2023-2024學(xué)年廣東省中山一中、仲元中學(xué)等七校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

2023-2024學(xué)年廣東省中山一中、仲元中學(xué)等七校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．焦點在軸的正半軸上，且焦點到準線的距離為的拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.2．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形3．如圖，用隨機模擬方法近似估計在邊長為e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中陰影部分的面積，先產(chǎn)生兩組區(qū)間上的隨機數(shù)和，因此得到1000個點對，再統(tǒng)計出落在該陰影部分內(nèi)的點數(shù)為260個，則此陰影部分的面積約為（）A.0.70 B.1.04C.1.86 D.1.924．若，，，則a，b，c與1的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.5．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則（）A.1 B.2C.3 D.46．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀對數(shù)學(xué)分析作出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間內(nèi)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為“凸函數(shù)”，則下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是“凸函數(shù)”的是（）A. B.C. D.7．某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校男教師的人數(shù)為（）A.167 B.137C.123 D.1138．已知等差數(shù)列，，，則數(shù)列的前項和為（）A. B.C. D.9．直線的傾斜角為（）A.-30° B.60°C.150° D.120°10．雙曲線的離心率是，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.11．某校去年有1100名同學(xué)參加高考，從中隨機抽取50名同學(xué)總成績進行分析，在這個調(diào)查中，下列敘述錯誤的是A.總體是：1100名同學(xué)的總成績 B.個體是：每一名同學(xué)C.樣本是：50名同學(xué)的總成績 D.樣本容量是：5012．數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數(shù)、滿足，則的最大值為__________14．已知圓和直線.（1）求直線l所經(jīng)過的定點的坐標，并判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）求當k取什么值，直線被圓截得的弦最短，并求這條最短弦的長.15．的展開式中所有項的系數(shù)和為_________16．已知圓C，直線l：，若圓C上恰有四個點到直線l的距離都等于1.則b的取值范圍為___.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖四棱錐P-ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC=∠DCB=，CD=2AB=2BC=2，△PDC是等邊三角形.（1）設(shè)面PAB面PDC=l，證明:l//平面ABCD；（2）線段PC內(nèi)是否存在一點E，使面ADE與面ABCD所成角的余弦值為，如果存在，求λ=的值，如果不存在，請說明理由.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若點在棱上，且平面，求線段的長19．（12分）已知函數(shù)滿足.（1）求的解析式，并判斷其奇偶性；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.20．（12分）某情報站有．五種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周末使用的四種密碼中等可能地隨機選用一種．設(shè)第一周使用密碼，表示第周使用密碼的概率（1）求；（2）求證：為等比數(shù)列，并求的表達式21．（12分）在平面直角坐標系中，動點，滿足，記點的軌跡為（1）請說明是什么曲線，并寫出它的方程；（2）設(shè)不過原點且斜率為的直線與交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與交于兩點，，請判斷與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論22．（10分）已知橢圓的右焦點為，短軸長為4，設(shè)，的左右有兩個焦點求橢圓C的方程；若P是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍；是否存在過點的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明兩點

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】直接由焦點位置及焦點到準線的距離寫出標準方程即可.【詳解】由焦點在軸的正半軸上知拋物線開口向上，又焦點到準線的距離為，故拋物線的標準方程是.故選：A.2、B【解析】由余弦定理可得，再利用可得答案.【詳解】因為，所以，由余弦定理，因為，所以，又，∴，故為直角三角形.故選：B.3、D【解析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可直接求出答案.【詳解】易知，根據(jù)幾何概型的概率公式，得，所以.故選：D.4、C【解析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，并求其導(dǎo)數(shù)，判斷該函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此作出該函數(shù)的大致圖象，由圖象可判斷a，b，c與1的大小關(guān)系.【詳解】令，則當時，，當時，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,而，由可知，故作出函數(shù)大致圖象如圖：由圖象易知，，故選：C.5、D【解析】利用等差數(shù)列下標和的性質(zhì)求值即可.【詳解】由等差數(shù)列下標和性質(zhì)知：.故選：D6、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式求各函數(shù)二階導(dǎo)函數(shù)，判斷其在定義域上是否恒有，即可知正確選項.【詳解】A：，則，顯然定義域內(nèi)有正有負，故不是“凸函數(shù)”；B：，則，故是“凸函數(shù)”；C：，則，故不是“凸函數(shù)”；D：，則，顯然定義域內(nèi)有正有負，故不是“凸函數(shù)”；故選：B7、C【解析】根據(jù)圖形分別求出初中部和高中部男教師的人數(shù)，最后相加即可.