角形域移流擴散濃度分布的理論公式

角形域移流擴散濃度分布的理論公式

0排污濃度分布的理論分析當(dāng)水庫邊緣的廢水進入接收水域時，廢水在水面和岸壁之間的角形區(qū)中流動和擴散。由于水庫的傾斜岸坡一般延伸較長,寬度和水深都比較大,因此,傾斜岸坡角形域頂點排污產(chǎn)生的污染物濃度分布基本不受其對岸邊界反射的影響。在橫向與垂向擴散系數(shù)相等的條件下,Holley等研究了梯形渠道中的污染物岸邊排放,并給出橫斷面水深的變化對濃度分布的影響;劉昭偉等定性分析了邊坡傾角對梯形渠道中濃度分布的影響,并通過合理的假設(shè)建立了梯形渠道岸邊排污濃度分布的計算公式;武周虎采用解析法給出了傾斜岸水庫污染混合區(qū)的理論分析及簡化條件。在橫向與垂向擴散系數(shù)不相等的條件下,武周虎采用解析法給出了鉛垂岸水庫污染混合區(qū)的理論分析及簡化條件;武周虎采用鏡像法原理和角形域平面鏡映射實驗,對水庫傾斜岸坡地形滿足內(nèi)角θ=180°/n(n為自然數(shù),β=2n為偶數(shù))情況下,給出了角形域映射圖,推導(dǎo)了角形域頂點排污濃度分布的理論公式。本文在作者文獻研究的基礎(chǔ)上,在n=(自然數(shù)+0.5)(β為奇數(shù))情況下,給出角形域映射圖;推導(dǎo)瞬時線源排放和等強度連續(xù)點源排放下角形域頂點排污濃度分布的理論公式;并結(jié)合文獻的理論公式,在角域映射系數(shù)β=360°/θ為自然數(shù)的情況下,分析角形域頂點排污濃度分布的變化規(guī)律,討論結(jié)果的合理性及其應(yīng)用范圍。1與等強度像源和像源的映射利用鏡像法,形成角形域的水面和傾斜岸坡均被看成平面鏡。根據(jù)平面鏡成像原理和角形域平面鏡光學(xué)映射實驗結(jié)果,所有景物(包括源和邊界)在平面鏡(包括像鏡、像·像鏡、多重像鏡等)的“背面”對稱位置形成其“像、像·像、多重像等”,包括像源、像鏡、像·像源、像·像鏡、多重像源和多重像鏡等,依次形成角形域映射圖譜。在圖1中,令∠AOB=θ,并且滿足θ=360°/β,β為奇數(shù)(下同)。圖1給出了角形域映射示意圖,圖中OA為水面,OB為傾斜岸坡,AOB是角形域。在角形域內(nèi)加入一個垂直于紙平面的線源,圖中以實源S表示,長方形源點表示橫向與垂向擴散系數(shù)不相等的擴散特征。解決各種邊界所限制的擴散問題,通常是運用疊加原理,如果方程和邊界是線性的,則可以疊加任意數(shù)量方程的單獨解,而得到新的解。當(dāng)考慮水面和傾斜岸全反射時,污染物沿角形域頂點向外的徑向可擴散至無窮遠(yuǎn),在角形域邊界上物質(zhì)不能通過它而擴散,其擴散通量為零,按費克定律應(yīng)有濃度梯度ue014C/ue014n=0,成為擴散應(yīng)滿足的邊界條件。當(dāng)β=5、θ=72°時,見圖1(a)。在水面上方對稱位置加入一個虛擬的等強度像源S’和像岸OB’;在傾斜岸左側(cè)對稱位置分別加入一個虛擬的等強度像源S1’和像水面OA’;在像岸OB’左側(cè)對稱位置分別加入一個虛擬的等強度像·像源S”和像·像水面OA”;在像水面OA’左上側(cè)對稱位置分別加入一個虛擬的等強度像·像源S1”和像·像岸OB”。注意到像·像水面OA”與像·像岸OB”是重合的,即OA”與OB”所形成的角形域影像區(qū)消失。取消水面邊界后,實源S與像源S’、像源S1’與像·像源S”的垂向擴散強度相等而符號相反的作用仍能保持水面的邊界條件,但像·像源S1”的垂向擴散通量不能滿足物面邊界條件;取消傾斜岸邊界后,實源S與像源S1’、像源S’與像·像源S1”在傾斜岸邊界法向的擴散強度相等而符號相反的作用仍能保持傾斜岸的邊界條件,但像·像源S”在傾斜岸邊界法向的擴散通量不能滿足物面邊界條件。當(dāng)β=7,θ=51.4°時,見圖1(b)?！捌矫骁R”O(jiān)A將OB映射成OB’,即為像岸,“平面鏡”O(jiān)B將OA映射成OA’,即為像鏡;OA’將OB映射成OB”,即為像·像岸,OB’將OA映射成OA”,即為像·像鏡;OA”將OB’映射成OB”’,即為多重像岸,OB”將OA’映射成OA”’,即為多重像鏡。