2023-2024學(xué)年廣州天河區(qū)一一三中高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測試題含解析

2023-2024學(xué)年廣州天河區(qū)一一三中高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的右焦點和右頂點分別為F，A，離心率為，且，則n的值為（）A.4 B.3C.2 D.2．（5分）已知集合A={x|?2<x<4}，集合B={x|(x?6)(x+1)<0}，則A∩B=A.{x|1<x<4} B.{x|x<4或x>6}C.{x|?2<x<?1} D.{x|?1<x<4}3．在三棱錐中，，，，若，，則（）A. B.C. D.4．甲組數(shù)據(jù)為：5，12，16，21，25，37，乙組數(shù)據(jù)為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是（）A.極差 B.平均數(shù)C.中位數(shù) D.都不相同5．已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為3，則該拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.6．是直線與直線互相平行的（）條件A.必要而不充分 B.充分而不必要C.充要 D.既不充分也不必要7．已知直線，，若，則實數(shù)（）A. B.C.1 D.28．已知橢圓的左頂點為，上頂點為，右焦點為，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知空間三點，，在一條直線上，則實數(shù)的值是（）A.2 B.4C.-4 D.-210．如圖，棱長為1的正方體中，為線段上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是A.B.平面平面C.的最大值為D.的最小值為11．在中，B=30°，BC=2，AB=，則邊AC的長等于（）A. B.1C. D.212．“且”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個四面體有五條棱長均為2，則該四面體的體積最大值為_______14．已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為________.15．正三棱柱的底面邊長和高均為2，點為側(cè)棱的中點，連接，，則點到平面的距離為______.16．用組成所有沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，滿足與相鄰并且與不相鄰的五位數(shù)共有____________個.(結(jié)果用數(shù)值表示)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C經(jīng)過點，，且它的圓心C在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的兩條切線，切點分別為M，N，求三角形PMN的面積.18．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且過點.（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線交于A，B兩點，且，求m的值.19．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.20．（12分）某種機械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”．某種機械設(shè)備的使用年限（單位：年）與失效費（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與關(guān)系．請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（精確到0.01）（2）求出關(guān)于的線性回歸方程，并估算該種機械設(shè)備使用8年的失效費參考公式：相關(guān)系數(shù)線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計計算公式：，參考數(shù)據(jù)：，，21．（12分）已知直線與圓.（1）當直線l恰好平分圓C的周長時，求m的值；（2）當直線l被圓C截得的弦長為時，求m的值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，，.（1）證明：平面；（2）已知，，，且直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)橢圓方程及其性質(zhì)有，求解即可.【詳解】由題設(shè)，，整理得，可得.故選：B2、D【解析】由(x?6)(x+1)<0，得?1<x<6，從而有B={x|?1<x<6}，所以A∩B={x|?1<x<4}，故選D3、B【解析】根據(jù)空間向量的基本定理及向量的運算法則計算即可得出結(jié)果.【詳解】連接,因為，所以，因為，所以，所以,故選：B4、B【解析】由平均數(shù)、極差及中位數(shù)的定義依次求解即可比較【詳解】，，故甲、乙的平均數(shù)相同，甲、乙的極差分別為，，故不同，甲、乙的中位數(shù)分別為，，故不同，故選：5、B【解析】設(shè)，進而根據(jù)題意，結(jié)合中點弦的問題得，進而再求解準線方程即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，所以①，②，所以，①②得：，即，因為直線AB的斜率為1，線段AB的中點的橫坐標為3，所以，即，所以拋物線，準線方程為.故選：B6、B【解析】求出直線與平行的等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】由解得或，當時，與平行，當時，與平行，則直線與直線平行等價于或，所以是直線與直線互相平行的充分而不必要條件.故選：B7、D【解析】根據(jù)兩條直線的斜率相等可得結(jié)果.【詳解】因為直線，，且，所以，故選：D.8、B【解析】根據(jù)題意得到，根據(jù)，化簡得到，進而得到離心率的不等式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的左頂點為，上頂點為，所以，，因為，可得，即，又由，可得，可得，解得，又因為橢圓的離心率，所以，即橢圓的離心率為.故選：B.【點睛】求解橢圓或雙曲線離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.9、C【解析】根據(jù)三點在一條直線上，利用向量共線原理，解出實數(shù)的值.【詳解】解：因為空間三點，，在一條直線上，所以,故.所以.故選：C.【點睛】本題主要考查向量共線原理，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】∵，，∴面，面，∴，A正確；∵平面即為平面，平面即為平面，且平面，∴平面平面，∴平面平面，∴B正確；當時，為鈍角，∴C錯；將面與面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，在中，，利用余弦定理解三角形得，即，∴D正確，故選C考點：立體幾何中的動態(tài)問題【思路點睛】立體幾何問題的求解策略是通過降維，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，具體方法表現(xiàn)為：

