2023-2024學(xué)年河南省鄭州市高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年河南省鄭州市高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為，實(shí)軸長為2，則雙曲線C的方程為（）A. B.C. D.2．點(diǎn)到直線的距離為A.1 B.2C.3 D.43．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P，滿足圓上存在一點(diǎn)Q使得，則所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為（）A. B.C. D.4．設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和是，若，則的通項(xiàng)公式可以是（）A. B.C. D.5．《九章算術(shù)》與《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》卷五商功篇中介紹了羨除（此處是指三面為等腰梯形，其他兩側(cè)面為直角三角形的五面體）體積的求法.在如圖所示的羨除中，平面是鉛垂面，下寬，上寬，深，平面BDEC是水平面，末端寬，無深，長（直線到的距離），則該羨除的體積為（）A. B.C. D.6．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且，則（）A.12 B.4C.6 D.87．在拋物線上，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則p的值為（）A. B.2C.1 D.48．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)．與軸交于一點(diǎn)，，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.9．已知雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.10．為發(fā)揮我市“示范性高中”的輻射帶動(dòng)作用，促進(jìn)教育的均衡發(fā)展，共享優(yōu)質(zhì)教育資源．現(xiàn)分派我市“示范性高中”的5名教師到，，三所薄弱學(xué)校支教，開展送教下鄉(xiāng)活動(dòng)，每所學(xué)校至少分派一人，其中教師甲不能到學(xué)校，則不同分派方案的種數(shù)是（）A.150 B.136C.124 D.10011．已知，是球的球面上兩點(diǎn)，，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為（）A. B.C. D.12．已知點(diǎn)與不重合的點(diǎn)A，B共線，若以A，B為圓心，2為半徑的兩圓均過點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知斜率為1的直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得的重心恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率______.14．已知球面上的三點(diǎn)A，B，C滿足，，，球心到平面ABC的距離為，則球的表面積為______15．在等比數(shù)列中，若，，則數(shù)列的公比為___________.16．已知長軸長為，短軸長為的橢圓的面積為．現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法來估計(jì)的近似值，先用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生個(gè)數(shù)對，，其中，均為內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，再由計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)其中滿足條件的數(shù)對有個(gè)，由此可估計(jì)的近似值為______________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）18．（12分）如圖，點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)在軸左側(cè))，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作等腰梯形，使點(diǎn)在此曲線上，點(diǎn)在軸上.設(shè)，等腰梯的面積為.（1）寫出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為何值時(shí)，等腰梯形的面積最大？求出最大面積.19．（12分）已知雙曲線C：的離心率為，過點(diǎn)作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為（1）求雙曲線C的方程；（2）直線（）與該雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且A，B兩點(diǎn)都在以點(diǎn)為圓心的同一圓上，求m的取值范圍20．（12分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.21．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求n.22．（10分）如圖，在三棱錐中，平面，，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)條件，求出，的值，結(jié)合雙曲線的方程進(jìn)行求解即可【詳解】解：設(shè)雙曲線的方程為由已知得：，，再由，，雙曲線的方程為：故選：D2、B【解析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【詳解】，答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于簡單題.3、D【解析】先找臨界情況當(dāng)PQ與圓C相切時(shí)，，進(jìn)而可得滿足條件的點(diǎn)P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），即求.【詳解】當(dāng)PQ與圓C相切時(shí)，，這種情況為臨界情況，當(dāng)P往外時(shí)無法找到點(diǎn)Q使，當(dāng)P往里時(shí)，可以找到Q使，故滿足條件的點(diǎn)P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），如圖，由圓，可知圓心，半徑為1，則大圓的半徑為，∴所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找出臨界情況時(shí)點(diǎn)所滿足的條件，進(jìn)而即可得到動(dòng)點(diǎn)滿足條件的圖形，問題即可解決.4、D【解析】根據(jù)題意可得公差的范圍，再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，所以，故AB錯(cuò)誤；若，則，與題意矛盾，故C錯(cuò)誤；若，則，符合題意.故選：D.5、C【解析】在，上分別取點(diǎn)，，使得，連接，，，把幾何體分割成一個(gè)三棱柱和一個(gè)四棱錐，然后由棱柱、棱錐體積公式計(jì)算【詳解】如圖，在，上分別取點(diǎn)，，使得，連接，，，則三棱柱是斜三棱柱，該羨除的體積三棱柱四棱錐.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查求空間幾何體的體積，解題思路是觀察幾何體的結(jié)構(gòu)特征，合理分割，將不規(guī)則幾何體體積的計(jì)算轉(zhuǎn)化為錐體、柱體體積的計(jì)算．考查了空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力6、B【解析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求出公差.【詳解】，所以.故選：B7、B【解析】由方程可得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，進(jìn)而由拋物線的定義可得，解之可得值【詳解】解：由題意可得拋物線開口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)，，準(zhǔn)線方程，由拋物線的定義可得拋物線上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于5，即，解之可得.故選：B.8、C【解析】由橢圓的性質(zhì)可先求得，故可得，再由橢圓的定義得a，c的關(guān)系，故可得答案【詳解】，，又，，則，，則，，由橢圓的定義得，，，故選：C9、A【解析】求出、的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：A.10、D【解析】對甲所在組的人數(shù)分類討論即得解.【詳解】當(dāng)甲一個(gè)人去一個(gè)學(xué)校時(shí)，有種；當(dāng)甲所在的學(xué)校有兩個(gè)老師時(shí)，有種；當(dāng)甲所在的學(xué)校有三個(gè)老師時(shí)，有種；所以共有28+48+24=100種.