第四章 參數(shù)估計與假設檢驗

第四章參數(shù)估計與假設檢驗

第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題參數(shù)估計的意義何在？◆人們往往先假定某數(shù)據(jù)來自一個特定的總體族（比如正態(tài)分布族）；◆而要確定是總體族的哪個成員（也就是其具體分布）則需要知道總體參數(shù)值（比如總體均值和總體方差）；◆于是，人們希望用相應的樣本統(tǒng)計量（比如樣本均值和樣本方差）來估計出相應的總體參數(shù)，從而能夠確定總體的分布形態(tài)。一、統(tǒng)計量、估計量、估計值

估計：根據(jù)現(xiàn)有信息對現(xiàn)實世界進行某種判斷。估計量：樣本的（不包含未知總體參數(shù)的）函數(shù)稱為統(tǒng)計量；用于估計總體參數(shù)的統(tǒng)計量稱為估計量(estimator，估計子)，如用于估計總體參數(shù)的樣本均值、樣本比率（成數(shù)）、樣本方差等。由于一個統(tǒng)計量對于不同的樣本取值不同，所以估計量也是隨機變量，并有其分布。第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題估計值：如果樣本已經(jīng)得到，把數(shù)據(jù)帶入之后，估計量就有了一個數(shù)值，稱為該估計量的一個實現(xiàn)(realization)或取值，也稱為一個估計值(estimate)?？梢?，統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，是對樣本的一個變換。我們之所以進行這種變換，是希望用這個統(tǒng)計量去估計總體的某個參數(shù)，或者實現(xiàn)我們的其他目的，比如要檢驗某一個假設。不過，在實際轉換的過程中，一般來說，會有一定的信息損失，也就是說，統(tǒng)計量包含的信息比原始樣本本身包含的信息要少。第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題這樣，就可能出現(xiàn)兩種結果：

一種結果是，抓住了問題的實質(zhì)，刪繁就簡，只丟掉了一些無關要旨的東西，保存了樣本中關于所要估計的總體參數(shù)的全部信息；另一種結果是，把樣本中關于所要估計的總體參數(shù)的信息喪失了或喪失很多，因此從這個統(tǒng)計量出發(fā)對總體參數(shù)進行推斷，還不如從樣本本身對總體進行推斷。如果這個統(tǒng)計量滿足第一種情況，我們就說它是充分統(tǒng)計量。第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題二、點估計與區(qū)間估計點估計(pointestimation)：用估計量的實現(xiàn)值來近似相應的總體參數(shù)。區(qū)間估計(intervalestimation)：給出包括估計量在內(nèi)（有時是以估計量為中心）的一個區(qū)間；該區(qū)間被認為很可能包含總體參數(shù)。點估計給出一個數(shù)字，用起來很方便；而區(qū)間估計給出一個區(qū)間，說起來留有余地；不像點估計那么絕對。第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題三、點估計用什么樣的估計量來估計參數(shù)呢？沒有限制。任何統(tǒng)計量，只要人們覺得合適就可以當成估計量。比如，一位專家來學校進行評估，想了解《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的考試情況，在食堂碰到你，問：你們班這門課的平均成績大概是多少？你說：不太清楚。他只好又問：那你考了多少？你說：38。第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題三、點估計那么，什么樣的估計量才算合適呢？從理論上來說，一個合適的估計量至少要具備如下特點：

1、要能夠知道其概率分布；

2、要能夠根據(jù)現(xiàn)有條件算出估計量的值。那么，怎么樣比較不同估計量之間的好壞呢？第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題1、無偏性(unbiasedness)

所謂無偏性，就是指我們所選定的估計量的數(shù)學期望等于被估計量，這時統(tǒng)計量的值才能在真實值上下擺動，從而保證用它來估計被估計參數(shù)在理論上沒有偏差。在統(tǒng)計中，人們一般不用樣本方差S2n來估計總體方差，正是因為用樣本方差S2n來估計總體方差是有偏（差）的，而用樣本修正方差S2n-1來估計總體方差是沒有偏（差）的。第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題樣本修正方差的無偏性：一個統(tǒng)計實驗第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題

2、一致性(consistency，相合性)

隨著樣本容量的增大，估計量越來越接近被估計的總體參數(shù)。即：

設為未知參數(shù)θ的估計量，當n→∞時，要求依概率收斂于θ，即第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題

2、一致性(consistency)第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題

3、有效性(efficiency)

若和均為的無偏估計，且，則稱無偏估計比更有效。若是的無偏估計的最有效者，即具有最小方差，則稱是的最小方差無偏估計。有效性要求估計量的方差要盡可能地小。第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題四、區(qū)間估計(IntervalEstimation)

