幾何知識(shí)點(diǎn)匯總

平面幾何知識(shí)點(diǎn)匯總（一）知識(shí)點(diǎn)一相交線和平行線1.定理與性質(zhì)對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。2.垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。3.平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。4.平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。5.平行線的判定：判定1：同位角相等，兩直線平行。判定2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。判定3：同旁內(nèi)角相等，兩直線平行。知識(shí)點(diǎn)二三角形一、三角形相關(guān)概念1．三角形的概念由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做三角形要點(diǎn)：①三條線段；②不在同一直線上；③首尾順次相接．2．三角形中的三種重要線段（1）三角形的角平分線：三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線．（2）三角形的中線：在一個(gè)三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線．（3）三角形的高線：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的限度叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高．二、三角形三邊關(guān)系定理①三角形兩邊之和大于第三邊，故同時(shí)滿足△ABC三邊長(zhǎng)a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形兩邊之差小于第三邊，故同時(shí)滿足△ABC三邊長(zhǎng)a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定這三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形，只需看兩條較短的線段的長(zhǎng)度之和是否大于第三條線段即可三、三角形的穩(wěn)定性三角形的三邊確定了，那么它的形狀、大小都確定了，三角形的這個(gè)性質(zhì)就叫做三角形的穩(wěn)定性．例如起重機(jī)的支架采用三角形結(jié)構(gòu)就是這個(gè)道理．四、三角形的內(nèi)角結(jié)論1：三角形的內(nèi)角和為180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°結(jié)論2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．注意：①在三角形中，已知兩個(gè)內(nèi)角可以求出第三個(gè)內(nèi)角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三個(gè)內(nèi)角和的比或它們之間的關(guān)系，求各內(nèi)角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度數(shù)．五、三角形的外角1．意義：三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角．2．性質(zhì)：①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.②三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.③三角形的一個(gè)外角與與之相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)六、多邊形①多邊形的對(duì)角線條對(duì)角線；②n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°；③多邊形的外角和為360°知識(shí)點(diǎn)三全等三角形一、全等三角形1、“全等”的理解全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同的圖形；（2）大小相等的圖形；即能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。同樣我們把能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。（SSS）（2）兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。(ASA)（3）兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。(AAS)（4）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。(SAS)（5）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等。(HL)4、角平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等判定：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角平分線上二、軸對(duì)稱圖形（一）基本定義1.軸對(duì)稱圖形如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就叫做對(duì)稱軸.折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).2.線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線3.軸對(duì)稱變換由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換.4.等腰三角形有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.5.等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.（二）性質(zhì)1.如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.或者說(shuō)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.2.線段垂直平分錢的性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.3.（1）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′（x，-y）.（2）點(diǎn)P（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P″（-x，y）.4.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）.（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（3）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線就是它的對(duì)稱軸.（4）等腰三角形兩腰上的高、中線分別相等，兩底角的平分線也相等.（5）等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角是頂角的一半。（6）等腰三角形頂角的外角平分線平行于這個(gè)三角形的底邊.5.等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.（2）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，共有三條對(duì)稱軸.（3）等邊三角形每邊上的中線、高和該邊所對(duì)內(nèi)角的平分線互相重合.（三）有關(guān)判定1.與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.2.如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）.3.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.4.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.知識(shí)點(diǎn)四勾股定理1、勾股定理定義：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么（２）同圓或等圓的半徑相等；（３）等弧必須是同圓或等圓中的弧；（４）弧長(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，但等弧的弧長(zhǎng)必相等。３、圓心角的定義及性質(zhì)：（１）圓心角的定義：定點(diǎn)是圓心的角叫做圓心角。（２）圓心角、弦、弧的有關(guān)定理：①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等；②在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等；③在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等。4、圓周角的定義及性質(zhì)：（１）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。注意：圓周角必須具備兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交，二者缺一不可；圓周角和圓心角的①相同點(diǎn)：兩邊都和圓相交；②不同點(diǎn)：圓心角的頂點(diǎn)在圓心；圓周角的頂點(diǎn)在圓上。（２）圓周角的性質(zhì)：①一條弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)的圓心角的一半；②在同圓或等圓中，同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓周角相等；③在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等；④半圓或直徑所對(duì)的圓周角都相等，都等于９０°（直角）；⑤９０°的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑，所對(duì)的弧是半圓；⑥如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。