關(guān)于亞純函數(shù)的輻射效應(yīng)

關(guān)于亞純函數(shù)的輻射效應(yīng)

1亞純函數(shù)的無限級在本文檔中，使用c和單獨(dú)表示復(fù)合平面和擴(kuò)展平面。除特殊描述外，本文檔中提到的亞純函數(shù)是指在復(fù)平面c中添加亞純函數(shù)的函數(shù)。本文還假設(shè)讀者熟悉值分布理論的標(biāo)準(zhǔn)注釋和基本內(nèi)容。亞純函數(shù)f的級ρ定義為設(shè)f和g為2個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù),a∈C.我們稱f和g在角域上IM(不計(jì)重?cái)?shù))分擔(dān)值a,如果f-a和g-a在D內(nèi)有相同的零點(diǎn).如果f-a和g-a在D內(nèi)不僅有相同的零點(diǎn),而且零點(diǎn)的重?cái)?shù)也相同,則稱f和g在角域D上CM(計(jì)重?cái)?shù))分擔(dān)值a.類似地,我們也可以定義f和g在角域D上IM(或者CM)分擔(dān)值∞,如果f-a和g-a在D內(nèi)有相同的極點(diǎn)(或者不僅有相同的極點(diǎn),而且極點(diǎn)的重?cái)?shù)也相同).在文中,Nevanlinna使用值分布理論證明了下面著名的五值定理。定理A設(shè)f和g為2個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù),是5個(gè)判別的復(fù)數(shù).如果f和g在C上IM分擔(dān)值ai(i=1,2,3,4,5),則f≡g.如果f和g在C上CM分擔(dān)4個(gè)不同值,則Nevanlinna在文中也證明了下面的四值定理。定理B設(shè)f和g為2個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù),(i=1,2,3,4)是4個(gè)判別的復(fù)數(shù),如果f和g在C上CM分擔(dān)值ai(i=1,2,3,4),則f是g的分式線性變換.從此以后很多作者研究了亞純函數(shù)的唯一性,并且獲得了一系列的研究結(jié)果.眾所周知,輻角分布是值分布論的一個(gè)主要研究對象.在亞純函數(shù)的輻角分布論的研究中,Borel方向起了重要的作用.Valiron證明了亞純函數(shù)輻角分布論的一個(gè)基本結(jié)果:一個(gè)級ρ>0的亞純函數(shù)至少有一條ρ級的Borel方向。在本文中,我們將利用Borel方向去研究亞純函數(shù)的唯一性.為了陳述我們的結(jié)果,需要一些準(zhǔn)備.為此我們引入熊慶來的無限級的概念。定義1.1設(shè)f是無限級亞純函數(shù)。實(shí)函數(shù)ρ(r)稱為函數(shù)f的無限級,如果ρ(r)滿足如下性質(zhì):(i)ρ(r)于r≥r0(r0>0)為連續(xù)非減,并且ρ(r)→∞(r→∞);(ii)命U(r)=rρ(r)(r≥r0),則(ⅲ)上述定義最先為熊慶來所介紹。假設(shè)ρ(r)是亞純函數(shù)f的無限級,用M(ρ(r))表示滿足的所有亞純函數(shù)g的集合。設(shè)α<β,β-α<2π,r>0.定義Ω(α,β)={z:α≤argz≤β},Ω(α,β,r)={z:α≤argz≤β,0<|z|≤r}.定義1.2設(shè)ρ(r)是亞純函數(shù)f的無限級。如果對任意給定的正數(shù)ε(<π)和任意的復(fù)數(shù),至多除去2個(gè)例外,有其中n(Ω(θ-ε,θ+ε,r),f=a)表示f-a在角域Ω(θ-ε,θ+ε,r)內(nèi)計(jì)重?cái)?shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),則稱從原點(diǎn)出發(fā)的射線argz=θ是f的ρ(r)級Borel方向。莊圻泰在文中已經(jīng)證明任意一個(gè)無限級的亞純函數(shù)至少有一條ρ(r)級Borel方向。在本文中,我們將證明下面的結(jié)果。定理1.1設(shè)ρ(r)是亞純函數(shù)f的無限級,g∈M(ρ(r),argz=θ(0≤θ<2π)是f的ρ(r)級Borel方向,是5個(gè)判別的復(fù)數(shù)。對任意給定的正數(shù)ε(<π),如果f和g在Ω(θ-ε,θ+ε)上IM分擔(dān)值ai(i=1,2,3,4,5),則f≡g。定理1.2設(shè)ρ(r)是亞純函數(shù)f的無限級,g∈M(ρ(r)),argz=θ(0≤θ<2π)是f的ρ(r)級Borel方向,是4個(gè)判別的復(fù)數(shù)。對任意給定的正數(shù)ε(<π),如果f和g在Ω(θ-ε,θ+ε)上CM分擔(dān)值ai(i=1,2,3,4),則f是g的分式線性變換。