2023-2024學年鶴壁市重點中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2023-2024學年鶴壁市重點中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，、分別為、的中點，是正方形的中心，則的大小為（）A. B.C. D.2．曲線上的點到直線的距離的最小值是（）A.3 B.C.2 D.3．設(shè)是雙曲線的兩個焦點，為坐標原點，點在上且，則的面積為（）A. B.3C. D.24．在下列函數(shù)中，求導錯誤的是（）A.， B.，C.， D.，5．已知平面向量，且，向量滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值可能為（）A.96 B.97C.98 D.997．在空間四邊形中，，，，且，則（）A. B.C. D.8．圓（）上點到直線的最小距離為1，則A.4 B.3C.2 D.19．設(shè)等差數(shù)列前n項和是，若，則的通項公式可以是（）A. B.C. D.10．已知拋物線的方程為，則此拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.11．已知的周長等于10，，通過建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，頂點的軌跡方程可以是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若的零點為，極值點為，則（）A. B.0C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知球的表面積為,則該球的體積為______.14．直線的傾斜角為______15．已知雙曲線：的右焦點為，過點向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的漸近線方程為__________16．若雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為___________；若，則雙曲線的右焦點到漸近線的距離為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是拋物線的焦點，直線交拋物線于、兩點.（1）若直線過點且，求；（2）若平分線段，求直線的方程.18．（12分）在平面直角坐標系中，動點到定點的距離比到軸的距離大，設(shè)動點的軌跡為曲線，分別過曲線上的兩點，做曲線的兩條切線，且交于點，與直線交于兩點（1）求曲線的方程；（2）求面積的最小值.19．（12分）某品牌餐飲公司準備在10個規(guī)模相當?shù)牡貐^(qū)開設(shè)加盟店，為合理安排各地區(qū)加盟店的個數(shù)，先在其中5個地區(qū)試點，得到試點地區(qū)加盟店個數(shù)分別為1，2，3，4，5時，單店日平均營業(yè)額（萬元）的數(shù)據(jù)如下：加盟店個數(shù)（個）12345單店日平均營業(yè)額（萬元）10.910.297.871（參考數(shù)據(jù)及公式：，，線性回歸方程，其中，.）（1）求單店日平均營業(yè)額（萬元）與所在地區(qū)加盟店個數(shù)（個）的線性回歸方程；（2）根據(jù)試點調(diào)研結(jié)果，為保證規(guī)模和效益，在其他5個地區(qū)，該公司要求同一地區(qū)所有加盟店的日平均營業(yè)額預計值總和不低于35萬元，求一個地區(qū)開設(shè)加盟店個數(shù)的所有可能取值；（3）小趙與小王都準備加入該公司的加盟店，根據(jù)公司規(guī)定，他們只能分別從其他五個地區(qū)（加盟店都不少于2個）中隨機選一個地區(qū)加入，求他們選取的地區(qū)相同的概率.20．（12分）某中醫(yī)藥研究所研制出一種新型抗過敏藥物，服用后需要檢驗血液抗體是否為陽性，現(xiàn)有n（n∈N*）份血液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：①逐份檢驗，需要檢驗n次；②混合檢驗，將其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若結(jié)果為陰性，則這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只需檢驗一次就夠了，若檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪份為陽性，就需要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為k+1次.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是相互獨立的，且每份樣本是陽性的概率為p（0＜p＜1）.（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有兩份樣本為陽性，若采取逐份檢驗的方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率.（2）現(xiàn)取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液樣本，采用逐份檢驗的方式，樣本需要檢驗的次數(shù)記為ξ1；采用混合檢驗的方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)記為ξ2.（i）若k＝4，且，試運用概率與統(tǒng)計的知識，求p的值；（ii）若，證明：.21．（12分）已知在數(shù)列中，，且.（1）求，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項公式及前n項和.22．（10分）如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的一點.（1）證明：；（2）當平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時，求點B到平面DFE距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】建立空間直角坐標系，以向量法去求的大小即可解決.【詳解】由題意可得平面，，則兩兩垂直以O(shè)為原點，分別以O(shè)B、OA、OC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系則，，，，又，則故選：B2、D【解析】求出函數(shù)的導函數(shù)，設(shè)切點為，依題意即過切點的切線恰好與直線平行，此時切點到直線的距離最小，求出切點坐標，再利用點到直線的距離公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，設(shè)切點為，則，解得，所以切點為，點到直線的距離，所以曲線上的點到直線的距離的最小值是；故選：D3、B【解析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計算即可.【詳解】由已知，不妨設(shè)，則，因為，所以點在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點晴】本題考查雙曲線中焦點三角形面積的計算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道中檔題.4、B【解析】分別求得每個函數(shù)的導數(shù)即可判斷.詳解】；；；.故求導錯誤的是B.故選：B.5、B【解析】由題設(shè)可得，又，易知，，將問題轉(zhuǎn)化為平面點線距離關(guān)系：向量的終點為圓心，1為半徑的圓上的點到向量所在射線的距離最短，即可求的最小值.