的，且F(u，v)是可積的，則二維傅立葉變換對(duì)為

二維函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜分別為：

|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2(u，v)]1/2φ(u，v)=tan-1[I(u，v)／R(u，v)]E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)例：求如圖所示的函數(shù)的傅立葉譜xyf(x,y)A其傅立葉譜為：3.2.2離散函數(shù)的傅立葉變換1.一維離散函數(shù)的傅立葉變換假定取間隔△x單位的抽樣方法將一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(x)離散化為一個(gè)序列{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}，如圖所示。被抽樣函數(shù)的離散傅立葉變換定義式為

F(u)=式中u=0，1，2，…，N﹣1。反變換為f(x)=式中x=0，1，2，…，N-1。例如：對(duì)一維信號(hào)f(x)=[1010]進(jìn)行傅立葉變換。

由得u=0時(shí)，

u=1時(shí),注：u=2時(shí),u=3時(shí),

2.二維離散函數(shù)的傅立葉變換在二維離散的情況下，傅立葉變換對(duì)表示為

F(u，v)=式中u=0，1，2，…，M-1；v=0，1，2，…，N-1。

f(x，y)=式中x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。在數(shù)字圖像處理中，圖像一般取樣為方形矩陣，即N×N，則其傅立葉變換及其逆變換為：傅里葉變換圖像理解傅立葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法，利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì)于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。實(shí)際上對(duì)圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大小。經(jīng)過傅里葉變換后的圖像，四角對(duì)應(yīng)于高頻成分，中央部位對(duì)應(yīng)于低頻部分。原圖離散傅立葉變換后的頻域圖例如數(shù)字圖像的傅立葉變換3.2.3二維離散傅立葉變換的若干性質(zhì)

離散傅立葉變換建立了函數(shù)在空間域與頻率域之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。在數(shù)字圖像處理中，經(jīng)常要利用這種轉(zhuǎn)換關(guān)系及其轉(zhuǎn)換規(guī)律。

基本性質(zhì)：

1.可分離性2．平移性：圖像中心化

時(shí)3．周期性4．共軛對(duì)稱性則例：5．旋轉(zhuǎn)不變性6．分配性和比例性7．平均值8．離散卷積定理

離散卷積定理

時(shí)域（或