《探究與發(fā)現(xiàn)解三角形的進(jìn)一步討論》教學(xué)設(shè)計(jì)(河北省縣級優(yōu)課)x-數(shù)學(xué)教案

人教版必修5第一章《正弦定理與余弦定理的綜合運(yùn)用---邊角互化》教學(xué)設(shè)計(jì)河北新河中學(xué)韓寶東一、教材分析：本節(jié)課是必修5第一章解三角形的第四課時。是即正弦定理和余弦定理后的兩定理的綜合應(yīng)用，是解三角形的工具。通過本節(jié)學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形.（2）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形的邊角互化問題。本節(jié)內(nèi)容與三角函數(shù)、向量聯(lián)系密切，為學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)解決實(shí)際問題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。二、學(xué)情分析：學(xué)生通過必修5的學(xué)習(xí)，對正弦定理、余弦定理的內(nèi)容已經(jīng)了解，但對于如何靈活運(yùn)用兩定理數(shù)學(xué)問題，怎樣合理選擇定理進(jìn)行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化從而解決三角形綜合問題，學(xué)生還需通過復(fù)習(xí)提點(diǎn)有待進(jìn)一步理解和掌握。三、教學(xué)目標(biāo)：1.知識目標(biāo)：（1）學(xué)生通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，會運(yùn)用正、余弦定理與三角形內(nèi)角和定理，面積公式解斜三角形的三類基本問題。（2）學(xué)生學(xué)會分析問題，合理選用定理實(shí)現(xiàn)邊角互化。2.能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨(dú)立解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理兩個定理的辯證思想及運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思維能力。3.情感目標(biāo)：通過探究回顧三角函數(shù)、正余弦定理，體現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問題的化歸與轉(zhuǎn)化思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，在教學(xué)過程中激發(fā)學(xué)生的探索精神。四、教學(xué)方法:探究式教學(xué)、講練結(jié)合重點(diǎn)難點(diǎn)：1、正、余弦定理的對于解解三角形的合理選擇；2、正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。五、教學(xué)策略與設(shè)計(jì)意圖：1、教學(xué)策略;（1）重視多種教學(xué)方法有效整合；（2）重視提出問題、解決問題策略的指導(dǎo)。（3）重視加強(qiáng)前后知識的密切聯(lián)系。（4）重視加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的培養(yǎng)。（5）注意避免過于繁瑣的形式化訓(xùn)練（6）教學(xué)過程體現(xiàn)“實(shí)踐→認(rèn)識→實(shí)踐”。2、設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過必修5的學(xué)習(xí)，對正弦定理、余弦定理的內(nèi)容已經(jīng)了解，但對于如何靈活運(yùn)用定理解決實(shí)際問題，怎樣合理選擇定理進(jìn)行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化從而解決三角形綜合問題，學(xué)生還需通過點(diǎn)撥有待進(jìn)一步理解和掌握。作為復(fù)習(xí)課一方面要將本章知識作一個梳理，另一方面要通過整理歸納幫助學(xué)生學(xué)會分析問題，合理選用并熟練運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形綜合問題。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，有利于學(xué)生加深數(shù)學(xué)知識的理解和掌握。教學(xué)中我們不能一味的講題，在教學(xué)中應(yīng)體現(xiàn)以下教學(xué)思想：（1）視教學(xué)各環(huán)節(jié)的合理安排：在教學(xué)中提出問題，再引導(dǎo)學(xué)生帶著問題對新知進(jìn)行探究，然后引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知識與方法，引出課題。激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)新知的欲望，使學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)呈一個螺旋上升的狀態(tài)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。（2）重視多種教學(xué)方法有效整合，以講練結(jié)合法、分析引導(dǎo)法、變式訓(xùn)練法等多種方法貫穿整個教學(xué)過程。（3）重視提出問題、解決問題策略的指導(dǎo)。（4）重視加強(qiáng)前后知識的密切聯(lián)系。對于新知識的探究,必須增加足夠的預(yù)備知識,做好銜接。要對學(xué)生已有的知識進(jìn)行分析、整理和篩選，把對學(xué)生后繼學(xué)習(xí)中有需要的知識選擇出來，在新知識介紹之前進(jìn)行復(fù)習(xí)。（5）注意避免過于繁瑣的形式化訓(xùn)練。從數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)上看解三角形內(nèi)容有不少高度技巧化、形式化的問題，我們在教學(xué)過程中應(yīng)該注意盡量避免這一類問題的出現(xiàn)。二、實(shí)施教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境、揭示提出課題引言：由于前兩節(jié)在正弦及余弦定理分節(jié)講解時，知識單一，知識綜合應(yīng)用意識有待加強(qiáng)，對于兩定理的選擇應(yīng)用上還需進(jìn)一步探究，揭示本節(jié)課題。