【詳解】初中部男教師的人數(shù)為110×(170%)=33；高中部男教師的人數(shù)為150×60%=90，∴該校男教師的人數(shù)為33+90=123.故選：C.8、A【解析】求出通項，利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和.【詳解】因為等差數(shù)列，，，所以，所以，所以數(shù)列的前項和為故B，C，D錯誤.故選：A.9、C【解析】根據(jù)直線斜率即可得傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為由已知得，所以直線的斜率，由于，故選：C.10、B【解析】利用雙曲線的離心率，以及漸近線中，關(guān)系，結(jié)合找關(guān)系即可【詳解】解：，又因為在雙曲線中，，所以，故，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：B11、B【解析】采用逐一驗證法，根據(jù)總體，個體，樣本的概念，可得結(jié)果.【詳解】據(jù)題意：總體是1100名同學(xué)的總成績，故A正確個體是每名同學(xué)的總成績，故B錯樣本是50名同學(xué)的總成績，故C正確樣本容量是：50，故D正確故選：B【點睛】本題考查總體，個體，樣本的概念，屬基礎(chǔ)題.12、C【解析】根據(jù)已知分析數(shù)列周期性，可得答案【詳解】解：∵數(shù)列滿足，，∴，，，，故數(shù)列以4為周期呈現(xiàn)周期性變化，由，故，故選C【點睛】本題考查的知識點是數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的周期性，難度中檔二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，當即時等號成立.故答案為【點睛】本題考查了均值不等式，意在考查學(xué)生的計算能力.14、（1）直線過定點P（4，3），直線和圓總有兩個不同交點（2）k=1，【解析】(1)把直線方程化為點斜式方程即可；(2)由圓的性質(zhì)知，當直線與PC垂直時，弦長最短.【小問1詳解】直線方程可化為，則直線過定點P（4，3），又圓C標準方程為，圓心為，半徑為，而，所以點P在圓內(nèi)，所以不論k取何值，直線和圓總有兩個不同交點.【小問2詳解】由圓的性質(zhì)知，當直線與PC垂直時，弦長最短.，所以k=1時弦長最短.弦長為.15、##0.015625【解析】賦值法求解二項式展開式中所有項的系數(shù)和.【詳解】令得：，即為展開式中所有項的系數(shù)和.故答案為：16、【解析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】圓C：的半徑為3，圓心坐標為：設(shè)圓心到直線l：的距離為，要想圓C上恰有四個點到直線l的距離都等于1，只需，即，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）存在【解析】（1）由已知可得∥，再由線面平行的判定可得∥平面，再由線面平行的性質(zhì)可得∥，再由線面平行的判定可得結(jié)論，（2）由已知條件可證得兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因為,所以，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，因為平面，且平面面，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，【小問2詳解】設(shè)的中點為，因為△PDC是等邊三角形，所以，因為平面PDC⊥平面ABCD，且平面面，所以平面，因為平面，所以，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以，假設(shè)存在這樣的點，由已知得，則，所以，因為平面，所以平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，則所以，整理得，解得（舍去），或，所以18、（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）．（Ⅲ）.【解析】第一問根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)得出線線垂直的結(jié)論，注意在書寫的時候條件不要丟就行；第二問建立空間直角坐標系，利用法向量所成角的余弦值來求得二面角的余弦值；第三問利用向量共線的關(guān)系，得出向量的坐標，根據(jù)線面平行得出向量垂直，利用其數(shù)量積等于零，求得結(jié)果.（Ⅰ）證明：因為平面⊥平面，且平面平面，因為⊥，且平面所以⊥平面因為平面，所以⊥.（Ⅱ）解：在△中，因為，，，所以，所以⊥.所以，建立空間直角坐標系，如圖所示所以，，，，，，.易知平面的一個法向量為.設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則.設(shè)二面角的平面角為，可知為銳角，則，即二面角的余弦值為（Ⅲ）解：因為點在棱，所以，因為，所以，.又因為平面，為平面的一個法向量，所以，即，所以所以，所以.19、（1），是奇函數(shù)（2）【解析】(1)由求出，進而求得的解析式，利用奇偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性即可；(2)根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對任意使得恒成立即可.【小問1詳解】因為，所以，所以.所以.的定義城為，且，所以是奇函數(shù).【小問2詳解】因為，在上均為增函數(shù)，所以在上增函數(shù)，所以.對任意，不等式恒成立，則，所以，即實數(shù)a的取值范固為.20、（1），，，（2）證明見解析，【解析】(1)根據(jù)題意可得第一周使用A密碼，第二周使用A密碼的概率為0，第三周使用A密碼的概率為，以此類推；(2)根據(jù)題意可知第周從剩下的四種密碼中隨機選用一種，恰好選到A密碼的概率為，進而可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義可知為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】，，，【小問2詳解】第周使用A密碼，則第周必不使用A密碼（概率為），然后第周從剩下的四種密碼中隨機選用一種，恰好選到A密碼的概率為故，即故為等比數(shù)列且，公比故，故21、（1）橢圓，（2），證明見解析【解析】（1）結(jié)合橢圓第一定義直接判斷即可求出的軌跡為；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，寫出韋達定理；由中點公式求出點，進而得出直線方程，聯(lián)立橢圓方程求出，結(jié)合弦長公式可求，可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達定理可化簡，進而得證.【小問1詳解】設(shè)，，則因為，滿足，即動點表示以點，為左、右焦點，長軸長為4，焦距為的橢圓，其軌跡的方程為；【小問2詳解】可以判斷出，下面進行證明：設(shè)直線的方程為，，，由方程組，得①，方程①判別式為，由，即，解得且由①得，，所以點坐標為，直線方程為，由方程組，得，，所以又所以.22、（1）（2）（3）滿足條件的直線不存在，詳見解析【解析】根據(jù)條件直接求出,進而求出橢圓