【詳解】解：∵，而，∴，又，即，又，，∴，若，則，∴在以為圓心，1為半徑的圓上，若，則，∴問題轉(zhuǎn)化為求在圓上的哪一點時，使最小，又，∴當且僅當三點共線且時，最小為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由已知確定，，構(gòu)成等邊三角形，即可將問題轉(zhuǎn)化為圓上動點到射線的距離最短問題.6、D【解析】根據(jù)程序框圖得出的變換規(guī)律后求解【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，可得輸出的T關(guān)于t的變換周期為4，而，故時，輸出的值為，故選：D7、A【解析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】..故選:A.8、A【解析】根據(jù)題意可得,圓心到直線的距離等于,即,求得,所以A選項是正確的.【點睛】判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法：(1)幾何法：利用ｄ與ｒ的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷．(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．上述方法中常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題9、D【解析】根據(jù)題意可得公差的范圍，再逐一分析各個選項即可得出答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，所以，故AB錯誤；若，則，與題意矛盾，故C錯誤；若，則，符合題意.故選：D.10、A【解析】由拋物線的方程直接寫出其準線方程即可.【詳解】由拋物線的方程為，則其準線方程為：故選：A11、A【解析】根據(jù)橢圓的定義進行求解即可.【詳解】因為的周長等于10，，所以，因此點的軌跡是以為焦點的橢圓，且不在直線上，因此有，所以頂點的軌跡方程可以是，故選：A12、C【解析】令可求得其零點，即的值，再利用導數(shù)可求得其極值點，即的值，從而可得答案【詳解】解：，當時，，即，解得；當時，恒成立，的零點為又當時，為增函數(shù)，故在，上無極值點；當時，，，當時，，當時，，時，取到極小值，即的極值點，故選：C【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，突出分析運算能力的考查，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)球半徑為，由球表面積求出，然后可得球的體積【詳解】設(shè)球半徑為，∵球的表面積為，∴，∴，∴該球的體積為故答案為【點睛】解答本題的關(guān)鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時由條件求得球的半徑后可得所求結(jié)果14、【解析】把直線方程化為斜截式，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出【詳解】設(shè)直線的傾斜角為由直線化為，故，又，故，故答案為【點睛】一般地，如果直線方程的一般式為，那么直線的斜率為，且，其中為直線的傾斜角，注意它的范圍是15、【解析】由題意得雙曲線的右焦點F(c,0)，設(shè)一漸近線OM的方程為，則另一漸近線ON的方程為．設(shè)，∵，∴，∴，解得∴點M的坐標為，又，∴，整理得，∴雙曲線的漸近線方程為答案：點睛：（1）已知雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程時，只要令雙曲線的標準方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程，即方程就是雙曲線的兩條漸近線方程（2）求雙曲線的漸進線方程的關(guān)鍵是求出的關(guān)系，并根據(jù)焦點的位置確定出漸近線的形式，并進一步得到其方程16、①.②.3【解析】由漸近線方程知，結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系及離心率的定義求雙曲線的離心率，由已知可得右焦點為，應(yīng)用點線距離公式求距離.【詳解】由題設(shè)，，則，當時，，則雙曲線為，故右焦點為，所以右焦點到漸近線的距離為.故答案為：，3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）分析可知直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，求出點的坐標，利用拋物線的定義可求得；（2）利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【小問1詳解】解：設(shè)點、，則直線的傾斜角為，易知點，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由題意可知，則，，因此，.【小問2詳解】解：設(shè)、，若軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，所以直線的斜率存在，因為、在拋物線上，則，兩式相減得，又因為為的中點，則，所以，直線的斜率為，此時，直線的方程為，即.18、（1）（2）【解析】（1）由題意可得化簡可得答案；（2）求出、方程并得到、點坐標，再聯(lián)立，方程求出交點和、點到的距離，可得，設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立利用韋達定理得到，設(shè)，記，利用導數(shù)可得答案..【小問1詳解】由題意可知：，即：化簡得：；【小問2詳解】由題意可知：，，，過點的切線斜率為，方程為：①，令，，則，同理：方程為：②，，聯(lián)立①②得：，的交點，，點到的距離，所以③，設(shè)：，則，整理得，所以，由韋達定理得：，，代入③式得：，設(shè)，記，則，令得（舍負），時，單調(diào)遞減：時，單調(diào)遞增，所以，當且僅當時的最小值為.19、（1）；（2）5，6，7；（3）.【解析】（1）先求得，，進而得到b，a求解；（2）根據(jù)題意，由求解；（3）利用古典概型的概率求解.【詳解】（1）由題可得，，，設(shè)所求線性回歸方程為，則，將，代入，得，故所求線性回歸方程為.（2）根據(jù)題意，，解得：，又，所以的所有可能取值為5，6，7.（3）設(shè)其他5個地區(qū)分別為，他們選擇結(jié)果共有25種，具體如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中他們在同一個地區(qū)的有5種，所以他們選取地區(qū)相同的概率.20、（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】（1）設(shè)恰好經(jīng)過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A，由古典概型概率計算公式可得答案；（2）（i）由已知，可能取值分別為1，，求解概率然后求期望推出關(guān)于的關(guān)系式；（ii）由，計算出，再由，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的最值可得答案..【詳解】（1）設(shè)恰好經(jīng)過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A，所以前2次檢驗中有一陽性有一陰性樣本第三次為陽性樣本，或者前3次均為陰性樣本，則.（2）（i），所以，可能取值分別為1，，，，因為得，因為，所以，.（ii）因為，由（i）知，所以，設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，所以由于，所以，即，得證.【（4）（5）選做】21、（1），，證明見解析（2），【解析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系求出，，對遞推公式變形，即可得證；（2）結(jié)合（1）求得通項公式，