立體幾何定義定理知識(shí)點(diǎn)

立體幾何基本定義定理公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線。公理3：經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面?？臻g兩條直線的位置關(guān)系：（1） 相交直線——有且僅有一個(gè)公共點(diǎn);（2） 平行直線——在同一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn);（3） 異面直線——不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn);公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（平行公理）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。（本定理中，如果去掉“并且方向相同”，則相應(yīng)的結(jié)論應(yīng)變?yōu)椤澳敲催@兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”）推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。類(lèi)似的在初中學(xué)過(guò)的定理：如果一個(gè)角的兩分別和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。直線a,b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)0,作直線a二b，并使a'IIa,b'//b，我們把直線a和b，所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。如果兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。異面直線的判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。異面直線所成角的范圍是（0。,90。］。證明兩條直線是異面直線的方法有兩種：（1） 利有“過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線”（2） 反證法。求兩條異面直線所成角的方法與步驟：（1） 平移法：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條；或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。證明作出的角即為所求的角。利用解三角形來(lái)求角，異面直線所成角的范圍是（0。,90。］。當(dāng)用平移轉(zhuǎn)化法繁瑣或無(wú)法平移時(shí)，可考慮兩異面直線是否為異面垂直。（2） 向量法：，?一、 *..... ■ 一，__ ——n?h，轉(zhuǎn)化為兩條直線上兩個(gè)向量的夾角或它的補(bǔ)角，利用公式cos9=lcos<a,b>1=1一^I來(lái)aIIbI求。關(guān)于異面直線的一組真命題：（1） 經(jīng)過(guò)兩條異面直線中的一條與另一條平行的平面存在且唯一;（2） 分別經(jīng)過(guò)兩異面直線中的一條且與另一條平行的一組平面存在且唯一；（3） 分別經(jīng)過(guò)兩異面直線中的一條且相互垂直的一組平面存在但不唯一;（4） 與兩異面直線都平行的平面存在但不唯一;（5） 過(guò)空間兩異面直線外一點(diǎn)與兩異面直線都平行的平面不一定存在。直線和平面平行的判定和性質(zhì)：直線和平面平行的概念：如果一條直線和一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么我們說(shuō)這條直線和這個(gè)平面平行。一條直線和一個(gè)平面的位置關(guān)系有且只有三種：（1） 直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn);（2） 直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn);（3） 直線和平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)。我們把直線和平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線在平面外。直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。經(jīng)過(guò)兩條平行線中的一條直線的平面，與另一條直線平行或經(jīng)過(guò)另一直線。直線和平面垂直的定義：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面互相垂直。其中直線叫做平面的垂線，平面叫直線的垂面。直線和平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)即交點(diǎn)叫做垂足。定理：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。直線和平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。從平面外一點(diǎn)引這個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么這條直線上各點(diǎn)到這個(gè)平面的距離相笠。一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線和這個(gè)平面的距離。定理：如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面。定理：平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面內(nèi)各點(diǎn)連結(jié)而成的線段中，垂直于平面的線段最短。過(guò)一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影，這點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段。一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直時(shí)，這條直線就叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足。從平面外一點(diǎn)向平面引斜線，這點(diǎn)與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段。平面外一點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段有且只有一條，而這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段有無(wú)數(shù)條。從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影，垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的斜線段在這個(gè)平面內(nèi)的射影。斜線上任意一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，一定在斜線的射影上。定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中：（1） 射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng);（2） 相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)；（3） 垂線段比任何一條斜線段都短。平面的一條斜線和它在這個(gè)面內(nèi)的射影所成的銳魚(yú)，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。一條直線垂直于平面，我們就說(shuō)它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，我們就說(shuō)它們所成的角是零度的角。最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角。

