數(shù)學(xué)建模教案-第二課堂

樂山師范學(xué)院第二課堂數(shù)學(xué)建模教案要求：應(yīng)用和創(chuàng)新是數(shù)學(xué)建模的特點，也是素質(zhì)教育的靈魂；不論用數(shù)學(xué)方法解決哪類實際問題，還是與其他學(xué)科想結(jié)合形成交叉學(xué)科，首先的和關(guān)鍵的一步是用數(shù)學(xué)的語言表述所研究的對象，即建立數(shù)學(xué)模型。在高科技，特別是計算機技術(shù)迅速發(fā)展的今天，計算和建模正成為數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑。本活動課程程旨在通過教師部分講解和指導(dǎo)，特別是通過學(xué)生自己的實踐活動提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)知識的獲取能力。根據(jù)該活動課程特點，要求同學(xué)們做到以下幾個環(huán)節(jié)：1、認(rèn)真聽講，認(rèn)真體會，善于思考，積極討論，勤于總結(jié)。2、學(xué)會查閱資料，認(rèn)真參與各項活動，完成活動課題，要勤于動手，建好每一個模型，做好每一個實驗，認(rèn)真對待每一個計算步驟，寫出優(yōu)異的課題論文。3、有問題及時提問，及時解決。參考書1．《數(shù)學(xué)模型》譚永基復(fù)旦大學(xué)出版社1997年2．《數(shù)學(xué)模型》姜啟源高等教育出版社2003年3．《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗》趙靜但琦高等教育出版社2000年4．《大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教材》葉其孝湖南教育出版社2003年前言1、數(shù)學(xué)史簡介(包括數(shù)學(xué)建模史)數(shù)學(xué)，作為一門研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，它的內(nèi)容是從實際中抽象出來，與實際想脫離的，但在它生產(chǎn)和發(fā)展的歷史長河中，一直是和人們生活的實際需要密切相關(guān)。數(shù)學(xué)具有三大特點：（1）、抽象性（2）、嚴(yán)密性（3）、應(yīng)用的廣泛性數(shù)學(xué)的任務(wù)和發(fā)展動力應(yīng)用是數(shù)學(xué)的主要任務(wù)，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的主要動力。數(shù)學(xué)的發(fā)展階段數(shù)學(xué)發(fā)展經(jīng)歷了五個主要階段主要階段時期主要成果主要事件萌芽時期-3500到-600無演繹推理和公理法三次數(shù)學(xué)危機發(fā)生在-500，1754，1897年初等數(shù)學(xué)時期希臘文明-600到641論證數(shù)學(xué)逐漸形成[1]中世紀(jì)641到1300文藝復(fù)興1300到1640日心說動搖神學(xué)，自然科學(xué)解放[2]變量數(shù)學(xué)時期1640到1920微積分的誕生[3]近代數(shù)學(xué)時期1920到1945現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期1945到[1]雅典時期，泰勒斯，畢達(dá)哥拉斯開始對命題加以證明（勾股定理，無理數(shù)），沒留下書籍；亞歷山大時期，歐幾里德，阿基米德，阿波羅泥，海倫，丟番圖等作出了永載史冊的功績。[2]三次四次方程的求根公式，韋達(dá)和符號代數(shù)學(xué)，三角的發(fā)展，小數(shù)與對數(shù)的發(fā)明。笛卡兒力求用代數(shù)的方法來解決幾何問題，建立了解析幾何，標(biāo)志著變量數(shù)學(xué)時期的到來。[3]牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，通過微積分的完善建立了分析數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)建模是指用數(shù)學(xué)的語言和方法對實際問題進(jìn)行近似地刻劃和描述，數(shù)學(xué)建模并不是中新事物，自從有了數(shù)學(xué)并用數(shù)學(xué)去解決問題時，就有了數(shù)學(xué)建模?？v觀人類歷史上進(jìn)行過的三次重大的科學(xué)技術(shù)革命，每一次都是滲透著數(shù)學(xué)的應(yīng)用，都是數(shù)學(xué)建模過程。但將數(shù)學(xué)建模作為一門專門的學(xué)科和課程歷史還很短。（待續(xù)）2、數(shù)學(xué)建?；顒诱n程的培養(yǎng)目標(biāo)（1）、培養(yǎng)翻譯能力（2）、應(yīng)用已學(xué)到的數(shù)學(xué)方法和思想進(jìn)行綜合應(yīng)用和分析，并能學(xué)習(xí)一點新的數(shù)學(xué)知識，并能理解合理的抽象和簡化，特別是進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的重要性。