2009年浙江省高考數學試卷(理科)及答案

2009年浙江省高考數學試卷（理科）一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1．（5分）設U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，則A∩?UB=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}2．（5分）已知a，b是實數，則“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（5分）設復數z=1+i（i是虛數單位），則+z2=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i4．（5分）在二項式（x2﹣）5的展開式中，含x4的項的系數是（）A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．55．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．90°6．（5分）某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．77．（5分）設向量，滿足：||=3，||=4，?=0．以，，﹣的模為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數最多為（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）已知a是實數，則函數f（x）=1+asinax的圖象不可能是（）A． B． C． D．9．（5分）過雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右頂點A作斜率為﹣1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B、C．若=，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．10．（5分）定義A﹣B={x|x∈A且x?B}，若P={1，2，3，4}，Q={2，5}，則Q﹣P=（）A．P B．{5} C．{1，3，4} D．Q二、填空題（共7小題，每小題4分，滿分28分）11．（4分）設等比數列{an}的公比，前n項和為Sn，則=．12．（4分）若某個幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積是cm3．13．（4分）若實數x，y滿足不等式組，則2x+3y的最小值是．14．（4分）某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進行分時計價．該地區(qū)的電網銷售電價表如圖：高峰時間段用電價格表低谷時間段用電價格表高峰月用電量（單位：千瓦時）高峰電價（單位：元/千瓦時）低谷月用電量（單位：千瓦時）低谷電價（單位：元/千瓦時）50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超過50至200的部分0.598超過50至200的部分0.318超過200的部分0.668超過200的部分0.388若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為元（用數字作答）15．（4分）觀察下列等式：觀察下列等式：C+C=23﹣2，C+C+C=27+23，C+C+C+C=211﹣25，C+C+C+C+C=215+27，…由以上等式推測到一個一般結論：對于n∈N*，C+C+C+…+C=．16．（4分）甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數是．17．（4分）如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC（端點除外）上一動點，現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足，設AK=t，則t的取值范圍是．三、解答題（共5小題，滿分72分）18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c，且滿足=，?=3．（Ⅰ）求△ABC的面積；（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．19．（14分）在1，2，3…，9，這9個自然數中，任取3個數．（Ⅰ）求這3個數中，恰有一個是偶數的概率；（Ⅱ）記ξ為這三個數中兩數相鄰的組數，（例如：若取出的數1、2、3，則有兩組相鄰的數1、2和2、3，此時ξ的值是2）．求隨機變量ξ的分布列及其數學期望Eξ．20．（14分）如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點，AC=16，PA=PC=10．（Ⅰ）設G是OC的中點，證明：FG∥平面BOE；（Ⅱ）證明：在△ABO內存在一點M，使FM⊥平面BOE，并求點M到OA，OB的距離．21．（15分）已知橢圓C1：（a＞b＞0）的右頂點A（1，0），過C1的焦點且垂直長軸的弦長為1．（Ⅰ）求橢圓C1的方程；（Ⅱ）設點P在拋物線C2：y=x2+h（h∈R）上，C2在點P處的切線與C1交于點M，N．當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時，求h的最小值．22．（15分）已知函數f（x）=x3﹣（k2﹣k+1）x2+5x﹣2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R．（Ⅰ）設函數p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在區(qū)間（0，3）上不單調，求k的取值范圍；（Ⅱ）設函數是否存在k，對任意給定的非零實數x1，存在惟一的非零實數x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由．