當描述一個人的體重時，你一般可能不會說這個人是76.35公斤，你會說這個人是七八十公斤，或者是在70公斤到80公斤之間。這個范圍就是區(qū)間估計的例子。第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題置信度與置信區(qū)間：置信度的概念是大量重復抽樣時的一個漸近概念。類似于“我們目前得到的置信度為95%的置信區(qū)間以概率0.95覆蓋總體真值”的說法是錯誤的。實際上應該說“重復類似的抽樣所得到的大量區(qū)間中有大約95%的覆蓋總體真值(該真值可能永遠未知)。第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題

這里的置信區(qū)間（如72，78）是固定的，而總體真值也是固定的值。因此只有兩種可能：或者該區(qū)間包含總體比例，或者不包含；這當中沒有任何概率可言。至于區(qū)間（72，78）是否覆蓋總體真值，除非一個不漏地調(diào)查所有的人，否則永遠也無法知道。第一節(jié)參數(shù)估計的一般問題一、總體方差已知時對總體均值進行區(qū)間估計例

CJW公司是一家專營體育設備和附件的郵購公司。該公司竭盡全力向顧客提供最優(yōu)質(zhì)的服務。為了監(jiān)控公司的服務質(zhì)量，CJW公司每月都要隨機地抽取一個郵購顧客的樣本，并與被抽到的樣本中的每個顧客進行聯(lián)系，詢問他們一系列有關CJW公司服務水平的問題，根據(jù)顧客給出的答案計算出該顧客的滿意分數(shù)，這些分數(shù)的范圍從0分（可能的最差等級）到100分（可能的最好等級）。在此基礎上，公司進一步計算出滿意分數(shù)的樣本均值作為CJW公司所有顧客總體的滿意分數(shù)均值的點估計。第二節(jié)總體指標的區(qū)間估計

前面每個月的調(diào)查顯示：盡管各個月的樣本滿意分數(shù)的均值都有變化，但是，滿意分數(shù)的標準差卻穩(wěn)定在20分左右。因此，我們就假定總體的標準差為20分。最近，CJW公司對100名顧客進行了調(diào)查，結果表明：顧客滿意分數(shù)的樣本均值為82。試給出滿意分數(shù)總體均值的區(qū)間估計（置信度95%）。

解：根據(jù)題意可知，n=100，總體標準差σ=20，樣本均值為82。根據(jù)中心極限定理可知，。因此可反查標準正態(tài)分布表求解。第二節(jié)總體指標的區(qū)間估計第二節(jié)總體指標的區(qū)間估計

第二節(jié)總體指標的區(qū)間估計二、總體方差未知時對總體均值進行區(qū)間估計當總體服從正態(tài)分布、方差б2未知時，則用樣本方差代替б2。考慮到樣本方差S2的有偏性和樣本修正方差的無偏性，為提高推斷的準確性，用樣本修正方差S2n-1來代替б2進行估計。第二節(jié)總體指標的區(qū)間估計考察統(tǒng)計量

在T中，分子，分母。因此，T～t（n-1）。因此，要以95%的置信度求出μ的置信區(qū)間，只需借鑒б2已知的做法，反查t分布表，找到一個對稱區(qū)間[-t，t]，使P（-t﹤T﹤t）=0.95即可。第二節(jié)總體指標的區(qū)間估計經(jīng)整理，總體均值μ的置信區(qū)間為：在大樣本情況下，也可以用正態(tài)分布代替t分布，也就是用Zα/2代替上式中的tα/2即可。第二節(jié)總體指標的區(qū)間估計

練習：下表是工商07級1班、2班某門課的考試成績。試根據(jù)該樣本數(shù)據(jù)求管理學院2007級學生該門課程成績均值的置信區(qū)間（置信度為95%）。第二節(jié)總體指標的區(qū)間估計

思考：如果這樣做正確的話，隱含的前提假設是什么？第二節(jié)總體指標的區(qū)間估計總體方差未知時對總體均值進行區(qū)間估計：當總體服從正態(tài)分布、方差б2未知時，則用樣本方差代替б2?？紤]到樣本方差S2的有偏性和樣本修正方差的無偏性，為提高推斷的準確性，用樣本修正方差S2n-1來代替б2進行估計。

考慮：在這里，我們?yōu)槭裁匆印翱傮w服從正態(tài)分布”這個條件，要是總體不服從正態(tài)分布呢？會有什么問題？第二節(jié)總體指標的區(qū)間估計三、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計