圖中分布于OA兩側(cè)的實源和像源被同步映射到OA’、OA”兩側(cè)和OA”’一側(cè),后者是因為OA”’與OB”’是重合的,即OA”’與OB”’所形成的角形域影像區(qū)消失。這些等強度像源、像·像源和多重像源的擴散特征為橫向OA、OA’、OA”、OA”’,與之垂直方向為垂向擴散。當(dāng)β=9,θ=40°時,見圖1(c)。從OA到OA’、OA”再到OA”’、從OB到OB’、OB”再到OB”’的映射過程與β=7基本相同,只是由于β值的增大、θ值減小,剩余的區(qū)域又映射出OA””(OB””)。當(dāng)β=11,θ=32.7°時,見圖1(d)。如此類推,當(dāng)β為奇數(shù)時,水面OA或傾斜岸OB的像或多重像總是成對出現(xiàn)且最后一對多重像總是重合的,OA、OA’、OA”……等兩側(cè)或一側(cè)分布有等強度的源、像源或多重像源,而OB、OB’、OB”……等兩鄰側(cè)均無任何源。擴散特征為橫向OA、OA’、OA”……等,與之垂直方向為垂向擴散。根據(jù)β個實源、像源和多重像源在角形域所在平面的對稱性分析,在角形域的兩條邊界及其延長線兩側(cè)各有β-1個實源、像源和多重像源與之呈對稱分布(見圖1),可以得到這β-1個實源、像源和多重像源在角形域的兩條邊界(法向)上均滿足濃度梯度和擴散通量為零的物面條件;不滿足對稱分布的一個多重像源,在角形域內(nèi)所占的物質(zhì)擴散份額約為1/β,由此而引起不滿足邊界條件的濃度誤差應(yīng)不會超過1/2β。當(dāng)奇數(shù)β>10(即θ<36°)時,該濃度誤差小于5%。因此,由β個實源、像源和多重像源在角形域內(nèi)擴散濃度的疊加可以得到在角形域內(nèi)污染物濃度的理論公式。2角形域aod內(nèi)擴散質(zhì)的濃度分布及分布如圖1水面OA為橫向坐標(biāo)y,水面向下為垂向坐標(biāo)z,垂直于yoz截面為縱向坐標(biāo)x。設(shè)t=0時刻,在水面OA和傾斜岸坡OB形成的角形域頂點縱向瞬時均勻地投入線源保守擴散質(zhì),向半無限角形域∠AOB=θ擴散,單位長度的擴散質(zhì)——線源強度為m。可采用角形域映射原理和擴散理論來分析該區(qū)域內(nèi)擴散質(zhì)的濃度分布。設(shè)線源位于S(y0,z0),橫向與垂向擴散系數(shù)分別為Ey和Ez。當(dāng)β為奇數(shù)時,線源的角形域映射見圖1。此時,不考慮實際邊界的單個實源擴散形成的濃度分布為式中:C(y,z,t)為單個實源擴散形成計算點P(y,z)的擴散質(zhì)濃度;t為時間。按照疊加原理,可認(rèn)為具有實際角形域邊界的單個實源形成的濃度和不考慮實際邊界時實源、像源、像·像源、多重像源等擴散疊加形成的濃度,在奇數(shù)β>10時是近似等價的,定義域為yue0240,ytanθue024zue0240。令y0=z0=0,即線源位于角形域頂點處(下同),須注意各源的擴散特征。根據(jù)角形域映射原理和各源的擴散特征,對分布于OA、OA’、OA”……等兩側(cè)成對出現(xiàn)的等強度源、像源或多重像源,兩源重合且擴散特征相同,可以按源強乘2、源的數(shù)量減半計算;對分布于水面和傾斜岸多重像重合線的OAn’(OBn’)一側(cè)的等強度多重像源,單獨計算濃度進行疊加。各源的擴散特征按擴散橫向和垂向的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)進行分析。當(dāng)β=5、θ=72°時,角形域AOB內(nèi)擴散質(zhì)的濃度分布的理論公式可表示為當(dāng)β=7,θ=51.4°時,角形域AOB內(nèi)擴散質(zhì)的濃度分布的理論公式可表示為同理類推,當(dāng)N=INT(β/4)=INT(β/4+0.5)時(其中INT()函數(shù)為將數(shù)值向下取整為最接近的整數(shù)),i=-N+1,-N+2,……N;當(dāng)N=INT(β/4)≠INT(β/4+0.5)時,i=-N,-N+1,……N。