《構建知識體系》教學設計(廣西縣級優(yōu)課)x-八年級數學教案

人教版八年級下冊17.1《勾股定理》教學設計（第1課時）韋王瑩一、內容和內容解析1.內容勾股定理的探究、證明及簡單應用。2.內容解析勾股定理：直角三角形兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2＋b2=c2.勾股定理是中學數學重要定理之一，它揭示了直角三角形三邊之間的數量關系。由此，在直角三角形中已知任意兩邊長，就可以求出第三邊長。勾股定理常用來求解線段長度或距離問題。勾股定理的探究是從特殊的等腰直角三角形出發(fā)，到網格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，體現了從特殊到一般的探究過程和研究方法。證明勾股定理的關鍵是利用割補法求以斜邊為邊長的正方形的面積，并以此引導學生發(fā)現證明勾股定理的思路。我國對勾股定理的研究和其他國家相比是比較早的，在國際上得到肯定。要通過我國古代研究勾股定理的成就的介紹，培養(yǎng)學生的民族自豪感；要通過對勾股定理的探索和發(fā)現，培養(yǎng)學生學好數學的自信心。二、目標和目標解析1.目標（1）經歷勾股定理的探究過程，了解關于勾股定理的一些文化歷史背景，通過對我國古代研究勾股定理的成就的介紹，培養(yǎng)學生的民族自豪感。（2）能用勾股定理解決一些簡單問題2.目標解析目標（1）要求學生先觀察以直角三角形的三邊為邊長的正方形面積之間的關系，通過歸納和合理的數學表示發(fā)現勾股定理的結論。理解趙爽弦圖的意義及其證明勾股定理的思路，能通過割補法構造圖形證明勾股定理。了解勾股定理相關的史料，知道我國古代在研究勾股定理上的杰出成就。目標（2）要求學生能運用勾股定理進行簡單的計算，重點是已知直角三角形的兩邊長能求第三條邊的長度。三、教學問題診斷分析勾股定理是關于直角三角形三邊關系的一個特殊的結論。在正方形網格中比較容易發(fā)現以直角三角形三邊為邊長的正方形的面積關系，進而得出三邊之間的關系。但要從等腰直角三角形過渡到網格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，學生有較大難度。學生第一次嘗試用構造圖形的方法來證明定理存在較大的困難，解決問題的關鍵是要想到用合理的割補方法求以斜邊為邊的正方形的面積。因此，在教學中需要先引導學生觀察網格背景下的正方形的面積關系，然后思考去網格背景下的正方形的面積關系，再把這種關系表示成邊長之間的關系，這有利于學生自然合理地發(fā)展和證明勾股定理。四、信息技術與學科的融合點1.在探究網格中的一般直角三角形的三邊關系時，結合希沃白板的手寫功能，讓學生動手展示用割補的方法求正方形C的面積的過程，提高學生動手操作的能力，以及分析問題和解決問題的能力。2.在探究去網格背景下的一般直角三角形的三邊關系時，用幾何畫板展示以直角三角形三邊為邊長的正方形的面積關系，進而得出三邊之間的關系。幾何畫板可以實現兩個突破：（1）當直角三角形的形狀不變，只是邊長的大小變化時，讓學生觀察正方形面積間的關系；（2）當直角三角形的形狀改變時，讓學生再次觀察正方形面積間的關系。實現了圖形由靜向動的漸變過程，數形結合，有效地突破了教學難點，大大提高教學效率。3.在動手探究環(huán)節(jié)，讓學生運用交互式白板功能，利用四個全等的直角三角形和以直角三角形的斜邊為邊長的正方形，拼出另外一個正方形，從而進行對命題的證明。同時使用希沃視頻展臺展示學生的研究成果，對比小組之間不同的拼圖方法以及不同的證明方法，為學生創(chuàng)設了生動、直觀的現實情景，讓學生體驗自己努力得到結論的成就感，激發(fā)學生的學習欲望。4.利用幾何畫板展示勾股樹，讓學生感受數學之美，探究之趣。五、教學過程設計1.創(chuàng)設情境，探索新知問題1.如果有一天，外星人來到我們地球，我們該如何與他們對話呢？著名天文學家伽利略的話給我們以啟示，他說：“數學是用來書寫宇宙的文字?！蔽覈臄祵W家華羅庚教授，在《數學的用場與發(fā)展》一文中指出：“如果我們宇宙航船到了一個星球上，那兒也有如人類一樣高級的生命存在。我們用什么東西作為我們之間的媒介。帶幅去吧，那邊風景特殊不了解。帶一段錄音去吧，也不能溝通。我看最好帶兩個圖形去。一個‘數’，一個‘數形關系’（勾股定理）”。那么，到底是怎樣一個神奇的圖形，能讓我們與外星人建立起溝通的橋梁呢？設計意圖：