1、總體均值μ已知時的區(qū)間估計

2、總體均值μ未知時的區(qū)間估計第二節(jié)總體指標的區(qū)間估計

例從自動機床加工的零件中抽取10件，測得其長度為（單位：mm）：12.5，12.12，12.01，12.28，12.09，12.03，12.01，12.11，12.06，12.14。設零件長度服從正態(tài)分布，求零件長度的方差的置信區(qū)間（置信度95%）。解：第二節(jié)總體指標的區(qū)間估計四、兩正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計對于兩個相互獨立的正態(tài)總體N（μ1，σ12）、N（μ2，σ22），其樣本均值差

1、σ12、σ22都已知時μ1-μ2的區(qū)間估計

第二節(jié)總體指標的區(qū)間估計

2、σ12=σ22=σ2，但σ2未知時μ1-μ2的區(qū)間估計

第二節(jié)總體指標的區(qū)間估計

同理，在大樣本條件下，。因此，總體比例也可參照總體均值的方法進行估計。第二節(jié)總體指標的區(qū)間估計一、假設檢驗的基本思想第三節(jié)假設檢驗的一般問題一、假設檢驗的基本思想

參數(shù)估計和假設檢驗是統(tǒng)計推斷的兩種方法，只不過角度不同。假設檢驗的基本思路是：事先對總體參數(shù)或分布形式作出某種假設，然后利用樣本信息來判斷是否能推翻原假設。我認為該企業(yè)生產(chǎn)的零件的平均長度為4厘米！第三節(jié)假設檢驗的一般問題一、假設檢驗的基本思想假設檢驗的特點：

采用邏輯上的反證法；

依據(jù)統(tǒng)計上的小概率原理。第三節(jié)假設檢驗的一般問題

例：某廠生產(chǎn)一種標準件，其長度為4厘米，標準差為0.1厘米。進行工藝改革后，抽查了100個零件，測得樣本平均長度為3.94厘米。試以95%的把握程度，檢驗該廠進行工藝改革前后生產(chǎn)的標準件的長度是否發(fā)生了顯著變化。

解：1、區(qū)間估計的方法～Z（0，1）；P（-1.96＜＜1.96）=0.95

即：-1.96＜μ＜＋1.963.94-1.96×0.1/10＜μ＜3.94＋1.96×0.1/10

計算得：3.9204＜μ＜3.9596

可見，工藝改革后該廠的標準件長度發(fā)生了顯著變化。第三節(jié)假設檢驗的一般問題

解：2、假設檢驗的方法假設工藝改革后標準件長度沒有明顯變化，也即μ=4厘米。應有：

即P（-1.96＜＜1.96）=0.95

此為小概率事件。小概率事件發(fā)生說明原假設是錯誤的，工藝改革前后標準件長度發(fā)生了顯著變化。第三節(jié)假設檢驗的一般問題二、假設檢驗的過程均值

X=20

總體

我認為人口的平均年齡是50歲1、提出假設

拒絕假設別無選擇3、作出決策

2、抽取隨機樣本

第三節(jié)假設檢驗的一般問題二、假設檢驗的過程假設檢驗的具體步驟：第一，提出原假設(nullhypothesis)和備擇假設(alternativehypothesis)；第二，確定合適的檢驗統(tǒng)計量；第三，規(guī)定顯著性水平α；第四，根據(jù)數(shù)據(jù)計算檢驗統(tǒng)計量的實現(xiàn)值；第五，統(tǒng)計決策。第三節(jié)假設檢驗的一般問題原假設的設定原則：在假設檢驗中，一般要設立一個原假設（nullhypothesis）；而設立該假設的動機主要是企圖利用人們掌握的反映現(xiàn)實世界的數(shù)據(jù)來找出假設和現(xiàn)實的矛盾，從而否定這個假設。也就是說，假設檢驗都是以否定原假設為目標。如否定不了，那就說明證據(jù)不足，無法否定原假設。但這不等于原假設正確，而是“沒有足夠證據(jù)拒絕原假設”，因此不能“接受原假設”。第三節(jié)假設檢驗的一般問題需要注意的問題：

1、零假設和備擇假設在我們設計的假設檢驗中并不對稱。檢驗統(tǒng)計量的分布是從零假設導出的。第三節(jié)假設檢驗的一般問題第三節(jié)假設檢驗的一般問題需要注意的問題：

2、多數(shù)軟件直接給出p值，而不給出α。p值(p-value)是在零假設下，檢驗統(tǒng)計量取其實現(xiàn)值及(沿著備擇假設的方向)更加極端值的概率。如果p值很小，意味著在零假設下小概率事件發(fā)生。給定p值有很多方便之處。比如α=0.05，而假定所得到的p值等于0.001。這時如果采用p值作為新的顯著性水平，即新的α=0.001，于是就可以說，在顯著性水平為0.001時，拒絕零假設。這樣，拒絕零假設時犯錯誤的概率實際只是α=0.001而不是原來的α=0.05。在這個意義上，p值又稱