斜線和平面所成角的范圍是（0。,90。）。直線和平面所成角的范圍是［0。,90。］。如右圖，有如下公式：（三余弦定理）cosZPAB=cosZPAO-cosZBAO三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。運(yùn)用三垂線定理及其逆定理的步驟是：確定平面T作出垂線T找到垂足T連成射影T查面內(nèi)直線，其關(guān)鍵是確定平面及平面的垂線。定理：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線所在直線上。定理：兩條平行線和同一個(gè)平面所成的角相等。定理：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜射線，若斜射線和這個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么斜線在平面內(nèi)的射影是這個(gè)角的平分線所在的直線。兩個(gè)平面的位置關(guān)系只有兩種：（1） 兩個(gè)平面平行一一沒(méi)有公共點(diǎn)；（2） 兩個(gè)平面相交——有一條公共直線。兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一平面，那么這兩個(gè)平面平行。定理：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。兩個(gè)平面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面。兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。定理：如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面。和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩個(gè)平面的公垂線，它夾在這兩個(gè)平行平面間的部分，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段。兩個(gè)平行平面的公垂線段都相等。我們把公垂線段的長(zhǎng)度叫做兩個(gè)平行平面的距離。定理：夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。定理：平行于同一平面的兩個(gè)平面平行。定理：經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知平面平行。定理：一條直線和兩個(gè)平行平面相交，那么它和兩個(gè)平面所成的角相等。平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面。從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小范圍是［0。,180。］。平面角是直角的二面角叫做直二面角。二面角的平面角有三種作法：（1） 定義法：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線；（2） 垂面法：過(guò)二面角棱上任意上一點(diǎn)作垂直于棱的平面;（3） 三垂線定理法：當(dāng)已知一個(gè)平面內(nèi)的某點(diǎn)在另一平面內(nèi)的射影時(shí)，過(guò)該點(diǎn)作棱的垂線，連該點(diǎn)和垂足則得二面角的平面角。兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。兩個(gè)平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)。定理：自二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向這個(gè)二面角的兩個(gè)面引垂線，那么它們所成的角與這個(gè)二面角的平面角互補(bǔ)。定理：如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂線平行，那么這兩個(gè)平面互相垂直。定理：如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂面平行，那么這兩個(gè)平面互相垂直。定理：如果三條共點(diǎn)直線兩兩互相垂直，那么它們中每?jī)蓷l直線確定的平面也兩兩互相垂直。定理：三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直。定理：如果一個(gè)平面和不在這個(gè)平面內(nèi)的一條直線都垂直于另一個(gè)平面，那么這條直線和這個(gè)平面平行。關(guān)于線面平行和線面垂直的一組真命題:過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行。過(guò)直線外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與這條直線平行。過(guò)直線外或直線上一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與這條直線垂直。過(guò)直線外或直線上一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與這條直線垂直。過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與這個(gè)平面平行。過(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行。過(guò)平面外或平面內(nèi)一點(diǎn)有且只有一條直線與這個(gè)平面垂直。過(guò)平面外或平面內(nèi)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與這個(gè)平面垂直。有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側(cè)面，兩個(gè)面的公共邊叫做棱柱的棱，其中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)，不在同一個(gè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線叫做棱柱的對(duì)角線，兩個(gè)底面間的距離叫做棱柱的高。側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形-一??我們把這樣的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱 棱柱的性質(zhì)：側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形。底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體；側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫做直平行六面體；底面是矩形的直平行六面體叫做長(zhǎng)方體；棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體叫做正方體。定理：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線的長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和。｛正方體｝U｛長(zhǎng)方體｝U｛直平行六面體｝U｛平行六面體｝"%1,

V=—Sh錐體3有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐；這個(gè)多邊形叫做棱錐的底面，其余各面叫做棱錐的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱，各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)到底面的距離叫做棱錐的高。定理：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它們面積的比等于截得的棱錐的高與已知棱錐的高的平方比。如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。正棱錐的性質(zhì)：（1） 各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形；（2） 棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形。若十個(gè)平面多邊形圍成的幾何體，叫做多面體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，若干個(gè)面的公共頂點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。把多面體的任何一個(gè)面伸展為平面，如果所有其它各面都在這個(gè)平面的同側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體。一個(gè)多面體至少有四個(gè)面。多面體依照它的面數(shù)分別叫做四面體、五面體、六面體等。每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體叫做正多面體。正多面體只有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。歐拉公式：頂點(diǎn)數(shù)（V）+面數(shù)（F）—棱數(shù)（E）=2半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面。球面所圍成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球。半圓的圓心叫做球心。連結(jié)球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑。連結(jié)球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段叫做球的直徑。用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面。球的截面有下面的性質(zhì)：（1）球心和截面圓心的連線垂直于截面；（2）球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有下面的關(guān)系：r=.R2-d2球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過(guò)球心的截面截得的圓叫做小圓。在球面上，兩點(diǎn)之間的最短連線的長(zhǎng)度，就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度。我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)間的球面距離。4 1V=—兀R3=—兀D3 S=4兀R2=切2（其中R為球半徑，D為球直徑）球3 6 球A1B在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-ABCD中（如圖）A1Biiii（1） BD1平面ABC，BD1平面ADC，平面ABC//平面ADC，Bd被平面'ABC、平面ADC分成相等的三段。1 1 1 1 1 1（2）V=V =1a3,V =1a3B一ABf B1-ABC6 D1-ABf3（3） 正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中，每四個(gè)共面有12種情形。（4） 各面對(duì)角線間成0。、60?；?0。角。（5） 體對(duì)角線與面對(duì)角