（3）、發(fā)展聯(lián)想能力。（4）、逐漸發(fā)展形成一種洞察力。（5）、熟練使用技術(shù)手段。3、數(shù)學(xué)建模競賽（MCM）由來和歷史1985年以前美國只有一種大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（TheWilliamLowellPutnammathematicalMonthly,簡稱Putnam(普特南)數(shù)學(xué)競賽）自1938年起已舉辦50屆，普特南數(shù)學(xué)競賽在吸引青年人熱愛數(shù)學(xué)從而走上數(shù)學(xué)研究的道路，鼓勵各數(shù)學(xué)系更好地培養(yǎng)人才方面起了很大的作用，事實上一批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家就曾經(jīng)是它的獲獎?wù)?。（待續(xù)）第1章建立數(shù)學(xué)模型[教學(xué)目的和要求] 本章作為該課程的導(dǎo)言和數(shù)學(xué)模型的概述，主要討論建立數(shù)學(xué)模型的意義、方法和一般步驟，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)模型有一個全面的初步的了解。[教學(xué)內(nèi)容]§1．1從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型本節(jié)先討論原型和模型，特別是數(shù)學(xué)模型的關(guān)系，再介紹數(shù)學(xué)模型的意義。原型和模型原型（Prototype）和模型（Model）是一對對偶體。原型指人們在現(xiàn)實世界里關(guān)心、研究或者從事生產(chǎn)、管理的實際對象。在科技領(lǐng)域通常使用系統(tǒng)（System）、過程（Process）等詞匯，如機械系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、生命系統(tǒng)、社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，又如鋼鐵冶煉過程、導(dǎo)彈飛行過程、化學(xué)反應(yīng)過程、污染擴散過程、生產(chǎn)銷售過程、計劃決策過程等。本書所述的現(xiàn)實對象、研究對象、實際問題等均指原型。模型則是指為某個特定目的將原型的某一部分信息減縮、提煉而構(gòu)成的原型替代物。特別強調(diào)構(gòu)造模型的目的性。模型不是原形原封不動的復(fù)制品，原型有各個方面和各種層次的特征，而模型只要求反映與某種目的有關(guān)的那些方面和層次。一個原型，為了不同的目的可以有很多不同的模型，模型的基本特征是由構(gòu)造模型的目的決定的。例如：展廳里的飛機模型：外形上逼真，但是不一定會飛；航模競賽的模型飛機：具有良好的飛行性能，在外觀上不必苛求；飛機設(shè)計、試制過程中用大的數(shù)學(xué)模型和計算機模擬：要求在數(shù)量規(guī)律上真實反映飛機的飛行動態(tài)特征，毫不涉及飛機的實體。模型的分類用模型替代原型的方式來分類，模型可以分為物質(zhì)模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直觀模型、物理模型，后者包括思維模型、符號模型、數(shù)學(xué)模型。直觀模型指那些供展覽用的實物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例縮小或放大，主要追求外觀上的逼真。這類模型的效果是一目了然的。物理模型主要指科技工作者為一定目的根據(jù)相似原理構(gòu)造的模型，它不僅可以顯示原型的外形或某些特征，而且可以用來進(jìn)行模擬實驗，間接地研究原型的某些規(guī)律。如風(fēng)洞中的飛機模型用來試驗飛機在氣流中的空氣動力學(xué)特性。這類模型應(yīng)該注意驗證原型與模型間的相似關(guān)系，以確定模擬實驗結(jié)果的可靠性。物理模型的優(yōu)點是?？傻玫綄嵱蒙虾苡袃r值的結(jié)果，但也存在成本高、時間長、不靈活等缺點。思維模型指通過人們對原形的反復(fù)認(rèn)識，將獲取的知識以經(jīng)驗的形式直接存于人腦中，從而可以根據(jù)思維或直覺作出相應(yīng)的決策。通常說的某些領(lǐng)導(dǎo)者憑經(jīng)驗做決策就是如此。思維模型便于接受，也可以在一定條件下獲的滿意的結(jié)果，是它往往帶有模糊性、片面性、主觀性、偶然性等缺點，難以對它的假設(shè)條件進(jìn)行檢驗，并且不便于人們的相互溝通。符號模型是在一些約束或假設(shè)下借助于專門的符號、線條等，按一定形式組合起來描繪原型。如地圖、電路圖、化學(xué)結(jié)構(gòu)式等，具有簡明、方便、目的性強及非量化等特點。