廣東省江門(mén)市重點(diǎn)中學(xué)2023年高三下學(xué)期自主練習(xí)數(shù)學(xué)試題

廣東省江門(mén)市重點(diǎn)中學(xué)2023年高三下學(xué)期自主練習(xí)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，橢圓的方程，雙曲線的方程為，和的離心率之積為，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．2．設(shè)全集，集合，則＝()A． B． C． D．3．過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，，，為切點(diǎn)，當(dāng)直線，關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，（）A． B． C． D．4．歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．在中，點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn)，，，則（）A． B．-2 C． D．26．已知雙曲線：，，為其左、右焦點(diǎn)，直線過(guò)右焦點(diǎn)，與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，若，則直線的斜率為()A． B． C． D．7．已知向量，滿足，在上投影為，則的最小值為()A． B． C． D．8．若2m＞2n＞1，則（）A． B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0 D．9．盒中有6個(gè)小球，其中4個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取個(gè)球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后放回，此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù)，則()A．， B．，C．， D．，10．已知函數(shù)，，若對(duì)任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．11．如圖，內(nèi)接于圓，是圓的直徑，，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．12．一個(gè)正四棱錐形骨架的底邊邊長(zhǎng)為，高為，有一個(gè)球的表面與這個(gè)正四棱錐的每個(gè)邊都相切，則該球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的模為_(kāi)______________.14．一個(gè)袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個(gè)，從中任意摸取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性相等，則取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率是__．15．已知復(fù)數(shù)，且滿足（其中為虛數(shù)單位），則____.16．已知數(shù)列的首項(xiàng)，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，則數(shù)列|的前項(xiàng)和__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知圓，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線平分圓M的周長(zhǎng).（1）求圓M的半徑和圓M的極坐標(biāo)方程；（2）過(guò)原點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，其中與圓M交于O，A兩點(diǎn)，與圓M交于O，B兩點(diǎn)，求面積的最大值.18．（12分）已知，均為正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，，且，，，當(dāng)，時(shí)，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，且.（Ｉ）求角的大??；（Ⅱ）若，求面積的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)．（1）解不等式：；（2）求證：．21．（12分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)，常數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程是.（1）寫(xiě)出的普通方程及的直角坐標(biāo)方程，并指出是什么曲線；（2）若直線與曲線，均相切且相切于同一點(diǎn)，求直線的極坐標(biāo)方程.22．（10分）在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期，我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號(hào)，鼓勵(lì)學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，對(duì)高三年級(jí)隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問(wèn)卷，其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于5小時(shí)的有19人，余下的人中，在檢測(cè)考試中數(shù)學(xué)平均成績(jī)不足120分的占，統(tǒng)計(jì)成績(jī)后得到如下列聯(lián)表：分?jǐn)?shù)不少于120分分?jǐn)?shù)不足120分合計(jì)線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)419線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)合計(jì)45（1）請(qǐng)完成上面列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；（2）①按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生，設(shè)抽到不足120分且每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的人數(shù)是，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；②若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.（下面的臨界值表供參考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式其中）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結(jié)合和的離心率之積為，即可得的關(guān)系，進(jìn)而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程，雙曲線的方程為，則橢圓離心率，雙曲線的離心率，由和的離心率之積為，即，解得，所以漸近線方程為，化簡(jiǎn)可得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)應(yīng)用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合的補(bǔ)集.【詳解】由解得，故，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

判斷圓心與直線的關(guān)系，確定直線，關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是與直線垂直，從而等于到直線的距離，由切線性質(zhì)求出，得，從而得．【詳解】如圖，設(shè)圓的圓心為，半徑為，點(diǎn)不在直線上，要滿足直線，關(guān)于直線對(duì)稱，則必垂直于直線，∴，設(shè)，則，，∴,．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線的對(duì)稱性，解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對(duì)稱，得出與直線垂直，從而得就是圓心到直線的距離，這樣在直角三角形中可求得角．4、A【解析】

計(jì)算，得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故，表示的復(fù)數(shù)在第一象限.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.5、A【解析】

設(shè)，用表示出，求出的值即可得出答案.【詳解】設(shè)由，，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算，需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

由|AF2|＝3|BF2|，可得.設(shè)直線l的方程x＝my+，m＞0，設(shè)，，即y1＝﹣3y2①，聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C：，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，則F2（，0），設(shè)直線l的方程x＝my+，m＞0，∵雙曲線的漸近線方程為x＝±2y，∴m≠±2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①由，得∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，∴y1+y2＝②，y1y2＝③，聯(lián)立①②得，聯(lián)立①③得，，即：，，解得：，直線的斜率為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，屬于中檔題．7、B【解析】

根據(jù)在上投影為，以及，可得；再對(duì)所求模長(zhǎng)進(jìn)行平方運(yùn)算，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模長(zhǎng)和夾角運(yùn)算，代入即可求得.【詳解】在上投影為，即又本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量模長(zhǎng)的運(yùn)算，對(duì)于含加減法運(yùn)算的向量模長(zhǎng)的求解，通常先求解模長(zhǎng)的平方，再開(kāi)平方求得結(jié)果；解題關(guān)鍵是需要通過(guò)夾角取值范圍的分析，得到的最小值.8、B【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【詳解】若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正確；而當(dāng)m，n時(shí)，檢驗(yàn)可得，A、C、D都不正確，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小，根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系，需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特值法得出選項(xiàng).9、C【解析】