“問題是思維的起點”，用“如何與外星人對話”這樣一個有趣的問題，點燃學生的求知欲，以景激情，以情激思，引領學生進入學習情境，使學生帶著疑問進行教學。同時為探索勾股定理提供背景材料，進而引出課題。2.探究勾股定理問題2看似平淡無奇的現象有時卻隱含著深刻的數學道理。1、相傳在2500多年前，畢答哥拉斯有一次去朋友家做客時，發(fā)現朋友家用地磚鋪成的地面反映了直角三角形三邊的某種數量關系。觀察圖形，從圖中你發(fā)現了哪些常見的數學圖形？師生活動：學生觀察圖形，知道圖中有等腰直角三角形和正方形，且這些等腰直角三角形都是全等的。設計意圖：從觀察圖形入手，讓學生得出這些等腰直角三角形之間的關系，為后面求正方形面積之間的關系做好鋪墊。追問：正方形A，B，C各有幾個單位三角形？三個正方形A，B，C的面積有什么關系？師生活動：學生獨立觀察圖形，分析、思考其中隱含的規(guī)律。通過數等腰直角三角形的個數，得到結論，小正方形A，B的面積之和等于大正方形C的面積。追問：如何用圖中的小寫字母表示這三個正方形的面積關系？師生活動：學生觀察得到a2＋b2=c2.追問：這三個正方形圍成了一個怎么樣的圖形？師生活動：學生觀察容易得到，圍成了一個等腰直角三角形。追問：你能用圖中的小寫字母表示這個等腰直角三角形的三邊關系嗎？師生活動：學生發(fā)現，這個等腰三角形的三條邊正好是三個正方形的邊長，易得a2＋b2=c2.追問：你能用文字語言來描述這個數學等式嗎？師生活動：教師引導學生用自己的話來說等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。BCABCA設計意圖：從最特殊的等腰直角三角形入手，通過觀察正方形面積關系得到三邊關系：等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。問題3等腰直角三角形的三邊具有這樣的性質，那么一般的直角三角形是否也具有這樣的性質呢？讓我們借助于正方形網格來探究這個問題。師生活動：學生大膽猜測，認為可能有，也可能沒有。追問：網格中的一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個正方形A，B，C的面積并尋找它們之間的關系。師生活動：分別求出A，B，C的面積并尋找它們之間的關系。追問：正方形A，B，C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關系？師生活動：學生獨立思考后小組討論，難點是求以斜邊為邊長的正方形的面積，可由師生共同總結得出可以通過割、補兩種方法求出其面積。教師在學生回答的基礎上歸納方法----割補法，可以求得C的面積為13，教師引導學生直接由正方形的面積等于邊長的平方歸納出：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。設計意圖：網格中的直角三角形也是直角三角形的一種特殊情況，為計算方便，通常將直角邊長設定為整數，進一步體會面積割補法，為探究無網格背景下直角三角形三邊關系打下基礎，提供方法。問題4通過前面的探究活動，猜一猜，直角三角形三邊之間應該有什么關系？師生活動：教師引導學生得到猜想：如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2.設計意圖：在網格背景下，通過觀察和分析等腰直角三角形及一般的直角三角形三邊關系，為形成猜想提供了典型特例，于是猜想的形成變得水到渠成。問題5以上這些直角三角形的邊長都是具體的數值。一般情況下，如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b,斜邊長為c，剛剛提出的猜想仍然正確嗎？