應用數(shù)值分析（一）

2023/10/27應用數(shù)值分析?數(shù)值分析是科學與工程計算的基礎，它研究在計算機上解決數(shù)學問題的理論和可行的數(shù)值方法。數(shù)值分析又叫計算方法、數(shù)值計算方法，什么是數(shù)值分析?（NumericalAnalysis）2023/10/27數(shù)學理論和計算機應用的緊密結(jié)合§1.1緒論2023/10/271.可行的數(shù)值方法有可計算性：面向計算機，根據(jù)計算機的

特點提供有效的算法有低的計算復雜性：時間和空間的復雜性有可靠的理論分析：算法的穩(wěn)定性、

收斂性和誤差分析只有滿足這三個條件的算法，才是可行的！2023/10/271）可計算性符號計算超出了數(shù)值計算的范疇不具有可計算性2023/10/272）低的計算復雜性可行的算法!2023/10/273）可靠的理論分析穩(wěn)定性收斂性誤差分析理論可靠精度可達算法收斂數(shù)值穩(wěn)定誤差可析有的方法雖理論上不夠嚴格,但實際計算、對比分析證實行之有效，也采用。例3計算2023/10/27造成這種情況的原因是：算法不穩(wěn)定(初始數(shù)據(jù)誤差在計算中傳播使計算結(jié)果誤差增長很快！)在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會是一個非常重要的話題。2023/10/27對給定的數(shù)學問題，構(gòu)造一個可行的數(shù)值方法。要求具有三個特點：可計算性低的計算復雜性可靠的理論分析數(shù)值分析的核心問題2023/10/272.本課程研究的范圍?數(shù)值分析是科學與工程計算的基礎，它研究在計算機上解決數(shù)學問題的理論和可行的數(shù)值方法。?數(shù)值分析要解決的數(shù)學問題：“高等數(shù)學”中的微積分計算“線性代數(shù)”中的矩陣計算，例如：線性方程組的求解，矩陣特征值計算，等等數(shù)值分析輸入復雜問題或運算

計算機近似解數(shù)值分析解決的問題？2023/10/272023/10/27數(shù)值分析數(shù)值逼近數(shù)值代數(shù)插值法最佳逼近數(shù)值積分和數(shù)值微分求解線性方程組非線性方程的求根法代數(shù)特征值問題的數(shù)值解法微分方程數(shù)值解常（偏）微分方程數(shù)值解?

泛函分析：在集合的基礎上，把客觀世界中研究對

象抽象為元素和空間，建立空間到空間的映射。

泛函分析將表面上彼此不相關(guān)的學科統(tǒng)一在它的普遍規(guī)律和共同框架之下。?空間到空間的映射：算子?空間到數(shù)集的映射：泛函

特別地，數(shù)集到數(shù)集的映射——函數(shù)，

函數(shù)空間到數(shù)集的映射——函數(shù)的函數(shù)什么是泛函分析？（FunctionalAnalysis）

2023/10/27?

泛函分析是進行數(shù)值算法研究的理論基礎，屬于分析數(shù)學。對數(shù)值算法而言，運用泛函分析的觀點與語言可使數(shù)值算法中很多定理與方法的推導變得簡潔、直觀。?本課程只介紹與數(shù)值算法有密切關(guān)系的泛函分析的基本概念和理論。（范數(shù)、內(nèi)積、不動點理論等等）泛函分析與數(shù)值算法的關(guān)系2023/10/2714構(gòu)造數(shù)值算法的基本思想近似替代離散化遞推化Chapter0Introduction15近似替代：用有限代替無限例416離散化：連續(xù)變量轉(zhuǎn)化為離散變量例517遞推化：復雜計算歸結(jié)為簡單過程的多次重復

（循環(huán)結(jié)構(gòu)，迭代法）例62023/10/274.學習本課程的重要性數(shù)值分析是科學與工程計算的基礎，它研究在計算機上解決數(shù)學問題的理論和可行的數(shù)值方法。數(shù)值分析是科學與工程計算的基礎科學與工程計算是繼理論分析和實驗后的第三種科學研究手段科學與工程計算正在突飛猛進的發(fā)展學習“計算方法”需注意如下幾點1.掌握算法的原理和思想。2.注意算法的處理技巧及與計算機結(jié)合,掌握步驟和計算公式。3.重視誤差分析、收斂性及穩(wěn)定性的基本理論。4.做一定的理論分析證明與計算練習5.上機實踐2023/10/27§2誤差理論2023/10/272023/10/271.誤差的來源與分類

