《引言》教學(xué)設(shè)計(jì)(重慶市縣級優(yōu)課)x-數(shù)學(xué)教案

將軍飲馬問題的應(yīng)用與拓展重慶七中許光英教材分析：新人教版高中數(shù)學(xué)《選修4-5不等式選講》的引言中提到：“許多重要的不等式有深刻的數(shù)學(xué)意義和背景，本專題中給出的不等式大都有明確的幾何背景，把握這些幾何背景，對于我們理解這些不等式的實(shí)質(zhì)是非常重要的.因此，在學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們應(yīng)當(dāng)注意理解這些不等式的背景（特別是幾何背景）及其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，盡可能借助幾何直觀來證明這些基本而重要的不等式，從中領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想在研究不等式中的作用.”這指出了，在學(xué)習(xí)《不等式選講》中要讓學(xué)生能理解不等式所涉及到的一些幾何背景，并且會用幾何直觀來證明或求解不等式.由此我想到了初中學(xué)過的“將軍飲馬問題”所涉及的距離問題以及所用到的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化和化歸等數(shù)學(xué)思想方法，是一個(gè)很好的典例.教學(xué)目標(biāo)：1.理解將軍飲馬問題的實(shí)質(zhì)及幾何意義；2.理解將軍飲馬問題在圓錐曲線中的應(yīng)用；3.領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等重要數(shù)學(xué)思想在研究圓錐曲線中的作用。重點(diǎn)：將軍飲馬問題的應(yīng)用與拓展。難點(diǎn)：將軍飲馬問題在圓錐曲線中的應(yīng)用。教學(xué)過程：一、飲馬問題背景（走進(jìn)數(shù)學(xué)故事）：【設(shè)計(jì)意圖】：從熟悉的詩歌、數(shù)學(xué)典故中挖掘出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)是來源于生活、應(yīng)用于生活.要用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河?！痹娭须[含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題。如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿營，請問怎樣走才能使總的路程最短？（師生共作）解決方法：（幻燈片演示過程）如圖所示，從A出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上取A關(guān)于河岸的對稱點(diǎn)，連結(jié)，與河岸線相交于C，則C點(diǎn)就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到C，飲馬之后，再由C沿直線走到B，走的路程就是最短的．（追問：為什么？）如果將軍在河邊的另外任一點(diǎn)飲馬，所走的路程就是，但是，可見，在C點(diǎn)外任何一點(diǎn)飲馬，所走的路程都要遠(yuǎn)一些。（需要強(qiáng)調(diào)說明的幾點(diǎn)：）（1）由作法可知，河流相當(dāng)于線段中垂線，所以。（2）由上一條知：將軍走的路程就是AC+BC，就等于，三點(diǎn)共線，所以C點(diǎn)為最優(yōu)解。（師介紹：）這個(gè)問題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫。一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個(gè)百思不得其解的問題：將軍每天騎馬從城堡A出發(fā)，到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？從此，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題廣為流傳。（師問：）“將軍飲馬”問題中“利用軸對稱變換化折為直”的思想方法，將該問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)間線段最短”，也即是“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題。