本文的安排如下:在第2節(jié)介紹Nevanlinna角域特征,并證明一些引理.在第3節(jié)證明定理1.1和定理1.2.2.nevhnna角域?yàn)榱俗C明我們的結(jié)果,先介紹角域內(nèi)的Nevanlinna理論.設(shè)f是角域Ω(α,β)上的亞純函數(shù),其中α<β且β-α<2π。根據(jù)Nevanlinna的定義,有其中是f在Ω(α,β)的計(jì)重?cái)?shù)的極點(diǎn)。Cα,β(r,f)是f在Ω(α,β)的極點(diǎn)的角域計(jì)數(shù)函數(shù).Nevanlinna角域特征函數(shù)定義為為了證明我們的結(jié)果,我們還需要下面的引理.引理2.1設(shè)f是C上的亞純函數(shù),Ω(α,β)(α<β,β-α<2π)是一個(gè)角域,則對任意的a∈C,有進(jìn)一步地,對任意q(q≥3)個(gè)不同的值,有其中和是f-aj在Ω(α,β)的不同零點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù)。引理2.2設(shè)f是C上的亞純函數(shù),Ω(α,β)(α<β,β-α<2π)是一個(gè)角域,則其中,1<r<R<∞,K是一個(gè)非零常數(shù).通過引理2.2和對數(shù)導(dǎo)數(shù)引理,容易得到下面的引理.引理2.3設(shè)f是C上的亞純函數(shù),Ω(α,β)(0<β-α<2π)是一個(gè)角域,則其中Rα,β(r,f)由(2.3)所定義,U(r)=rρ(r),ρ(r)是f的無限級,E是線性測度有限的集合。引理2.4設(shè)ρ(r)是亞純函數(shù)f的無限級,則射線argz=θ是f的ρ(r)級Borel方向的充要條件是對任意的正數(shù),有3-,+內(nèi)f分擔(dān)bib的特征定理1.1的證明設(shè)ρ(r)是f的無限級,g∈M(ρ(r))以及argz=θ(0≤θ<2π)是f的ρ(r)級Borel方向.假設(shè)對于任意給定的正數(shù)ε(<π),f和g在Ω(θ-ε,θ+ε)上IM分擔(dān)值。接下來我們分兩種情形證明f≡g。如果這個(gè)結(jié)論不成立,則。情形1首先假設(shè)ai≠∞(i=1,2,3,4,5).利用引理2.1,可得因此同樣地,也可以得到結(jié)合(3.1)和(3.2),有通過引理2.4,有因?yàn)間∈M(ρ(r)),所以結(jié)合(3.3)-(3.6),容易得出一個(gè)矛盾。因此f≡g。情形2如果有一個(gè)ai(i=1,2,3,4,5)是∞,不失一般性,我們假設(shè)a5=∞.令c(≠ai)(i=1,2,3,4,5)是一個(gè)有限值,及b5=0,則F和G在Ω(θ-ε,θ+ε)內(nèi)IM分擔(dān)bi(i=1,2,3,4,5).通過引理2.1可知,Sθ-ε,θ+ε(r,F)=Sθ-ε,θ+ε(r,f)+O(1)及Sθ-ε,θ+ε(r,G)=Sθ-ε,θ+ε(r,g)+O(1).利用類似情形1的證明,可得F≡G.因此f≡g。定理1.2的證明設(shè)ρ(r)是f的無限級,g∈M(ρ(r))以及argz=θ(0≤θ<2π)是f的ρ(r)級Borel方向,假設(shè)對于任意給定的正數(shù)ε(<π),f和g在Ω(θ-ε,θ+ε)上CM分擔(dān)值.令R(r)=O(ρ(r)logr),當(dāng)r→∞,,其中E是一個(gè)有限測度集合.利用引理2.1和引理2.3,有ai=1,2,3,4)中至少存在2個(gè)值,不妨設(shè)為a1,a2,使得否則,使用引理2.1我們?nèi)菀椎玫絊θ-ε,θ+ε(r,f)≤R(r),再利用引理2.3和引理2.4,容易得到矛盾.首先假設(shè)a1=∞.如果f≡g,則定理顯然成立。因此我們假設(shè),令如果,則因?yàn)閒和g在Ω(θ-ε,θ+ε)內(nèi)CM分擔(dān)a1(=∞),a2,a3,a4,容易得到H在Ω(θ-ε,θ+ε)沒有極點(diǎn),所以Cθ-ε,θ+ε(r,H)=0,且容易看到在Ω(θ-ε,θ+ε)內(nèi)f的每個(gè)極點(diǎn)是H的零點(diǎn)。由于f和g在Ω(θ-ε,θ+ε)內(nèi)CM分擔(dān)a1(=∞),所以此與(3.7)矛盾.所以H≡0.令類似于上面的討論,如果,則有Aθ-ε,θ+ε(r,J)+Bθ-ε,θ+ε(r,J)≤Rθ-ε,θ+ε(r,f)+Rθ-ε,θ+ε(r,g)=R(r),Cθ-ε,θ+ε(r,J)=0及Sθ-ε,θ+ε(r,J)≤R(r).因?yàn)閒和g在Ω(θ-ε,θ+ε)內(nèi)CM分擔(dān)a2,我們?nèi)菀字涝讦?θ-ε,θ+ε)內(nèi)f-a2的每個(gè)零點(diǎn)是J的零點(diǎn),所以此與(3.7)矛盾。所以J≡0。從H≡O(shè)和J≡0,可得(f-a2)2≡(