2023-2024學(xué)年湖北省武漢市江夏一中數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題含解析

2023-2024學(xué)年湖北省武漢市江夏一中數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.2C.1 D.02．設(shè)a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，，依次成公差不為0的等差數(shù)列，則（）A.a，b，c依次成等差數(shù)列 B.，，依次成等差數(shù)列C.，，依次成等比數(shù)列 D.，，依次成等比數(shù)列3．已知傾斜角為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)，相交于，兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率是（）A. B.C. D.4．已知，若，則（）A. B.C. D.5．命題“，”的否定是（）A.， B.，C， D.，6．已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，，則（）A.4 B.2C.1 D.7．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.1 B.C.1或 D.8．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離9．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)為鱉臑（nào）．如圖所示的三棱錐為一鱉臑，且平面，平面，若，，，則（）A. B.C. D.10．已知圓M與直線(xiàn)與都相切，且圓心在上，則圓M的方程為（）A. B.C. D.11．已知拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，則點(diǎn)M到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的距離等于（）A.6 B.5C.4 D.212．命題“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若方程表示的曲線(xiàn)是圓，則實(shí)數(shù)的k取值范圍是___________.14．已知的頂點(diǎn)A(1，5)，邊AB上的中線(xiàn)CM所在的直線(xiàn)方程為，邊AC上的高BH所在直線(xiàn)方程為，求（1）頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）直線(xiàn)BC的方程；15．若過(guò)點(diǎn)和的直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則_______16．若“”是“”必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由18．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前項(xiàng)和19．（12分）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和（3）設(shè)，若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍20．（12分）已知圓（1）若直線(xiàn)與圓C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí),求直線(xiàn)l的方程;（2）若與圓C相外切且與y軸相切的圓的圓心記為D,求D點(diǎn)的軌跡方程21．（12分）自我國(guó)爆發(fā)新冠肺炎疫情以來(lái)，各地醫(yī)療單位都加緊了醫(yī)療用品的生產(chǎn)．某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計(jì)了口罩生產(chǎn)車(chē)間每名工人的生產(chǎn)速度，并將所得數(shù)據(jù)分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．已知前四組的頻率成等差數(shù)列，第五組與第二組的頻率相等（1）估計(jì)口罩生產(chǎn)車(chē)間工人生產(chǎn)速度的中位數(shù)（結(jié)果寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式）；（2）為了解該車(chē)間工人生產(chǎn)速度是否與他們的工作經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，現(xiàn)從車(chē)間所有工人中隨機(jī)抽樣調(diào)查了5名工人的生產(chǎn)速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數(shù)據(jù)如下表：工齡x（單位：年）4681012生產(chǎn)速度y（單位：件/小時(shí)）4257626267根據(jù)上述數(shù)據(jù)求每名工人的生產(chǎn)速度y關(guān)于他的工齡x的回歸方程，并據(jù)此估計(jì)該車(chē)間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式為：，22．（10分）已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn).（1）若直線(xiàn)的斜率為1，求；（2）若，求直線(xiàn)的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】集合中的元素為點(diǎn)集，由題意，可知集合A表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合B表示直線(xiàn)上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，，則中有2個(gè)元素.故選B.【名師點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件.集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿(mǎn)足互異性.2、B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，利用正弦定理、余弦定理推導(dǎo)出，從而，，依次成等差數(shù)列.【詳解】解：∵a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，，，依次成公差不為0的等差數(shù)列，∴，根據(jù)正弦定理可得，∴，∴，∴，∴，，依次成等差數(shù)列.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列的判斷，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.3、A【解析】依據(jù)點(diǎn)差法即可求得的關(guān)系，進(jìn)而即可得到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率.【詳解】設(shè)，則由，可得則，即，則則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率為故選：A4、B【解析】先求出的坐標(biāo)，然后由可得，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，即，解?故選：B5、D【解析】由含量詞命題否定的定義，寫(xiě)出命題的否定即可【詳解】命題“，”的否定是：，，故選：D.6、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），則由已知條件列方程組可求出【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），由題意得，且，即，，因?yàn)?，所以，，故選：D7、A【解析】根據(jù)兩直線(xiàn)平行的條件列方程，化簡(jiǎn)求得，檢驗(yàn)后確定正確答案.【詳解】由于直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以，或，當(dāng)時(shí)，兩直線(xiàn)方程都為，即兩直線(xiàn)重合，所以不符合題意.經(jīng)檢驗(yàn)可知符合題意.故選：A8、C【解析】寫(xiě)出兩圓的圓心和半徑，求出圓心距，發(fā)現(xiàn)與兩圓的半徑和相等，所以判斷兩圓外切【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心坐標(biāo)為，半徑；圓的圓心為，半徑，圓心距，所以?xún)蓤A相外切故選：C9、A【解析】根據(jù)平面，平面求解.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，，所?所以，故選：A10、A【解析】由題可設(shè)，結(jié)合條件可得，即求.【詳解】∵圓心在上，∴可設(shè)圓心，又圓M與直線(xiàn)與都相切，∴，解得，∴，即圓的半徑為1，圓M的方程為.故選：A.11、B【解析】將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程求出，再由拋物線(xiàn)的焦半徑公式可得答案.詳解】將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程可得，解得則故選：B12、A【解析】特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題【詳解】的否定形式是故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件求解【詳解】由題意，故答案為：14、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)C在中線(xiàn)上及求得答案；（2）設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)中線(xiàn)的方程及求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線(xiàn)BC的方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由題知，即.【小問(wèn)2詳解】設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為，則中點(diǎn)M坐標(biāo)代入中線(xiàn)CM方程則由題知，即，又，則，所以直線(xiàn)BC方程為.15、【解析】根據(jù)兩直線(xiàn)的位置關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)和的直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以，解得，故答案為：316、【解析】設(shè)的解集為集合，由題意可得是的真子集，即可求解.【詳解】由得或，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，設(shè)或，，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以是的真子集，所以故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，.【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和直線(xiàn)的單位向量，從而可證明線(xiàn)面平行.(2)令，，設(shè)，求出，結(jié)合已知條件可列出關(guān)于的方程，從而可求出的值.【詳解】證明：過(guò)作于點(diǎn)，則，以為原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，，