數(shù)學(xué)模型是由數(shù)字、字母或其它數(shù)學(xué)符號組成的，描述現(xiàn)實對象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形或算法。上面數(shù)學(xué)模型的概念還很模糊，我們下面仔細(xì)談?wù)勈裁词菙?shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型什么是數(shù)學(xué)模型航行問題：甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順?biāo)叫行?0h，從乙到甲逆水航行需50h，問船速，水速各若干？用x，y分別代表船速和水速，則可以得到如下兩個方程（x+y）·30=750，（x-y）·50=750實際上，這組方程就是上述航行問題的數(shù)學(xué)模型。列出方程，原問題已轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)問題。方程的解x=20km/h，y=5km/h，最終給出了航行問題的答案。從上例中，我們可以看出建立數(shù)學(xué)模型的基本內(nèi)容。建立數(shù)學(xué)模型的基本內(nèi)容：據(jù)建立數(shù)學(xué)模型的目的和問題的背景作出必要的簡化假設(shè)（上例中，假設(shè)航行中船速和水速為常數(shù)）；用字母表示待求的未知量（上例中，x，y代表船速和水速）；利用相應(yīng)的物理或其它規(guī)律（上例中，勻速運動的距離等于速度乘以時間），列出數(shù)學(xué)式子（上例中，二元一次方程）；求出數(shù)學(xué)上的解答（上例中，x=20，y=5）；利用解答解釋原問題（上例中，船速和水速分別為20km/h和5km/h）最后利用實際現(xiàn)象來驗證上述結(jié)果。數(shù)學(xué)模型可以描述為，對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必須的簡化假設(shè)，運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，等到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。本課程重點不在于介紹現(xiàn)實對象的數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel）是什么樣子,而是要討論建立數(shù)學(xué)模型（MathematicalModelling）全過程。建立數(shù)學(xué)模型簡稱為數(shù)學(xué)建?；蚪?。§1．2建模示例之一椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？問題：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需稍微挪動幾次，就可以使四只腳同時著地，放穩(wěn)了。這個看來似乎與數(shù)學(xué)無關(guān)的現(xiàn)象能用數(shù)學(xué)語言給以表述，并用數(shù)學(xué)工具來證實嗎？模型假設(shè)對椅子和地面作一些必要的假設(shè)：椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處可視為一個點，四腳的連線呈正方形.地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷（沒有像臺階那樣的情況），即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面.對于椅腳的間距和椅腳的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時著地.模型構(gòu)成中心問題是用數(shù)學(xué)語言把椅子四只腳同時著地的條件和結(jié)論表示出來。首先要用變量表示椅子的位置。注意到椅腳連線成正方形，以中心為對稱點，正方形的中心的旋轉(zhuǎn)正好代表了椅子位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量表示椅子的位置。在圖1中椅腳連線為正方形ABCD，對角線AC與x軸重合，椅子繞中心點O旋轉(zhuǎn)角度后，正方形ABCD轉(zhuǎn)至的位置，所以對角線AC與x軸的夾角表示了椅子的位置。其次要把椅腳著地用數(shù)學(xué)符號表示出來。如果用某個變量表示椅腳與地面的豎直距離,那么當(dāng)這個距離為零時就是椅腳著地了。椅子在不同位置時椅腳與地面的距離不同，所以這個距離是椅子位置變量的函數(shù)。雖然椅子有四只腳，因而有四個距離，但是由于正方形的中心對稱性，只要設(shè)兩個距離函數(shù)就行了。記A,C兩腳與地面距離之和為f（），B,D兩腳與地面距離之和為g（）（f（），g（）0）。有假設(shè)2，f和g是連續(xù)函數(shù)。又假設(shè)3，椅子在任何位置至少有三只腳著地，所以對于任意的，f（）和g（）中至少有一個為零。當(dāng)=0時不妨設(shè)g（）=0，f（）>0。