下面進(jìn)一步探討“將軍飲馬”問題的本質(zhì)。飲馬問題本質(zhì)（探索數(shù)學(xué)本質(zhì)）：【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，能建立數(shù)學(xué)模型，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界.探究一（師生共作）：已知A、B在直線L同側(cè)（或異側(cè)），在直線L上求一點(diǎn)P，使得|PA|+|PB|最小。如圖所示：（幻燈片演示過程）A、B在直線L同側(cè)時(shí)，點(diǎn)P為線段與直線L的交點(diǎn)；A、B在直線L異側(cè)時(shí)，點(diǎn)P為線段AB與直線L的交點(diǎn)。（師點(diǎn)評：）1.“飲馬問題”可歸結(jié)為“求定直線上一動點(diǎn)與直線外兩點(diǎn)的距離之和的最小值”問題的數(shù)學(xué)模型；利用軸對稱思想，把同側(cè)類型轉(zhuǎn)化為異側(cè)類型，構(gòu)造在兩定點(diǎn)之間。2.從位置關(guān)系看：動點(diǎn)P不僅要在直線L上；還與兩個(gè)定點(diǎn)共線；且在兩定點(diǎn)之間。這也是“兩點(diǎn)之間線段最短”的體現(xiàn)。探究二（小組合作探討）：已知A、B在直線L同側(cè)（或異側(cè)），求在直線L上是否存在點(diǎn)P，使得有最大值。如圖所示：（小組展示）問題1：如何找出滿足條件的點(diǎn)P？問題2：此時(shí)的最大值是多少？A、B在直線L同側(cè)時(shí)，點(diǎn)P為線段BA的延長線與直線L的交點(diǎn)；A、B在直線L異側(cè)時(shí)，點(diǎn)P為線段的延長線與直線L的交點(diǎn)。（師點(diǎn)評：）1.“飲馬問題”可拓展為“求定直線上一動點(diǎn)與直線外兩點(diǎn)的距離之差的最值”問題；利用軸對稱思想，把異側(cè)類型轉(zhuǎn)化為同側(cè)類型，構(gòu)造在兩定點(diǎn)的延長線上。2.從位置關(guān)系看：點(diǎn)P不僅在直線L上，還在兩定點(diǎn)連線段的延長線上，當(dāng)然也是三點(diǎn)共線了。三、飲馬問題應(yīng)用（拓展應(yīng)用數(shù)學(xué)模型）：【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生在思考和交流中掌握知識技能的同時(shí)，進(jìn)一步理解知識的本質(zhì)，能用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.把“飲馬問題”中的“定直線”改成“定圓錐曲線”又如何？即“求定圓錐曲線上一動點(diǎn)P與圓錐曲線外兩點(diǎn)的距離之和的最值”。（特別地，其中一定點(diǎn)為焦點(diǎn)F）如圖所示1：（學(xué)生回答）（幻燈片展示）在如下圓錐曲線上，是否存在點(diǎn)P，使得有最值？（師點(diǎn)評：）應(yīng)用“兩點(diǎn)之間線段最短”，滿足條件的動點(diǎn)即與兩定點(diǎn)共線，并在兩定點(diǎn)之間。如圖所示2：（小組合作探討）（師點(diǎn)評）：1.若建立目標(biāo)函數(shù)直接求的最值是困難的，這里利用圓錐曲線的定義，結(jié)合圖形則問題就解決了．2.利用“將軍飲馬”問題模型中涉及到的數(shù)學(xué)方法，盡量把動點(diǎn)轉(zhuǎn)化到兩定點(diǎn)之間。3.可通過轉(zhuǎn)化與化歸思想，轉(zhuǎn)化到另一個(gè)焦點(diǎn)（或準(zhǔn)線）上進(jìn)行。四、回顧延伸1.這節(jié)課的學(xué)習(xí)帶給我們哪些思考與收獲？（飲馬問題可歸結(jié)為“求定直線上一動點(diǎn)與直線外兩點(diǎn)的距離之和的最小值”問題的數(shù)學(xué)模型；利用軸對稱思想，將該問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題；利用“對稱的思想”，結(jié)合幾何圖形研究圓錐曲線問題等）2.“將軍飲馬”問題在空間幾何中的應(yīng)用與拓展：（1）一個(gè)有趣的問題是：一只螞蟻在棱長為1的正方體的頂點(diǎn)A處，一粒食物在與螞蟻相對的頂點(diǎn)處，螞蟻想要沿著正方體的表面爬到處得到食物，螞蟻究竟沿怎樣的路線爬過去，所經(jīng)過的路程才最短？（2）棱長為1的正方體中，M是的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動，求PA+PM的最小值。3.“將軍飲馬”問