從實際問題中抽象(簡化)出數(shù)學模型,模型與實際問題之間存在誤差——模型誤差通常假定模型合理，誤差可忽略不計2023/10/27

模型中有許多物理量，如溫度、長度、電壓、電流等，通過測量得到模型中參數(shù)的值，觀測產(chǎn)生誤差

——觀測誤差觀測誤差是不可避免的，可根據(jù)測量工具的精度估計誤差。2023/10/27

采用數(shù)值方法求模型的近似解，近似解與精確解之間有誤差——方法誤差(或截斷誤差)這是數(shù)值分析中要研究的對象2023/10/27

機器字長有限,數(shù)據(jù)在計算機中表示和計算過程產(chǎn)生誤差——舍入誤差2023/10/27大家一起猜？11/e解：將作Taylor展開后再積分S4R4取則稱為截斷誤差|

舍入誤差

|=0.747……由截去部分引起由留下部分引起2023/10/27例7記注：本課程“計算方法(數(shù)值分析)”主要研究截斷誤差和舍入誤差在計算過程中的傳播和對計算結(jié)果的影響，以提高計算的精度。2023/10/272.傳播與積累“蝴蝶效應”

一只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶,偶爾扇動幾下翅膀,可能在兩周后引起美國德克薩斯的一場龍卷風.

其原因在于：蝴蝶翅膀的運動,導致其身邊的空氣系統(tǒng)發(fā)生變化,并引起微弱氣流的產(chǎn)生,而微弱氣流的產(chǎn)生又會引起它四周空氣或其他系統(tǒng)產(chǎn)生相應的變化,由此引起連鎖反映,最終導致其他系統(tǒng)的極大變化.

此效應說明,事物發(fā)展的結(jié)果,對初始條件具有極為敏感的依賴性,初始條件的極小偏差,將會引起結(jié)果的極大差異。2023/10/27例：計算

公式一：記為則初始誤差2023/10/27迅速積累,誤差呈遞增走勢?？梢姵跏嫉男_動造成這種情況的原因是：算法不穩(wěn)定(初始數(shù)據(jù)誤差在計算中傳播使計算結(jié)果誤差增長很快！)2023/10/27

公式二：注意此公式與公式一在理論上等價?？扇≌`差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法§1.2.2

絕對誤差與相對誤差1、絕對誤差、絕對誤差限2023/10/27用一把有毫米的刻度的米尺,來測量桌子的長度,讀出的長度x*=1235mm2023/10/272023/10/27有兩根卷尺，X卷尺測量一根10ｍ長的圓鋼時發(fā)生了0.5cm的誤差，Ｙ卷尺測量10cm長的圓鋼時發(fā)生了0.5cm的誤差，絕對誤差都是0.5cm，哪一個更精確？Ｘ卷尺更精確！決定一個量近似值的優(yōu)劣，除了要考慮絕對誤差的大小外，還應考慮準確值本身的大?。?023/10/27定義1.2.22、相對誤差、相對誤差限2023/10/27相對誤差比絕對誤差更能反映準確數(shù)與近似數(shù)的差異。絕對誤差限和相對誤差限均無窮多，自然越小越好。誤差估計的任務是提供好的誤差限，誤差限越小，數(shù)據(jù)越準確可靠。某一數(shù)據(jù)的準確值為

x*,其近似值為

x，x的相對誤差:x的絕對誤差:

e(x)=x*-x如果存在一個適當小的正數(shù)

,，使得

分別稱

,

為絕對誤差限和相對誤差限。

數(shù)的浮點表示一臺微機價格:￥4999.00,

浮點數(shù)表示:0.4999×104地球半徑:6378137m,(6.378137e+006)

浮點數(shù)表示:0.6378137×107光速:2.99792458e+008

浮點數(shù)表示:0.299792458×109尾數(shù)部階碼部取

的有限位數(shù)如下(

≈3.1415926)取

x1=3，誤差限不超過0.5;取

x2=3.14,誤差限不超過0.005;若近似值x

的絕對誤差限是某一位上的半個單位，該位到x

的第一位非零數(shù)字一共有n

位，則稱近似值x

有n

位有效數(shù)字.

取

x3=3.1416,誤差限不超過0.00005;有效數(shù)字的概念注：0.2300有4位有效數(shù)字，而00023只有2位有效數(shù)字。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。

數(shù)字末尾的0不可隨意省去！39

相對誤差限

有效數(shù)字

有效數(shù)字位數(shù)越多，相對誤差限也就越??！定理1.2.2一個有n位有效數(shù)字的數(shù)絕對誤差限滿足：相對誤差限滿足：解:a1=5,利用不等式

所以,浮點數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)至少應取3位。例已知的十進制浮點數(shù)第一位是5，要使近似值的相對誤差限不大于0.1%，問浮點數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)至少應該為多少？取n≥3,有

|er(x)|≤10-3其中,正負號占1位,尾數(shù)占52位,階碼占11位.尾數(shù)階碼雙精度機器數(shù)占用64個二進制位單精度機器數(shù)占用32位二進制位其中,正負號占1位,尾數(shù)占23位,階碼占8位.例.圓面積計算的誤差估計圓面積計算公式:全微分近似:取