根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出概率并求得數(shù)學(xué)期望，由此判斷出正確選項(xiàng).【詳解】表示取出的為一個(gè)白球，所以.表示取出一個(gè)黑球，，所以.表示取出兩個(gè)球，其中一黑一白，，表示取出兩個(gè)球?yàn)楹谇颍?，表示取出兩個(gè)球?yàn)榘浊?，，所?所以，.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于中檔題.10、C【解析】

將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，并求得，根據(jù)當(dāng)時(shí)可得的值域；由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得的值域，結(jié)合存在性成立問(wèn)題滿足的集合關(guān)系，即可求得的取值范圍.【詳解】依題意，則，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；而函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，則只需，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，恒成立與存在性成立問(wèn)題的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.11、B【解析】

根據(jù)已知證明平面，只要設(shè)，則，從而可得體積，利用基本不等式可得最大值．【詳解】因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以平?在直角三角形中，，設(shè)，則，所以，所以.又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求棱錐體積的最大值．解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長(zhǎng)為，用建立體積與邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值．12、B【解析】

根據(jù)正四棱錐底邊邊長(zhǎng)為，高為，得到底面的中心到各棱的距離都是1，從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示：因?yàn)檎睦忮F底邊邊長(zhǎng)為，高為，所以，到的距離為，同理到的距離為1，所以為球的球心，所以球的半徑為：1，所以球的表面積為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可.【詳解】解：由，得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由題，得滿足題目要求的情況有，①有一個(gè)數(shù)字4，另外兩個(gè)數(shù)字從1，2，3里面選和②有兩個(gè)數(shù)字4，另外一個(gè)數(shù)字從1，2，3里面選，由此即可得到本題答案.【詳解】滿足題目要求的情況可以分成2大類(lèi)：①有一個(gè)數(shù)字4，另外兩個(gè)數(shù)字從1，2，3里面選，一共有種情況；②有兩個(gè)數(shù)字4，另外一個(gè)數(shù)字從1，2，3里面選，一共有種情況，又從中任意摸取3個(gè)小球，有種情況，所以取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型與組合的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.15、【解析】

計(jì)算出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，列方程組求解.【詳解】，所以，所以.故答案為：-8【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和概念辨析，需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.16、【解析】

由函數(shù)為偶函數(shù)，可得唯一零點(diǎn)為，代入可得數(shù)列的遞推關(guān)系式，再進(jìn)行配湊轉(zhuǎn)換為等比數(shù)列，最后運(yùn)用分部求和可得答案.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，在上有唯一零點(diǎn)，所以，∴，∴，∴為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.所以，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的零點(diǎn),同時(shí)也考查了由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng),考查了數(shù)列的分部求和，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】

先求出，再求圓的半徑和極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)求出,,再求出得解.【詳解】（1）將化成直角坐標(biāo)方程，得則，故，則圓，即，所以圓M的半徑為.將圓M的方程化成極坐標(biāo)方程，得.即圓M的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，則,用代替.可得,【點(diǎn)睛】本題主要考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化，考查極徑的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18、（1），（2）【解析】

（1），所，兩式相減，即可得到數(shù)列遞推關(guān)系求解通項(xiàng)公式，由，整理得，得到，即可求解通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，，即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)椋?，兩式相減，整理得，當(dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，即，因?yàn)?，整理得，又因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以?shù)列是以首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）可知，，，即.【點(diǎn)睛】此題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和，關(guān)鍵在于對(duì)題中所給關(guān)系合理變形，發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系，裂項(xiàng)求和作為一類(lèi)常用的求和方法，需要在平常的學(xué)習(xí)中多做積累常見(jiàn)的裂項(xiàng)方式.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ｉ）根據(jù)，利用二倍角公式得到，再由輔助角公式得到，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.（Ⅱ）根據(jù)（Ｉ）由余弦定理得到，再利用重要不等式得到，然后由求解.【詳解】（Ｉ）因?yàn)椋?，，，或，或，因?yàn)椋运裕唬á颍┯捎嘞叶ɡ淼茫?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，又因?yàn)?，所以，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式，輔助角公式以及余弦定理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（1）代入得，分類(lèi)討論，解不等式即可；（2）利用絕對(duì)值不等式得性質(zhì)，，，比較大小即可.【詳解】（1）由于，于是原不等式化為，若，則，解得；若，則，解得；若，則，解得．綜上所述，不等式解集為．（2）由已知條件，對(duì)于，可得．又，由于，所以．又由于，于是．所以．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式得求解和恒成立問(wèn)題，考查了學(xué)生分類(lèi)討論，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.21、（1），，表示以為圓心為半徑的圓；為拋物線；（2）【解析】

（1）消去參數(shù)的直角坐標(biāo)方程，利用，