這樣，改變椅子的位置使四只腳同時著地，就歸結(jié)為證明如下的數(shù)學(xué)命題：已知f（）和g（）是的連續(xù)函數(shù)，對任意，f（）·g（）=0，且g（0）=0，f（0）>0。證明存在，使f（）=g（）=0.模型求解上述命題有多種證明方法，這里介紹其中比較簡單，但是有些粗糙的一種。將椅子旋轉(zhuǎn)，對角線AC與BD互換。由g（0）=0和f（0）>0可知g（/2）>0和f（/2）=0。令h（）=f（）-g（），則h（0）>0和h（/2）<0。由f和g的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，必存在（0<</2）使h（）=0，即f（）=g（）.最后，因為f（）·g（）=0，所以f（）=g（）=0.由于這個實際問題非常直觀和簡單，模型的解釋和驗證就略去了。評注這個模型的巧妙之處在與用一元變量表示椅子的位置，用的兩個函數(shù)表示椅子四腳與地面的距離，進(jìn)而把模型假設(shè)和椅腳同時著地的結(jié)論用簡單、精確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，構(gòu)成了這個實際問題的數(shù)學(xué)模型。§1．3商人怎樣安全過河三名商人各帶一個隨從乘船過河，一只小船只能容納兩人，有他們自己劃船。隨從們密約，在河的任何一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨，但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中，商人們怎樣才能安全渡河呢？模型構(gòu)成記分別表示地k次渡河前此岸的商人數(shù)和隨從數(shù)，定義為狀態(tài)，顯然允許狀態(tài)集為分別表示地k次渡船上的商人數(shù)和隨從數(shù)，為決策變量；允許決策集為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程求解：編程解決！§1．４人口增長模型預(yù)報人口增長：指數(shù)增長模型阻尼增長模型§1．5建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟數(shù)學(xué)建模面臨的實際問題是多種多樣的，建模的目的不同、分析的方法不同、采用的數(shù)學(xué)工具不同，所得的模型的類型也不同，我們不能指望歸納出若干條準(zhǔn)則，使用與一切實際問題的數(shù)學(xué)建模方法。下面所謂的基本方法不是針對具體問題而是從方法論的意義上講的。數(shù)學(xué)建模的基本方法一般說來建模方法大體上可分為機理分析和測試分析兩種。機理分析是根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律，建立的模型常有明確的物理過現(xiàn)實意義?！?.2中的例子就是用的機理分析。測試分析將研究對象看作一個“黑箱”系統(tǒng)（意思是它的內(nèi)部機理看不清楚），通過對系統(tǒng)輸入，輸出數(shù)據(jù)的測量和統(tǒng)計分析，按照一定的準(zhǔn)則找出與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。面對一個實際問題用哪一種方法建模，主要取決與人們對研究對象的了解程度和建設(shè)模的目的。如果掌握了一些內(nèi)部機理的知識，模型也要求具有反映內(nèi)在特征的物理意義，建模就應(yīng)以機理分析為主。而如果對象的內(nèi)部規(guī)律基本上不清楚，模型也不需要反映內(nèi)部特性（例如僅用于對輸出作預(yù)報），那么就可以用測試分析。對于許多實際問題還常常將兩種方法結(jié)合起來建模，即用機理分析建立模型的結(jié)構(gòu)，用測試分析確定模型的參數(shù)。機理分析當(dāng)然針對具體問題來做，不可能有同意的方法，因而主要是通過實例研究（Casestudies）來學(xué)習(xí)。測試分析有一套完整的數(shù)學(xué)方法。本課程所說的數(shù)學(xué)建模主要是只機理分析。數(shù)學(xué)假模的一般步驟建模要經(jīng)過哪些步驟并沒有一定的模式，通常與問題的性質(zhì)、建模目的等有關(guān)。下面介紹的是機理分析方法建模的一般過程，如下圖所示.模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型檢驗?zāi)Ｐ头治瞿Ｐ颓蠼饽Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解問題的實際背景，明確建模的目的，搜集必要的信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，盡量弄清對象的主要特征形成一個比較清晰的“問題”，由此初步確定用哪一類模型。情況明才能方法對。在模型準(zhǔn)備階段要深入調(diào)查研究，虛心向?qū)嶋H工作者請教，盡量掌握第一手資料。模型假設(shè)根據(jù)對象的特征和建模目的，抓住問題的本質(zhì)，忽略次要因素，作出必要的、合理的簡化假設(shè)。對于建模的成敗這是非常重要和困難的一步。