R=50cm,如果

cm≈2×1%=2%≈157cm2,1.一元函數(shù)

y=f(x)誤差分析(準確值

y*=f(x*))

由Taylor公式同理:所以誤差對函數(shù)計算的影響2.多元函數(shù)

z=f(x1,x2,···,xn)誤差分析(1)(3)(2)數(shù)據(jù)誤差對算術(shù)運算影響例.二次方程

x2–16x+1=0,取求

使具有4位有效數(shù)解:直接計算

x1≈8–7.937=0.063修改算法4位有效數(shù)計算出的x1

具有兩位有效數(shù)條件數(shù)很大的矩陣求逆求多項式值的秦九韶(Horner)算法

輸入

x；a0，a1，…，an

S←a0；u←1k

從

1到n循環(huán)u←x×uS←S+ak×u輸出數(shù)據(jù)S

；結(jié)束輸入

x；a0，a1，…，an

S←ank

從

n

到1

循環(huán)S←ak－1+x×S輸出數(shù)據(jù)S

；結(jié)束秦九韶算法P(x)=a0+a1x+a2x2+······+anxn

數(shù)值分析的特點：構(gòu)造性近似性數(shù)值化結(jié)果泛函分析集合算子：空間數(shù)空間空間泛函：賦范線性空間函數(shù)：數(shù)空間數(shù)空間映射：集合空間集合賦范線性空間數(shù)空間小結(jié)：數(shù)值分析的產(chǎn)生、特點誤差的產(chǎn)生、相關(guān)概念避免誤差的若干原則泛函實際問題數(shù)學模型數(shù)值問題數(shù)值方法數(shù)值結(jié)果（解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性）高效可靠理論分析程序設計（泛函分析）（計算機）收斂性相容性穩(wěn)定性計算時間存儲量邏輯復雜度模型誤差測量誤差截斷誤差舍入誤差2023/10/27作業(yè)1：課堂內(nèi)容小結(jié)課后習題1~10向量范數(shù)與矩陣范數(shù)向量范數(shù)矩陣范數(shù)賦范線性空間1:向量范數(shù)的定義向量范數(shù)如果向量的某個實值函數(shù)滿足下列條件：則稱是

上的一個向量范數(shù).稱為∞－范數(shù)稱為1－范數(shù)稱為2－范數(shù)稱為p－范數(shù)2:常用的向量范數(shù)向量范數(shù)在上的向量，三種常用的范數(shù)：解：例2：求全1向量的各種范數(shù).解：向量范數(shù)例1：計算向量的各種范數(shù).范數(shù)的連續(xù)性3:向量范數(shù)的性質(zhì)定理1向量范數(shù)3:向量范數(shù)的性質(zhì)定理2向量范數(shù)的等價性向量范數(shù)

68以(3)為例證明，向量范數(shù)例3：向量范數(shù)稱4:向量序列的收斂性定理3向量范數(shù)充分性證明:由向量范數(shù)等價性知道，只要對一種范數(shù)來證明，則對任一種范數(shù)都成立，為此取來證明.向量范數(shù)必要性由向量序列的收斂性定義可知定理3注：今后研究向量序列的收斂性時，可在任何一種范數(shù)意義下研究。小結(jié)向量范數(shù)定理：Rn上的任意兩個向量范數(shù)等價.范數(shù)的等價性保證了運用具體范數(shù)研究收斂性在理論上的合法性和一般性向量范數(shù)的定義向量范數(shù)的性質(zhì)1:矩陣范數(shù)的定義矩陣范數(shù)定義1如果A∈Rn×n的某個非負實值函數(shù)滿足：(1)正定性：(2)正齊性：對任意實數(shù)(3)三角不等式：對任意(4)乘法不等式：則稱為n階矩陣A的范數(shù)。76驗證：算子范數(shù)滿足矩陣范數(shù)的4條公理及相容性條件.由定義可得顯然，算子范數(shù)滿足定義1中的條件（1）（2）現(xiàn)驗證滿足條件（3）（4）矩陣范數(shù)例1：證明不是矩陣的算子范數(shù).反例：單位矩陣的F范數(shù)為說明不是矩陣的算子范數(shù).矩陣范數(shù)稱為∞－范數(shù)或行范數(shù)稱為1－范數(shù)或列范數(shù)稱為2－范數(shù)(其中λmax(ATA)表示ATA的最大特征值)稱為F－范數(shù)矩陣范數(shù)常用的矩陣范數(shù)例2：計算A的各種范數(shù).解：矩陣范數(shù)令即故最大的特征值為所以解得計算2-范數(shù)矩陣范數(shù)定理上的任意兩種矩陣范數(shù)都是等價的.即對上的任意兩種矩陣范數(shù)存在常數(shù)