你能利用手中拿到的四個全等的直角三角形和一個以直角三角形的斜邊為邊長的正方形重新拼出一個正方形嗎？你能否利用你拼成的圖形證明a2＋b2=c2？師生活動：請兩個學生上黑板操作剪、拼、接的過程。學生通過獨立思考并進行小組討論，可以拼成如下正方形，利用等面積法證明得出：a2＋b2=c2拼法一：四個全等的直角三角形如圖拼成邊長為（a＋b）的大正方形，中間是邊長為c的正方形，則：(a+b)2=4×ab＋c2有a2+2ab+b2=2ab+c2，得a2＋b2=c2拼法二：四個全等的直角三角形如圖拼成邊長為c的大正方形，你如何利用這個圖形證明勾股定理？學生分組討論得出：由=4+，即面積相等法，即可求得c2=4×ab+(b-a)2設計意圖：學生經歷“由直觀判斷到理性證明的過程”，創(chuàng)造性地得出拼圖的多種方法，從而分散了教學難點，發(fā)現了利用面積相等去證明勾股定理的方法。這樣的設計培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維、一題多解和探究數學問題的能力。問題6引導結論的變形：由c2=a2+b2可得a2=c2－b2或者b2=c2－a2。設計意圖：引導學生明確，在直角三角形中，已知直角三角形的任意兩邊，可求第三邊。問題7動畫展示趙爽弦圖師生活動：學生歸納得出第一個圖的面積=第二個圖的面積，即a2＋b2=c2“趙爽弦圖”表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，是我國古代數學的驕傲。因此，當2002年第24屆國際數學家大會在北京召開時，“趙爽弦圖”被選作大會會徽。設計意圖：趙爽用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、數形統(tǒng)一樹立了一個典范，激發(fā)了學生熱愛祖國悠久歷史文化的情感，呼應課前引入的懸念，對學生進行愛國主義教育，激勵學生強烈的民族自豪感和奮發(fā)向上的學習精神。同時培養(yǎng)了學生的操作能力，為以后探究圖形的性質積累了經驗。問題8數學史話與勾股定理1、介紹古今中外對勾股定理的研究，及“勾，股，弦”的含義。2、我國早在三千多年就知道了這個定理,人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”，我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.因此就把這一定理稱為勾股定理。3、兩千多年前，古希臘有個畢達哥拉斯學派，他們首先發(fā)現了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理。為了紀念畢達哥拉斯學派，1955年希臘曾經發(fā)行了一枚紀念郵票。4、我國是最早了解勾股定理的國家之一。早在三千多年前，周朝數學家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中。設計意圖：同時讓學生欣賞豐富多彩的數學文化，展示不同文化背景下的勾股定理的應用，共同為全人類的偉大發(fā)現而驕傲。3.初步應用，鞏固新知練習1受臺風“山竹”的影響，一棵樹在離地面6m處折斷，樹頂落在離樹干底部8m處，則這棵樹在折斷前長度是______m。設計意圖：學會用勾股定理解決實際問題。練習21.填空題已知Rt?ABC中，∠C=90°⑴若a=4,b=3,則c=____

⑵若c=10,b=6,則a=____

⑶若a=5,c=13,則b=____設計意圖：在直角三角形中，已知兩邊，求第三邊，應用勾股定理求解。也可建立方程解決問題，滲透方程思想。2、如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形。已知正方形A，B，C，D的邊長分別是12,16,9,12，求最大正方形E的面積。設計意圖：練習設計上我立足于鞏固，著眼于發(fā)展，同時兼顧差異，滿足部分同學渴望發(fā)展的要求。最后引出美麗的勾股樹，讓學生驚嘆奇妙的數學之美。數學教學變得生機勃勃，讓我們的學生喜歡數學，熱愛數學。4.師生小結1.勾股定