2009年浙江省高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1．（5分）（2009?浙江）設U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，則A∩?UB=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}【分析】欲求兩個集合的交集，先得求集合CUB，再求它與A的交集即可．【解答】解：對于CUB={x|x≤1}，因此A∩CUB={x|0＜x≤1}，故選B．2．（5分）（2009?浙江）已知a，b是實數，則“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】由“a＞0且b＞0”?“a+b＞0且ab＞0”，“a+b＞0且ab＞0”?“a＞0且b＞0”，知“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充要條件．【解答】解：∵a，b是實數，∴“a＞0且b＞0”?“a+b＞0且ab＞0”，“a+b＞0且ab＞0”?“a＞0且b＞0”，∴“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充要條件．故選C．3．（5分）（2009?浙江）設復數z=1+i（i是虛數單位），則+z2=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】把復數z代入表達式化簡整理即可．【解答】解：對于，故選D．4．（5分）（2009?浙江）在二項式（x2﹣）5的展開式中，含x4的項的系數是（）A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5【分析】利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為4求得．【解答】解：對于，對于10﹣3r=4，∴r=2，則x4的項的系數是C52（﹣1）2=10故選項為B5．（5分）（2009?浙江）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】本題考查的知識點是線面夾角，由已知中側棱垂直于底面，我們過D點做BC的垂線，垂足為E，則DE⊥底面ABC，且E為BC中點，則E為A點在平面BB1C1C上投影，則∠ADE即為所求線面夾角，解三角形即可求解．【解答】解：如圖，取BC中點E，連接DE、AE、AD，依題意知三棱柱為正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE為AD與平面BB1C1C所成的角．設各棱長為1，則AE=，DE=，tan∠ADE=，∴∠ADE=60°．故選C6．（5分）（2009?浙江）某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據流程圖所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語句的作用可知：該程序的作用是計算滿足S=≥100的最小項數【解答】解：根據流程圖所示的順序，程序的運行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)SK循環(huán)前/00第一圈是11第二圈是32第三圈是113第四圈是20594第五圈否∴最終輸出結果k=4故答案為A7．（5分）（2009?浙江）設向量，滿足：||=3，||=4，?=0．以，，﹣的模為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數最多為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】先根據題設條件判斷三角形為直角三角形，根據三邊長求得內切圓的半徑，進而看半徑為1的圓內切于三角形時有三個公共點，對于圓的位置稍一右移或其他的變化，能實現(xiàn)4個交點的情況，進而可得出答案．【解答】解：∵向量a?b=0，∴此三角形為直角三角形，三邊長分別為3，4，5，進而可知其內切圓半徑為1，∵對于半徑為1的圓有一個位置是正好是三角形的內切圓，此時只有三個交點，對于圓的位置稍一右移或其他的變化，能實現(xiàn)4個交點的情況，但5個以上的交點不能實現(xiàn)．故選B8．（5分）（2009?浙江）已知a是實數，則函數f（x）=1+asinax的圖象不可能是（）A． B． C． D．【分析】函數f（x）=1+asinax的圖象是一個正弦曲線型的圖，其振幅為|a|，周期為，周期與振幅成反比，從這個方向觀察四個圖象．【解答】解：對于振幅大于1時，三角函數的周期為：，∵|a|＞1，∴T＜2π，而D符合要求，它的振幅大于1，但周期小于2π．對于選項A，a＜1，T＞2π，滿足函數與圖象的對應關系，故選D．9．（5分）（2009?浙江）過雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右頂點A作斜率為﹣1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B、C．若=，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．【分析】分別表示出直線l和兩個漸近線的交點，進而表示出和，進而根據=求得a和b的關系，進而根據c2﹣a2=b2，求得a和c的關系，則離心率可得．