角形域AOB內(nèi)擴散質(zhì)的濃度分布的理論公式可統(tǒng)一表示為式(4)表示了水面和傾斜岸坡形成的角形域頂點排污、橫向與垂向擴散系數(shù)不相等條件下,靜止水體中瞬時線源擴散,角形域內(nèi)濃度分布的理論公式,適用條件β=360°/θ(β為奇數(shù)),對β為大于10的奇數(shù)計算精度較高。3面為等強度連續(xù)點源擴散質(zhì)基于略去縱向擴散項的移流擴散簡化方程,在保守物質(zhì)等強度連續(xù)點源條件下的解析解式中:x為沿水流向的縱坐標(biāo);m·為單位時間的排污強度;U為斷面平均流速。式(5)為在水面OA和傾斜岸坡OB形成的角形域頂點以等強度連續(xù)點源方式投入保守擴散質(zhì),不考慮實際邊界的單個實源擴散形成的濃度分布。按照靜止水體中瞬時線源擴散的類似分析方法,不難得到,當(dāng)β為奇數(shù)、(β=360°/θ)時,傾斜岸坡角形域頂點等強度連續(xù)點源移流擴散情況下,角形域AOB內(nèi)擴散質(zhì)的濃度分布為式(6)表示了水面和傾斜岸坡形成的角形域頂點排污、橫向與垂向擴散系數(shù)不相等條件下,等強度連續(xù)點源移流擴散,角形域內(nèi)濃度分布的理論公式,適用條件θ=360°/β(β為奇數(shù)),對β為大于10的奇數(shù)計算精度較高。4岸坡傾角和角域映射系數(shù)在水面和傾斜岸坡形成的角形域頂點排污、橫向與垂向擴散系數(shù)不相等條件下,角形域內(nèi)濃度分布的理論公式(4)和公式(6)是在已有擴散理論的基礎(chǔ)上,在靜止水體或均勻恒定流、邊界規(guī)則、半無限水域條件下,按照β個實源、像源和多重像源擴散的疊加原理和β-1個實源、像源和多重像源擴散的物面擴散通量為零及一個多重像源擴散的物面擴散通量不為零的近似邊界條件,根據(jù)鏡像法原理和角形域平面鏡光學(xué)映射實驗結(jié)果,經(jīng)過數(shù)學(xué)推理得到。由于式(4)中的變量m、t與式(6)中的變量m·、x存在如下變量替換關(guān)系:靜止水體中瞬時線源的擴散與等強度連續(xù)點源的移流擴散簡化方程,兩者濃度分布的函數(shù)形式和分布曲線形態(tài)相同,因此,從式(6)進行結(jié)果分析與討論。當(dāng)β為偶數(shù)(n=β/2)時,采用文獻給出的角形域頂點排污濃度分布的理論公式:以便分析本文理論公式的合理性和β為自然數(shù)時角形域頂點排污濃度分布的變化規(guī)律。在式(6)和式(9)中令y=0,z=0得到角形域頂點排污斷面最大濃度為:式中:θ=2!/β為傾斜岸坡形成角形域的內(nèi)角,單位取弧度;角域映射系數(shù)β為自然數(shù)。由式(10)可以看出,角形域頂點排污斷面最大濃度與岸坡傾角θ和縱坐標(biāo)x均成反比。在式(6)和式(9)中取等強度連續(xù)點源的排污強度m·=100g/s,橫向與垂向擴散系數(shù)分別為Ey=0.1m2/s和Ez=0.01m2/s,平均流速U=0.5m/s,岸坡傾角和角域映射系數(shù)的計算值見表1,計算斷面位于排污口下游x=50m和100m處的水面、垂線或圓弧線上的污染物濃度分布。圖2繪制了在x=50m和100m處y=0、2m、5m、10m的水面點污染物濃度隨邊坡傾角的變化曲線,圖3繪制了不同邊坡傾角情況下在x=50m處y=5m點的垂線濃度分布,圖4繪制了在x=100m處ryz=5m圓弧線上的濃度分布。由圖2可以看出,在橫向與垂向擴散系數(shù)不相等的情況下,除y=0點外水面點污染物濃度均呈現(xiàn)以角域映射系數(shù)β=4的倍數(shù)的周期性波動規(guī)律。當(dāng)β=4、8、12、16……(θ=90°、45°、30°、22.5°……)時,水面點污染物濃度處于周期性波動的較高位置;當(dāng)β=4的倍數(shù)加2時,水面點污染物濃度處于周期性波動的較低位置。從總體上看,水面點污染物濃度隨岸坡傾角θ的增大而呈現(xiàn)波狀衰減的趨勢,當(dāng)距離排放岸越近時,污染物在角形域排污頂點附近擴散和反射,空間狹小、污染物聚積、濃度增大是主要特征,此時污染物濃度隨角形域內(nèi)角的增大而減小;而當(dāng)距離排放岸越遠(yuǎn)時,污染物擴散更能體現(xiàn)橫向與垂向擴散系數(shù)不相等以及不同的邊界映射特征,即污染物濃度差減小,周期性明顯。