5、垂徑定理與推理：（１）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。注意：這個(gè)結(jié)論中涉及圓中不是直徑的弦與直徑所在直線的關(guān)系，如果圓的一條非直徑的弦和一條直線滿足以下五個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足其余三個(gè)：①直線過(guò)圓心；②直線垂直于弦；③直線平分弦；④直線平分弦所對(duì)的劣弧；⑤直線平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，也可簡(jiǎn)單地理解為“二推三”。（２）垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。6、圓的對(duì)稱性：（１）圓既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形。注意：圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。（２）在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩弦的弦心距中，有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別相等。注意：運(yùn)用本知識(shí)時(shí)應(yīng)注意其成立的條件：“在同圓或等圓中”，也可簡(jiǎn)單地理解為“一推三”。７、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)。設(shè)⊙Ｏ的半徑為ｒ，點(diǎn)到圓心Ｏ的距離為ｄ，則有：點(diǎn)在圓外?ｄ＞ｒ；點(diǎn)在圓上?ｄ＝ｒ；點(diǎn)在圓內(nèi)?ｄ＜ｒ。注意：可以根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的大小比較來(lái)確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。８、確定圓的條件：過(guò)一個(gè)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓；過(guò)兩個(gè)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓，這些圓的圓心在連接這兩個(gè)點(diǎn)的線段的垂直平分線上；過(guò)在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓；過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)圓。９、三角形的外接圓及外心：經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。注意：（１）三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)；三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，任何三角形有且只有一個(gè)外接圓，任何一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形；（２）銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，外接圓的半徑等于斜邊的一半；鈍角三角形的外心在三角形的外部。10、圓的內(nèi)接四邊形：如果一個(gè)四邊形的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓。定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。注意：圓的內(nèi)接平行四邊形是矩形；圓的內(nèi)接梯形是等腰梯形。11、直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離。（１）直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線；（２）直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)；（３）直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相離。若⊙Ｏ的半徑為ｒ，圓心Ｏ到直線ｌ的距離為ｄ，則直線與圓的位置關(guān)系、交點(diǎn)個(gè)數(shù)及ｄ與ｒ的數(shù)量關(guān)系如下表：直線與圓的位置關(guān)系相離相切相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)０１２ｄ與ｒ數(shù)量關(guān)系ｄ＞ｒｄ＝ｒ０≤ｄ＜ｒ注意：可以根據(jù)圓心到直線的距離ｄ與圓的半徑ｒ的大小比較來(lái)判定直線與圓的位置關(guān)系。12、切線的判定與性質(zhì)：（１）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線必須滿足兩個(gè)條件：①經(jīng)過(guò)半徑的外端；②垂直于這條半徑。兩個(gè)條件缺一不可。注意：在判定直線與圓相切時(shí)，若直線與圓的公共點(diǎn)已知，證題方法是“連半徑，證垂直”；若直線與圓的公共點(diǎn)未知，證題方法是作垂線，證半徑。這兩種情況可概括為一句話：“有點(diǎn)連半徑，無(wú)點(diǎn)作垂線”。（２）切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。推論：①經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；②經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。注意：圓的切線性質(zhì)定理與它的兩個(gè)推論涉及了一條直線的三條性質(zhì)：①垂直于切線；②過(guò)圓心；③過(guò)切點(diǎn)。如果一條直線滿足以上三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那它一定滿足另外一個(gè)條件，也可以簡(jiǎn)單地理解為“二推一”。13、三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心：（１）定義：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。（２）性質(zhì)：三角形的內(nèi)心是三角形三內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。注意：任意三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，內(nèi)心一定在三角形內(nèi)，任意一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；如果三角形三邊長(zhǎng)分別為ａ、ｂ、ｃ，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形的面積Ｓ＝?（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ。14、切線長(zhǎng)定理：（１）定義：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。（２）定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。注意：圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等。15、弧長(zhǎng)的計(jì)算：（１）圓周長(zhǎng)公式：Ｃ＝２πＲ（Ｒ為圓的半徑）（２）弧長(zhǎng)公式：ｌ＝2πRn/360°=πRn/180（ｎ為弧所對(duì)的圓心角度數(shù)，不帶單位，Ｒ為圓的半徑）16、扇形面積的計(jì)算：（１）扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形。（２）圓的面積公式：Ｓ＝πＲ2（Ｒ為圓的半徑）（３）扇形的面積公式：Ｓ扇形＝=（Ｒ為扇形所在圓的半徑，ｌ為扇形的弧長(zhǎng)）注意：在運(yùn)用扇形的面積公式時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（１）公式中的ｎ與弧長(zhǎng)公式中的ｎ一樣，ｎ表示１°的圓心角的倍數(shù)，不帶單位；（２）扇形面積公式Ｓ扇形＝與內(nèi)切圓中的三角形面積公式十分類似；（３）根據(jù)扇形面積公式及弧長(zhǎng)公式，已知Ｓ扇形、ｌ、ｎ、Ｒ四個(gè)量中的任意兩個(gè)量都可以求出另外兩個(gè)量。17、圓錐的側(cè)面積與全面積：（１）圓錐的有關(guān)概念：圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面組成的。我們把圓錐底面圓周長(zhǎng)上任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的連線叫做圓錐的母線，連結(jié)頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫做圓錐的高。（２）圓錐的側(cè)面展開圖：沿著圓錐的母線可把圓錐的側(cè)面展開，圓錐的側(cè)面積展開圖是扇形，這個(gè)扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)。（３）圓錐的側(cè)面積和全面積公式：圓錐的側(cè)面積就是弧長(zhǎng)為圓錐底面圓的周長(zhǎng)，半徑為圓錐的一條母線長(zhǎng)的扇形面積，其計(jì)算公式為：Ｓ側(cè)＝；而圓錐的全面積就是它的側(cè)面積與它的底面積之和，其計(jì)算公式為：Ｓ全＝Ｓ側(cè)＋Ｓ底＝πｒR＋πｒ2＝πｒ（R＋ｒ）。特別提醒：在計(jì)算圓錐的側(cè)面積時(shí)，要注意各字母之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，千萬(wàn)不可錯(cuò)把圓錐底面圓的半徑等同于扇形半徑或把圓錐母線長(zhǎng)當(dāng)做扇形的弧長(zhǎng)。18、圓柱的側(cè)面展開圖：把圓柱的側(cè)面沿它的一條母線剪開，展在一個(gè)平面上，即得到圓柱的側(cè)面展開圖，這個(gè)展開圖是矩形，矩形的一邊長(zhǎng)等于圓柱的高，即圓柱的母線長(zhǎng)，另一邊是底面圓的周長(zhǎng)。圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長(zhǎng)乘以圓柱的高，圓柱的全面積等于側(cè)面和兩個(gè)底面圓的面積之和，即Ｓ側(cè)＝２πrｈ，Ｓ全＝Ｓ側(cè)＋２Ｓ