復合函數總結復習

.z.課次教學方案〔教案〕課題復合函數教學目標掌握復合函數的復合過程，定義域，值域，單調性與奇偶性的求法一、復合函數的構成設是到的函數，是到上的函數，且，當取遍中的元素時，取遍，則就是到上的函數。此函數稱為由外函數和函數復合而成的復合函數。說明：⑴復合函數的定義域，就是復合函數中的取值圍。⑵稱為直接變量，稱為中間變量，的取值圍即為的值域。⑶與表示不同的復合函數。例1．設函數，求．⑷假設的定義域為，則復合函數中，．注意：的值域．解復合函數題的關鍵之一是寫出復合過程例1：指出以下函數的復合過程?！?〕y=√2-*2(2)y=sin3*(3)y=3cos√1-*2解：(１)y=√2-*2是由y=√u,u=2-*2復合而成的?！?〕y=sin3*是由y=sinu,u=3*復合而成的?！?〕y=3cos√1+*2是由y=3cosu,u=√r,r=1-*2復合而成的。例2：復合函數的定義域問題⑴假設函數的定義域是[0，1]，求的定義域；⑵假設的定義域是[-1，1]，求函數的定義域；⑶定義域是，求定義域．要點1：解決復合函數問題，一般先將復合函數分解，即它是哪個函數和哪個外函數復合而成的．解答：⑴函數是由A到B上的函數與B到C上的函數復合而成的函數．函數的定義域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函數的值域為[0，1]．∴，∴，即，∴函數的定義域[0，]．⑵函數是由A到B上的函數與B到C上的函數復合而成的函數．的定義域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-1，∴,即的值域是[-3，1]，∴的定義域是[-3，1]．要點2：假設的定義域為，則的定義域就是不等式的的集合；假設的定義域為，則的定義域就是函數的值域。⑶函數是由A到B上的函數與B到C上的函數復合而成的函數．的定義域是[-4，5),∴A=[-4,5)即，∴即的值域B=[-1，8〕又是由到上的函數與B到C上的函數復合而成的函數，而,從而的值域∴∴∴∴的定義域是[1，〕．練習：1，f(*)的定義域為[0，1],求f(2*-1)的定義域。2，f(2*-1)的定義域為[0，1],求f(*)的定義域。3，f(*+3)的定義域為[１，２],求f〔2*-5〕的定義域。說明：①的定義域為(a,b)，求的定義域的方法：的定義域為，求的定義域。實際上是中間變量的的取值圍，即，。通過解不等式求得的圍，即為的定義域。②的定義域為(a,b)，求的定義域的方法：假設的定義域為，求的定義域。實際上是復合函數直接變量的取值圍，即。先利用求得的圍，則的圍即是的定義域,即使函數的解析式形式所要求定義域真包含的值域，也應以的值域做為所求的定義域，因為要確保所求外含數與條件下所要求的外含數是同一函數，否則所求外含數將失去解決問題的有效性。2．求有關復合函數的解析式，例6．①求；②，求．例7．①，求；②，求．要點3：求復合函數的解析式，直接把中的換成即可。求的常用方法有：配湊法和換元法。配湊法就是在中把關于變量的表達式先湊成整體的表達式，再直接把換成而得。換元法就是先設，從中解出〔即用表示〕，再把〔關于的式子〕直接代入中消去得到，最后把中的直接換成即得，這種代換遵循了同一函數的原則。例8．①是一次函數，滿足，求；②，求．要點4：⑴當函數的類型求函數的解析式時，一般用待定系數法。⑵假設抽象的函數表達式，則常用解方程組、消參的思想方法求函數的解析式。滿足*個等式，這個等式除是未知量外，還出現其他未知量，如、等，必須根據等式再構造出其他等式組成方程組，通過解方程組求出。解析式的求法練習代入法例1、，求待定系數法例2、二次函數滿足，且的兩實根平方和為10，圖像過點，求解析式換元法例3、，求解析式配湊法〔用于二次函數較多〕例4、，求解析式消元法〔構造方程組法，賦值法〕例5、2，求解析式利用函數的性質求解析式例6、函數是定義在區(qū)間上的偶函數，且時，(1)求解析式(2)假設矩形頂點在函數圖像上，頂點在*軸上，求矩形面積的最大值例7、函數是定義在R上的周期函數，周期，函數是奇函數，又知在上是一次函數，在上是二次函數，且在時函數取得最小值，最小值為-5〔1〕證明：〔2〕試求，的解析式〔3〕試求在上的解析式復合函數的值域換元法：求函數；的值域分式法求的值域。例1、〔指、對數函數作層函數〕己在函數〔1〕求函數的值域〔2〕假設時，函數的最小值為和最大值例2、〔耐克函數〕求函數的值域【變式訓練】求函數的值域例3、〔其它函數復合〕求函數的值域二、復合函數的性質1、復合函數在區(qū)間上的單調性：〔同增異減〕,增減性一樣時,為增函數,,增減性相反時,為減函數.求復合函數單調區(qū)間的步驟是：(1)求函數的定義域；(2)用換元法把復合函數分解成常見函數；(3)求各常見函數的單調區(qū)間；(4)把中間變量的變化區(qū)間轉化成自變量的變化區(qū)間；(5)按復合函數單調性的規(guī)律，求出復合函數的單調區(qū)間．例8、求以下函數的單調區(qū)間：

