浙教版八年級上第2章 特殊三角形小專題：等腰三角形中的分類討論(含答案)

小專題(二)等腰三角形中的分類討論類型1對頂角和底角的分類討論對于等腰三角形，只要已知它的一個內角的度數(shù)，就能算出其他兩個內角的度數(shù)，如果題中沒有確定這個內角是頂角還是底角，就要分兩種情況來討論．在分類時要注意：三角形的內角和等于180°；等腰三角形中至少有兩個角相等．1．等腰三角形中有一個角為52°，它的一條腰上的高與底邊的夾角為多少度？解：①若已知的這個角為頂角，則底角的度數(shù)為(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高與底邊的夾角為26°；②若已知的這個角為底角，則一腰上的高與底邊的夾角為38°.故所求的一腰上的高與底邊的夾角為26°或38°.類型2對腰長和底長的分類討論在解答已知等腰三角形邊長的問題時，當題目條件中沒有明確說明哪條邊是“腰”、哪條邊是“底”時，往往要進行分類討論．判定的依據(jù)是：三角形的任意兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊．2．(1)已知等腰三角形的一邊長等于6cm，一邊長等于7cm，求它的周長；(2)等腰三角形的一邊長等于8cm，周長等于30cm，求其他兩邊的長．解：(1)周長為19cm或20cm.(2)其他兩邊的長為8cm，14cm或11cm，11cm.3．若等腰三角形一腰上的中線分周長為9cm和12cm兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長．解：如圖，由于條件中中線分周長的兩部分，并沒有指明哪一部分是9cm、哪一部分是12cm，因此，應有兩種情形．設這個等腰三角形的腰長為xcm，底邊長為ycm，根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)x＝9，,\f(1,2)x＋y＝12))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)x＝12，,\f(1,2)x＋y＝9.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝9，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝5.))故腰長是6cm，底邊長是9cm或腰長是8cm，底邊長是5cm.類型3幾何圖形之間的位置關系不明確的分類討論4．已知C、D兩點在線段AB的中垂線上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝80°，求∠CAD的度數(shù)．解：①如圖1，當C、D兩點在線段AB的同側時，∵C、D兩點在線段AB的垂直平分線上，∴CA＝CB.∴△CAB是等腰三角形．又∵CE⊥AB，∴CE是∠ACB的平分線．∴∠ACE＝∠BCE.∵∠ACB＝50°，∴∠ACE＝25°.同理可得∠ADE＝40°，∴∠CAD＝∠ADE－∠ACE＝40°－25°＝15°；圖1圖2②如圖2，當C、D兩點在線段AB的兩側時，同①的方法可得∠ACE＝25°，∠ADE＝40°，∴∠CAD＝180°－(∠ADE＋∠ACE)＝180°－(40°＋25°)＝180°－65°＝115°.故∠CAD的度數(shù)為15°或115°.類型4運動過程中等腰三角形中的分類討論5．(下城區(qū)校級期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，在射線BC上一動點D，從點B出發(fā)，以2厘米每秒的速度勻速運動，若點D運動t秒時，以A、D、B為頂點的三角形恰為等腰三角形，則所用時間t為eq\f(25,8)或5或8秒．解析：①當AD＝BD時，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理，得AD2＝AC2＋CD2，即BD2＝(8－BD)2＋62，解得BD＝eq\f(25,4)cm.則t＝eq\f(\f(25,4),2)＝eq\f(25,8)(秒)；②當AB＝BD時，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10(cm)，則t＝eq\f(10,2)＝5(秒)；③當AD＝AB時，BD＝2BC＝16cm，則t＝eq\f(16,2)＝8(秒)．綜上所述，t的值可以是：eq\f(25,8)，5，8.6．(杭州期中)如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為t秒．(1)當t＝2秒時，求PQ的長；(2)求出發(fā)時間為幾秒時，△PQB是等腰三角形？(3)若Q沿B→C→A方向運動，則當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間．解：(1)BQ＝2×2＝4(cm)，BP＝AB－AP＝8－2×1＝6(cm)，∵∠B＝90°，∴PQ＝eq\r(BQ2＋BP2)＝eq\r(42＋62)＝2eq\r(13)(cm)．(2)根據(jù)題意，得BQ＝BP，即2t＝8－t，解得t＝eq\f(8,3).∴出發(fā)時間為eq\f(8,3)秒時，△PQB是等腰三角形．(3)分三種情況：①當CQ＝BQ時，如圖1所示，則∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∠A＋∠C＝90°.∴∠A＝∠ABQ.∴BQ＝AQ.∴CQ＝AQ＝5cm.∴BC＋CQ＝11cm.∴t＝11÷2＝5.5(秒)．②當CQ＝BC時，如圖2所示，則BC＋CQ＝12cm.∴t＝12÷2＝6(秒)．③當BC＝BQ時，如圖3所示，過B點作BE⊥AC于點E，則BE＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(6×