（二）復(fù)習(xí)回顧、知識梳理1．利用正弦、余弦定理求角的區(qū)別：2、應(yīng)用這兩個定理可解決以下幾類問題：3、解三角形常用的邊角關(guān)系及公式總結(jié)：（三）典例導(dǎo)航、知識拓展題型一已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形【例1】在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝2eq\r(3)，b＝eq\r(6)，A＝45°，求邊長c.[思路點(diǎn)撥]本題可直接利用余弦定理求邊長c，也可先由正弦定理求出B，進(jìn)而求出C，然后利用正弦定理或余弦定理求出邊長c.法一在△ABC中，根據(jù)余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即c2－2eq\r(3)c－6＝0，所以c＝eq\r(3)±3.因?yàn)閏>0，所以c＝eq\r(3)＋3.法二在△ABC中，由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(6)×\f(\r(2),2),2\r(3))＝eq\f(1,2)，因?yàn)閎<a，所以B<A，B＝30°，C＝180°－A－B＝105°，sinCsin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，故c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2\r(3)×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq\r(3)＋3.評述：已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形的方法如下：可根據(jù)余弦定理列一元二次方程求出第三邊(注意邊的取舍)，再利用正弦定理求其他的兩個角；也可以由正弦定理求出第二個角(注意角的取舍)，再利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，最后再應(yīng)用正弦定理求出第三邊．【例2】在△ABC中，求證：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC.[思路探索]所證式子為既有邊又有角的三角函數(shù)式，考慮利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角．解：由正弦定理的推廣得a＝2RsinA，b＝2RsinB(R為△ABC外接圓的半徑)，于是：a2sin2B＋b2sin2A＝(2RsinA)2·sin2B＋(2RsinB)2·sin2A＝8R2·sinAsinB(sinAcosB＋cosAsinB)＝8R2sinAsinBsin(A＋B)，由A＋B＝π－C，得上式＝8R2sinAsinBsinC＝2·2RsinA·2RsinB·sinC＝2absinC.所以原式成立．規(guī)律方法：有關(guān)三角形的證明問題，主要涉及三角形的邊和角的三角函數(shù)關(guān)系．從某種意義上看，這類問題就是有目標(biāo)的對含邊和角的式子進(jìn)行化簡的問題，所以解題思路與判斷三角形形狀類似：邊化為角或者角化為邊．題型三正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用【例3】在△ABC中，A>B>C，且A＝2C，a＋c＝2b，求此三角形三邊之比．審題指導(dǎo)：正弦定理與余弦定理常常綜合考查．若三角形中的邊角關(guān)系較為復(fù)雜，則在化簡求值時，要選擇合適的轉(zhuǎn)化方向．【解題流程】[規(guī)范解答]：解：在△ABC中，由正弦定理得，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，(2分)∴eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(sin2C,sinC)＝2cosC，即cosC＝eq\f(a,2c).(4分)由余弦定理得，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).又∵a＋c＝2b，∴b＝eq\f(a＋c,2)，(6分)∴eq\f(a,2c)＝eq\f(a2－c2＋\f(1,4)a＋c2,2a·\f(a＋c,2)).整理得2a3－3a2c＋3c3－2ac2＝0，(8分)即(c2－a2)(3c－2a)＝0.解得a＝c或a＝eq\f(3,2)c，∵A>C，∴a>c，∴a＝c不合題意．(10分)當(dāng)a＝eq\f(3,2)c時，b＝eq\f(1,2)(a＋c)＝eq\f(5,4)c.∴a∶b∶c＝eq\f(3,2)c∶eq\f(5,4)c∶c＝6∶5∶4.(12分)【題后反思】余弦定理和正弦定理一樣，都是圍繞著三角形進(jìn)行邊角互化的，所以在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息．一般地，如果遇到的式子中含角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．（四）課時小結(jié)（由學(xué)生歸納總結(jié)，教師補(bǔ)充）1、轉(zhuǎn)化與化歸思想是在研究和解決有關(guān)問題時采用某種手段將問題轉(zhuǎn)化得到解決的一種解題策略．2、在本節(jié)中通過轉(zhuǎn)化與化歸思想，一般把需要解決的問題轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角問題，應(yīng)用正弦、余弦定理完成邊角的轉(zhuǎn)化，使問題得以解決．（五）課堂檢測（10分鐘）1、在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＝3，c＝3，B＝30°，求邊長a.2、在△ABC中，求證：eq\f(a－c·cosB,b－c·cosA)＝eq\f(sinB,sinA)3.已知△ABC的周長為eq\r(2)＋1，且sinA＋sinB＝eq\r(2)sinC．(1)求邊AB的長；(2)若△ABC的面積為eq\f(1,6)sinC，求C的度數(shù)．作業(yè)布置：1、在△A.BC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2C＝－eq\f(1,4)(1)求sinC的值；(2)當(dāng)a＝2,2sinA＝sinC時，求b及c的長．2、同步訓(xùn)練跟蹤檢測4四、教學(xué)反思本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面幾何、平面向量、正弦和余弦定理的基礎(chǔ)上而設(shè)置的復(fù)習(xí)內(nèi)容，因此本課的教學(xué)有較多的處理辦法。從解三角形的問題出