【解答】解：直線l：y=﹣x+a與漸近線l1：bx﹣ay=0交于B（，），l與漸近線l2：bx+ay=0交于C（，），A（a，0），∴=（﹣，），=（，﹣），∵=，∴=，b=2a，∴c2﹣a2=4a2，∴e2==5，∴e=，故選C．10．（5分）（2009?浙江）定義A﹣B={x|x∈A且x?B}，若P={1，2，3，4}，Q={2，5}，則Q﹣P=（）A．P B．{5} C．{1，3，4} D．Q【分析】理解新的運算，根據新定義A﹣B知道，新的集合A﹣B是由所有屬于A但不屬于B的元素組成．【解答】解：Q﹣P是由所有屬于Q但不屬于P的元素組成，所以Q﹣P={5}．故選B．二、填空題（共7小題，每小題4分，滿分28分）11．（4分）（2009?浙江）設等比數列{an}的公比，前n項和為Sn，則=15．【分析】先通過等比數列的求和公式，表示出S4，得知a4=a1q3，進而把a1和q代入約分化簡可得到答案．【解答】解：對于，∴12．（4分）（2009?浙江）若某個幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積是18cm3．【分析】由圖可知，圖形由兩個體積相同的長方體組成，求出其中一個體積即可．【解答】解：由圖可知，底下的長方體底面長為3，寬為1，底面積為3×1=3，高為3，因此體積為3×3=9；上面的長方體底面是個正方形，邊長為3，高為1，易知與下面的長方體體積相等，因此易得該幾何體的體積為9×2=18．13．（4分）（2009?浙江）若實數x，y滿足不等式組，則2x+3y的最小值是4．【分析】先由約束條件畫出可行域，再求出可行域各個角點的坐標，將坐標逐一代入目標函數，驗證即得答案．【解答】解：如圖即為滿足不等式組的可行域，由圖易得：當x=2，y=0時，2x+3y=4；當x=1，y=1時，2x+3y=5；當x=4，y=4時，2x+3y=20，因此，當x=2，y=0時，2x+3y有最小值4．故答案為414．（4分）（2009?浙江）某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進行分時計價．該地區(qū)的電網銷售電價表如圖：高峰時間段用電價格表低谷時間段用電價格表高峰月用電量（單位：千瓦時）高峰電價（單位：元/千瓦時）低谷月用電量（單位：千瓦時）低谷電價（單位：元/千瓦時）50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超過50至200的部分0.598超過50至200的部分0.318超過200的部分0.668超過200的部分0.388若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為148.4元（用數字作答）【分析】先計算出高峰時間段用電的電費，和低谷時間段用電的電費，然后把這兩個電費相加．【解答】解：高峰時間段用電的電費為50×0.568+150×0.598=28.4+89.7=118.1（元），低谷時間段用電的電費為50×0.288+50×0.318=14.4+15.9=30.3（元），本月的總電費為118.1+30.3=148.4（元），故答案為：148.4．15．（4分）（2009?浙江）觀察下列等式：觀察下列等式：C+C=23﹣2，C+C+C=27+23，C+C+C+C=211﹣25，C+C+C+C+C=215+27，…由以上等式推測到一個一般結論：對于n∈N*，C+C+C+…+C=24n﹣1+（﹣1）n22n﹣1．【分析】通過觀察類比推理方法結論由二項構成，第二項前有（﹣1）n，二項指數分別為24n﹣1，22n﹣1【解答】解：結論由二項構成，第二項前有（﹣1）n，二項指數分別為24n﹣1，22n﹣1，因此對于n∈N*，C4n+11+C4n+15+C4n+19+…+C4n+14n+1=24n﹣1+（﹣1）n22n﹣1．故答案為24n﹣1+（﹣1）n22n﹣116．（4分）（2009?浙江）甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數是336．【分析】由題意知本題需要分組解決，共有兩種情況，對于7個臺階上每一個只站一人，若有一個臺階有2人另一個是1人，根據分類計數原理得到結果．【解答】解：由題意知本題需要分組解決，∵對于7個臺階上每一個只站一人有A73種；若有一個臺階有2人另一個是1人共有C31A72種，∴根據分類計數原理知共有不同的站法種數是A73+C31A72=336種．故答案為：336．17．（4分）（2009?浙江）如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC（端點除外）上一動點，現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足，設AK=t，則t的取值范圍是（，1）．【分析】此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點時與隨著F點到C點時，分別求出此兩個位置的t值即可得到所求的答案【解答】解：此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點時，可得t=1，隨著F點到C點時，當C與F無限接近，不妨令二者重合，此時有CD=2因CB⊥AB，CB⊥DK，∴CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD，對于CD=2，BC=1，在直角三角形CBD中，得BD=，又AD=1，AB=2，再由勾股定理可得∠BDA是直角，因此有AD⊥BD再由DK⊥AB，可得三角形ADB和三角形AKD相似，可得t=，因此t的取值的范圍是（，1）故答案為（，1）三、解答題（共5小題，滿分72分）18．（14分）（2009?浙江）在△ABC中，角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c，且滿足=，?=3．