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：排列組合常用方法有：簡單問題直接法、小數(shù)問題列舉法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、等概率問題縮倍法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.11、C【解析】當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，根據(jù)棱長與球半徑關(guān)系即可求出球半徑，從而求出表面積.【詳解】當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大.又，則三棱錐體積，解得；故表面積.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三棱錐與球的組合體的綜合問題，本題的關(guān)鍵是判斷當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大.12、D【解析】由題意可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓，然后由圓的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，弦長最小，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，弦長最長，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可【詳解】設(shè)點(diǎn)，則以A，B為圓心，2為半徑的兩圓方程分別為和，因?yàn)閮蓤A過，所以和，所以兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓，因?yàn)辄c(diǎn)與不重合的點(diǎn)A，B共線，所以為圓的一條弦，所以當(dāng)弦長最小時(shí)，，因?yàn)?，半徑?，所以弦長的最小值為，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，弦長最長為4，因?yàn)?，所以?dāng)弦長最小時(shí)，的最大值為，當(dāng)弦長最大時(shí)，的最小值為，所以的取值范圍為，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)點(diǎn)，，坐標(biāo)分別為，則根據(jù)題意有，分別將點(diǎn)，，的坐標(biāo)代入橢圓方程得，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到和的值，代入得到關(guān)于的齊次式，然后解出離心率.【詳解】設(shè)，，坐標(biāo)分別為，因?yàn)榈闹匦那『檬亲鴺?biāo)原點(diǎn)，則，則，代入橢圓方程可得，其中，所以……①因?yàn)橹本€的斜率為，且過左焦點(diǎn)，則的方程為：，聯(lián)立方程消去可得：，所以，……②所以……③，將②③代入①得，從而.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率求解問題，難度較大.解答時(shí),注意，，三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，注意韋達(dá)定理在解題中的運(yùn)用.14、【解析】由題意可知為直角三角形，求出外接圓的半徑，可求出球的半徑，然后求球的表面積.【詳解】由題意，，，，則，可知，所以外接圓的半徑為，因?yàn)榍蛐牡狡矫娴木嚯x為，所以球的半徑為：，所以球的表面積為：.故答案為：.15、##【解析】求出等比數(shù)列的公比，利用定義可求得數(shù)列的公比.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因此，數(shù)列的公比為.故答案為：.16、【解析】由，，根據(jù)表示的數(shù)對對應(yīng)的點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，且在第一象限，求出滿足條件的點(diǎn)的概率，再轉(zhuǎn)化為幾何概型的面積類型求解【詳解】，，表示的數(shù)對對應(yīng)的點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，且在第一象限，其面積為，故，得故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何型概率應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握幾何型概率求法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算中的乘除法則.（2）求導(dǎo)數(shù)，主要考查復(fù)合函數(shù)，外導(dǎo)乘內(nèi)導(dǎo).【小問1詳解】【小問2詳解】.18、（1）；（2）當(dāng)時(shí)取到最大值，【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，則根據(jù)題意得，，故；（2）令，研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得的最值，進(jìn)而得的最大值.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，由是曲線上的動(dòng)點(diǎn)得：，由于橢圓與軸交點(diǎn)為，故，所以即：（2）結(jié)合（1），對兩邊平方得：，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取到最大值，，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問題，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與計(jì)算能力，是中檔題.19、（1）（2）或【解析】（1）利用雙曲線離心率、點(diǎn)在雙曲線上及得到關(guān)于、、的方程組，進(jìn)而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線和雙曲線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用直線和雙曲線的位置關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系得到兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，利用A，B兩點(diǎn)都在以點(diǎn)為圓心的同一圓上得到，再利用向量的數(shù)量積為0得到、的關(guān)系，進(jìn)而消去得到的不等式進(jìn)行求解.【小問1詳解】解：因?yàn)檫^點(diǎn)作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為，所以點(diǎn)在雙曲線上，由題意，得，解得，，，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€與該雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)，所以且，即且，設(shè)，，的中點(diǎn)，則，，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)都在以點(diǎn)為圓心的同一圓上，所以，即，因?yàn)?，，所以，即，將代入，得，解得或，即m的取值范圍為或.20、（1）；（2）或.【解析】（1）由離心率公式、將點(diǎn)代入橢圓方程得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立橢圓和直線的方程，由判別式得出的范圍，再由韋達(dá)定理結(jié)合三角形面積公式得出，求出的值得出直線的方程.【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以.①又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以有.②聯(lián)立①②可得，，，所以橢圓的方程為.（2）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.由消去整理得，.因?yàn)橹本€與橢圓交于不同兩點(diǎn)，所以，即，所以設(shè)，，則，.由題意得，面積，即.因?yàn)榈拿娣e為，所以，即.化簡得，，即，解得或，均滿足，所以或.所以直線的方程為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在第二問中，關(guān)鍵是由韋達(dá)定理建立的關(guān)系，結(jié)合三角形面積公式求出斜率，得出直線的方程.21、（1）（2）【解析】（1）由條件得，則利用等差數(shù)列的定義可得答案；（2）利用裂項(xiàng)求和求出，再根據(jù)可求出n.【小問1詳解】由得，從而數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以；【小問2詳解】由