這一周期性變化特性與平面域分成四個象限有關(guān),也可以通過角形域映射示意圖1看出。水面點污染物濃度隨邊坡傾角(角域映射系數(shù))周期性變化規(guī)律的發(fā)現(xiàn),揭開了傾斜岸坡角形域頂點排污濃度分布規(guī)律的神秘面紗,這也是長期困擾學(xué)術(shù)界的難題。由圖2還可以看出,在水面y=0點,不同邊坡傾角都是x=50m處的污染物濃度大于x=100m處的污染物濃度,而在水面y=10m點,不同邊坡傾角都是x=50m處的污染物濃度小于x=100m處的污染物濃度,這一濃度變化規(guī)律符合污染物輸移擴散濃度分布的一般規(guī)律,即縱坐標(biāo)x越小,污染物濃度最大值越大,污染物擴散范圍越窄;反之,當(dāng)縱坐標(biāo)x越大,污染物濃度最大值越小,污染物擴散范圍越寬。由圖3可以看出,當(dāng)β=8、12、16……(θ=45°、30°、22.5°……)時,在x=50m處y=5m點的垂線濃度分布呈現(xiàn)基本相同的單調(diào)遞減變化趨勢,不同邊坡傾角的水面點濃度在同一周期內(nèi)為最大值;當(dāng)β=10、14……(θ=36°、25.7°……)時,在x=50m處y=5m點的垂線濃度分布呈現(xiàn)基本相同的單調(diào)遞減變化趨勢,不同邊坡傾角的水面點濃度在同一周期內(nèi)為最小值,水面點與底部點濃度差減小;當(dāng)β=9、13……(θ=40°、27.7°……)時,在x=50m處y=5m點的垂線濃度分布呈現(xiàn)基本相同的單調(diào)遞減變化趨勢,不同邊坡傾角的水面點濃度分別介于β=8與10、12與14……(θ=45°與36°、30°與25.7°……)的水面點濃度之間;當(dāng)β=11、15……(θ=32.7°、24°……)時,在x=50m處y=5m點的垂線濃度分布呈現(xiàn)基本相同的先遞增后遞減變化趨勢,不同邊坡傾角的水面點濃度分別介于β=10與12、14與16……(θ=36°與30°、25.7°與22.5°……)的水面點濃度之間。由圖3可以清楚地看出,垂線濃度分布呈現(xiàn)隨角域映射系數(shù)β=4的倍數(shù)的周期性變化規(guī)律,特別在β=4的倍數(shù)加3或β=4的倍數(shù)減1時出現(xiàn)垂線最大濃度在水面下一定深度的情況。文獻給出的三峽庫區(qū)涪陵磷肥廠排污口污染帶同步觀測資料表明,在排污口下游20m、50m、100m處的庫岸邊坡傾角分別為θ=31.4°、θ=33.9°、θ=31.8°,且變化范圍較小,其平均值為θ=32.4°比較接近θ=32.7°(β=11)的條件,上述三個斷面同步觀測的垂線濃度分布在水面下一定深度出現(xiàn)最大濃度特征的情況,可以采用本文理論給出較為合理的解釋。由圖4可以看出,當(dāng)邊坡傾角分別處于同一周期的四個θ=27.7°、25.7°、24°、22.5°(β=13~16)時,由x=100m處ryz=5m圓弧線上的污染物濃度分布可知,水面點濃度依次為10.1mg/L、9.8mg/L、10.1mg/L和11.4mg/L,相應(yīng)邊坡傾角圓弧線上底部點濃度依次為8.2mg/L、9.8mg/L、11.0mg/L和11.1mg/L。當(dāng)θ=27.7°和22.5°時,水面點濃度大于相應(yīng)邊坡傾角圓弧線上底部點濃度;當(dāng)θ=25.7°時,水面點濃度等于相應(yīng)邊坡傾角圓弧線上底部點濃度;當(dāng)θ=24°時,水面點濃度小于相應(yīng)邊坡傾角圓弧線上底部點濃度。由以上結(jié)果分析可以看出,傾斜岸坡形成的角形域頂點排污濃度分布的復(fù)雜性和多重性,討論如下:1)當(dāng)Ey=Ez=E時,由式(6)和式(9)得到保守物質(zhì)等強度連續(xù)點源條件下角形域AOB內(nèi)擴散質(zhì)的濃度分布為式中:為傾斜岸坡形成角形域的內(nèi)角,單位取弧度;角域映射系數(shù)β為自然數(shù)。這一結(jié)果與文獻中h→0的情況和文獻中的條件及結(jié)果完全一致。2)當(dāng)x=定值時,在yoz全平面域上式(5)的等濃度