（Ⅰ）求△ABC的面積；（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式利用=求得cosA，進而求得sinA，進而根據求得bc的值，進而根據三角形面積公式求得答案．（Ⅱ）根據bc和b+c的值求得b和c，進而根據余弦定理求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）因為，∴，又由，得bccosA=3，∴bc=5，∴（Ⅱ）對于bc=5，又b+c=6，∴b=5，c=1或b=1，c=5，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=20，∴19．（14分）（2009?浙江）在1，2，3…，9，這9個自然數中，任取3個數．（Ⅰ）求這3個數中，恰有一個是偶數的概率；（Ⅱ）記ξ為這三個數中兩數相鄰的組數，（例如：若取出的數1、2、3，則有兩組相鄰的數1、2和2、3，此時ξ的值是2）．求隨機變量ξ的分布列及其數學期望Eξ．【分析】（I）由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的所有事件是從9個數字中選3個，而滿足條件的事件是3個數恰有一個是偶數，即有一個偶數和兩個奇數．根據概率公式得到結果．（2）隨機變量ξ為這三個數中兩數相鄰的組數，則ξ的取值為0，1，2，當變量為0時表示不包含相鄰的數，結合變量對應的事件寫出概率和分布列，算出期望．【解答】解：（I）由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的所有事件是C93，而滿足條件的事件是3個數恰有一個是偶數共有C41C52記“這3個數恰有一個是偶數”為事件A，∴；（II）隨機變量ξ為這三個數中兩數相鄰的組數，則ξ的取值為0，1，2，當變量為0時表示不包含相鄰的數P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=∴ξ的分布列為ξ012p∴ξ的數學期望為．20．（14分）（2009?浙江）如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點，AC=16，PA=PC=10．（Ⅰ）設G是OC的中點，證明：FG∥平面BOE；（Ⅱ）證明：在△ABO內存在一點M，使FM⊥平面BOE，并求點M到OA，OB的距離．【分析】由于PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，O為AC的中點，AC=16，PA=PC=10，所以PO、OB、OC是兩兩垂直的三條直線，因此可以考慮用空間向量解決：連接OP，以O為坐標原點，分別以OB、OC、OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，對于（I），只需證明向量FG與平面BOE的一個法向量垂直即可，而根據坐標，平面的一個法向量可求，從而得證；對于（II），在第一問的基礎上，課設點M的坐標，利用FM⊥平面BOE求出M的坐標，而其道OA、OB的距離就是點M橫縱坐標的絕對值．【解答】證明：（I）如圖，連接OP，以O為坐標原點，分別以OB、OC、OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，則O（0，0，0），A（0，﹣8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，﹣4，3），F(xiàn)（4，0，3），（3分）由題意得，G（0，4，0），因，因此平面BOE的法向量為，）得，又直線FG不在平面BOE內，因此有FG∥平面BOE．（6分）（II）設點M的坐標為（x0，y0，0），則，因為FM⊥平面BOE，所以有，因此有，即點M的坐標為（8分）在平面直角坐標系xoy中，△AOB的內部區(qū)域滿足不等式組，經檢驗，點M的坐標滿足上述不等式組，所以在△ABO內存在一點M，使FM⊥平面BOE，由點M的坐標得點M到OA，OB的距離為．（12分）21．（15分）（2009?浙江）已知橢圓C1：（a＞b＞0）的右頂點A（1，0），過C1的焦點且垂直長軸的弦長為1．（Ⅰ）求橢圓C1的方程；（Ⅱ）設點P在拋物線C2：y=x2+h（h∈R）上，C2在點P處的切線與C1交于點M，N．當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時，求h的最小值．【分析】（I）根據題意，求出a，b的值，然后得出橢圓的方程．（II）設出M，N，P的坐標，將直線代入橢圓，聯(lián)立方程組，根據△判斷最值即可．【解答】解：（I）由題意得，∴，所求的橢圓方程為，（II）不妨設M（x1，y1），N（x2，y2），P（t，t2+h），則拋物線C2在點P處的切線斜率為y'|x=t=2t，直線MN的方程為y=2tx﹣t2+h，將上式代入橢圓C1的方程中，得4x2+（2tx﹣t2+h）2﹣4=0，即4（1+t2）x2﹣4t（t2﹣h）x+（t2﹣h）2﹣4=0，因為直線MN與橢圓C1有兩個不同的交點，所以有△1=16[﹣t4+2（h+2）t2﹣h2+4]＞0，設線段MN的中點的橫坐標是x3，則，設線段PA的中點的橫坐標是x4，則，由題意得x3=x4，即有t2+（1+h）t+1=0，其中的△2=（1+h）2﹣4≥0，∴h≥1或h≤﹣3；當h≤﹣3時有h+2＜0，4﹣h2＜0，因此不等式△1=16[﹣t4+2（h+2）t2﹣h2+4]＞0不成立；因此h≥1，當h=1時代入方程t2+（1+h）t+1=0得t=﹣1，將h=1，t=﹣1代入不等式△1=16[﹣t4+2（h+2）t2﹣h2+4]＞0成立，因此h的最小值為1．22．（15分）（2009?浙江）已知函數f（x）=x3﹣（k2﹣k+1）x2+5x﹣2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R．（Ⅰ）設函數p（x）=f（x）+g（x）．若p（x