y=(*2－4*+3)2例9、求復合函數的單調區(qū)間例10、求y=的單調區(qū)間和最值。例11、求y=的單調區(qū)間。例12、求y=1/〔*2－4*+3〕的單調區(qū)間。2、復合函數的奇偶性假設函數的定義域都是關于原點對稱的,則由的奇偶性得到的奇偶性的規(guī)律是:函數奇偶性奇函數奇函數偶函數偶函數奇函數偶函數奇函數偶函數奇函數偶函數偶函數偶函數即當且僅當和都是奇函數時,復合函數是奇函數.〔與奇數偶數的乘法類似〕

假設f〔*〕=*3,g(*)=*2+1

判斷以下函數奇偶性：

A.f(*〕*g〔*)

B.f(g(*))

C.g(f(*))

課后作業(yè)：1、假設函數定義域為，則函數的定義域為2、函數定義域為R，則實數的取值圍是3、，則=4、，則=5、函數的圖像與函數的圖像關于點A(0,1)對稱〔1〕求函數的解析式〔2〕假設，且在區(qū)間上的值不小于6，數的取值圍6、設是定義在R上的函數，且滿足，當時，，求時的解析式7、的定義域為R,則求的取值圍8、函數,求函數的定義域，并討論它的奇偶性單調性。9、求函數的值域。10、求函數在上的值域?？偨Y：１．復合函數的構成；設函數，，則我們稱是由外函數和函數復合而成的復合函數。其中被稱為直接變量，被稱為中間變量。復合函數中直接變量的取值圍叫做復合函數的定義域，中間變量的取值圍，即是的值域，是外函數的定義域。２．有關復合函數的定義域求法及解析式求法：⑴定義域求法：求復合函數的定義域只要解中間變量的不等式〔由解〕；求外函數的定義域只要求中間變量的值域圍〔由求的值域〕。一個復合函數求另一個復合函數的定義域，必須先求出外函數的定義域。特別強調，此時求出的外函數的定義域一定是前一個復合函數的函數的值域。⑵解析式求法：待定系數法、配湊法、換元法、解方程組消元法．四：外函數解析式其本身決定定義域的主要依據有：⑴當為整式或奇次根式時，R；⑵當為偶次根式時，被開方數不小于0〔即≥0〕；⑶當為分式時，分母不為0；當分母是偶次根式時，被開方數大于0；⑷當為指數式時，對零指數冪或負整數指數冪，底不為0〔如，中〕。⑸當是由一些根本函數通過四則運算結合而成的，它的定義域應是使各局部都有意義的自變量的值組成的集合，即求