，，，∵為的中點(diǎn)．∴．則，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，∴．∴，即，又平面．∴平面解：令，，設(shè)，∴．∴，∴

.由知，平面的法向量為.∵直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，∴，化簡(jiǎn)得，即，∵，∴，故【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間向量證明線(xiàn)面平行，考查了平面法向量的求解，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為，，【小問(wèn)2詳解】解：，.19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用的關(guān)系，根據(jù)等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求.（3）應(yīng)用錯(cuò)位相減法求得，由題設(shè)有，討論為奇數(shù)、偶數(shù)求的取值范圍【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，∴是首項(xiàng)、公比都為的等比數(shù)列，故.【小問(wèn)2詳解】由（1），，∴.【小問(wèn)3詳解】由題設(shè)，，∴，則，∴，由對(duì)一切恒成立，令，則，∴數(shù)列單調(diào)遞減，∴當(dāng)為奇數(shù)，恒成立且在上遞減，則，當(dāng)為偶數(shù)，恒成立且在上遞增，則，綜上，.20、（1）（2）【解析】(1)先求出直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn),再根據(jù)弦長(zhǎng)|AB|最短時(shí),求解.(2)用直譯法求解【小問(wèn)1詳解】直線(xiàn)即,所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|最短時(shí),因?yàn)橹本€(xiàn)PC的斜率所以此時(shí)直線(xiàn)的斜率所以當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|最短時(shí),求直線(xiàn)的方程為,即【小問(wèn)2詳解】設(shè),易知圓心D在軸上方,圓D半徑為因?yàn)閳A與圓外切,所以即整理得點(diǎn)的軌跡方程為21、（1）（2）80件/小時(shí)【解析】（1）先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求出各組頻率，再利用頻率分布直方圖求中位數(shù)；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回歸直線(xiàn)方程，再進(jìn)行預(yù)測(cè)其生產(chǎn)速度.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)前4組的頻率分別為，，，，公差為，由頻率分布直方圖，得，即，解得，則，，所以中位數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意，得，，由所給公式，得，，所以回歸直線(xiàn)方程