求空間角、距離，歸到三角形中求解；2．對于球的內(nèi)接外切問題，作適當?shù)慕孛妫纫芊从吵鑫恢藐P(guān)系，又要反映出數(shù)量關(guān)系；求曲面上兩點之間的最短距離，通過化曲為直轉(zhuǎn)化為同一平面上兩點間的距離11、B【解析】利用余弦定理即得【詳解】由余弦定理，得，解得AC=1故選：B.12、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義和橢圓的標椎方程，判斷可得出結(jié)論.【詳解】解：充分性：當，方程表示圓，充分性不成立；必要性：若方程表示橢圓，則，必有且，必要性成立，因此，“且”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由已知中一個四面體有五條棱長都等于2，易得該四面體必然有兩個面為等邊三角形，根據(jù)棱錐的幾何特征，分析出當這兩個平面垂直時，該四面體的體積最大，將相關(guān)幾何量代入棱錐體積公式，即可得到答案【詳解】一個四面體有五條棱長都等于2，如下圖：設(shè)除PC外的棱均為2，設(shè)P到平面ABC距離為h，則三棱錐的體積V＝，∵是定值，∴當P到平面ABC距離h最大時，三棱錐體積最大，故當平面PAB⊥平面ABC時，三棱錐體積最大，此時h為等邊三角形PAB的AB邊上的高，則h，故三棱錐體積的最大值為：故答案為：114、【解析】由題可得有兩個不同正根，利用分離參數(shù)法得到.令，，只需和有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】∵的定義域為，，要使函數(shù)有兩個極值點，只需有兩個不同正根，并且在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，由得，，令，，要使函數(shù)有兩個極值點，只需和有兩個交點，∵，令得：0<x<1；令得：x>1；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，；當時，；作出和的圖像如圖，所以，即，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：15、【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求點面距離的公式可以直接求出.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，為的中點，由已知，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，，即：，取，得，，則點到平面的距離為.故答案為：.16、【解析】由題意，先利用捆綁法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.【詳解】因為滿足與相鄰并且與不相鄰，則將捆綁，內(nèi)部排序得，再對和全排列得，利用插空法將和插空得，所以滿足題意得五位數(shù)有.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)知，設(shè)圓心，應(yīng)用兩點距離公式列方程求參數(shù)a，進而確定圓心坐標、半徑，寫出圓C的方程；（2）利用兩點距離公式、切線的性質(zhì)可得、，再應(yīng)用三角形面積公式求三角形PMN的面積.【小問1詳解】由已知，可設(shè)圓心，且，從而有，解得.所以圓心，半徑.所以，圓C的方程為.【小問2詳解】連接PC，CM，CN，MN，由（1）知：圓心，半徑.所以.又PM，PN是圓C的切線，所以，，則，，所以，所以.18、（1）（2）或【解析】（1）由已知設(shè)圓C的方程為，點代入計算即可得出結(jié)果.（2）由已知可得圓心C到直線的距離,利用點到直線的距離公式計算即可求得值.【小問1詳解】設(shè)圓心坐標為，半徑為，圓C的圓心在直線上，.則圓C的方程為，圓C過點，則，解得：則，圓C的圓心坐標為.則圓C的方程為；【小問2詳解】圓心C到直線的距離.則，解得或19、（1），；（2），.【解析】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；（2）利用分組求和的方法結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，且，依題意有，由，又，解得，∴，即，；（2）∵，∴前項和.∴前項和，.20、（1）答案見解析；（2）；失效費為6.3萬元【解析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式計算出相關(guān)系數(shù)可得結(jié)果；（2）根據(jù)公式求出和可得關(guān)于的線性回歸方程，再代入可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，知，，∴結(jié)合參考數(shù)據(jù)知：因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，所以與的線性相關(guān)程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系（2）∵，∴∴關(guān)于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程得萬元，∴估算該種機械設(shè)備使用8年的失效費為6.3萬元21、（1）；（2）1.【解析】(1)將圓C的圓心坐標代入直線l的方程計算作答.(2)由給定條件求出圓心C到直線l的距離，再利用點到直線距離公式計算作答.【小問1詳解】圓的圓心，半徑，因直線l平分圓C的周長，則直線l過圓心，即，解得，所以m的值是.【小問2詳解】由(1)知，圓C的圓心，半徑，因直線l被圓C截得的弦長為，則有圓心C到直線l的距離，因此，，解得，所以m的值是1.22、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（