假設(shè)作的不合理或太簡單，會導(dǎo)致錯誤或無用的模型；假設(shè)作得過分詳細(xì)，試圖把復(fù)雜對象的眾多因素都考慮進(jìn)去，會使你很難或無法繼續(xù)下一部的工作。常常需要再合理與簡化之間作出恰當(dāng)?shù)恼壑?。模型?gòu)成根據(jù)所作的假設(shè)，用數(shù)學(xué)的語言、符號描述對象的內(nèi)在規(guī)律，建立包含常量、變量等的數(shù)學(xué)模型，如優(yōu)化模型、微分方程模型、差分方程模型、圖的模型等。建模時應(yīng)遵循的一個原則是：盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，因為你的模型總希望更多的人了解和使用，而不是只供少數(shù)專家欣賞。模型求解可以采用解方程、畫圖形、優(yōu)化方法、數(shù)值計算、統(tǒng)計分析等各種數(shù)學(xué)方法，特別是數(shù)學(xué)軟件和計算機技術(shù)。模型分析對求解結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的敏感性分析、對假設(shè)的強健性分析等。模型檢驗把求解和分析結(jié)果翻譯回到實際問題，與實際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。如果結(jié)果與實際不符，問題常常出在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補充假設(shè)，重新建模，如圖中的虛線所示。這一步對于模型是否真的有用非常關(guān)鍵，要以嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度對待。有些模型要經(jīng)過幾次反復(fù)，不斷完善，直到檢驗結(jié)果獲得某種程度上的滿意。模型應(yīng)用應(yīng)用的方式與問題性質(zhì)、建模目的及最終的結(jié)果有關(guān)，本課程一般不討論這個問題。數(shù)學(xué)建模的全過程數(shù)學(xué)建模的過程分為表述、求解、解釋、驗證幾個階段，并且通過這些階段完成從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型，再從數(shù)學(xué)模型回到現(xiàn)實對象的循環(huán)，如下圖所示。數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實對象的信息表述數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實對象的信息（歸納）驗證求解（演繹）現(xiàn)實對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答解答現(xiàn)實對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述是將現(xiàn)實問題“翻譯”成抽象的數(shù)學(xué)問題，屬于歸納法。數(shù)學(xué)模型的求解則屬于演繹法。歸納是依據(jù)個別現(xiàn)象推出一般規(guī)律；演繹是按照普遍原理考察特定對象，導(dǎo)出結(jié)論。因為任何事物的本質(zhì)都要通過現(xiàn)象來反映，必然要透過偶然來表露，所以正確的歸納不是主觀、盲目的，而是有客觀基礎(chǔ)的，但也往往是不精細(xì)的、帶感性的，不易直接檢驗其正確性。演繹利用嚴(yán)格的邏輯推理，對解釋現(xiàn)象、作出科學(xué)預(yù)見具有重大意義，但是它要以歸納的結(jié)論作為公理化形式的前提，只能在這個前提下保證其正確性。因此，歸納和演繹是辨證統(tǒng)一的過程：歸納是演繹的基礎(chǔ)，演繹是歸納的指導(dǎo)。解釋是把數(shù)學(xué)模型的解答“翻譯”回到現(xiàn)實對象，給出分析、預(yù)報、決策或者控制的結(jié)果。最后，作為這個過程的重要的一環(huán)，這些結(jié)果需要用實際的信息加以驗證。上圖揭示了現(xiàn)實對象和數(shù)學(xué)模型的關(guān)系。一方面，數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)象加以歸納、抽象的產(chǎn)物，它源于現(xiàn)實，又高于現(xiàn)實。另一方面，只有當(dāng)數(shù)學(xué)建模的結(jié)果經(jīng)受住現(xiàn)實對象的檢驗時，才可以用來知道實際，完成實踐——理論——實踐這一循環(huán)?！?．6數(shù)學(xué)模型的特點和建模能力的培養(yǎng)通過前面的學(xué)習(xí)，我們看到用建模方法解決實際問題，首先是用數(shù)學(xué)語言表述問題，即構(gòu)造模型，其次才是用數(shù)學(xué)工具求解構(gòu)成的模型。用數(shù)學(xué)語言表述問題，包括模型假設(shè)、模型構(gòu)造等，除了需要廣博的知識和足夠的經(jīng)驗之外，特別需要豐富的想象力和敏銳的洞察力。想象力指人們在原來知識的基礎(chǔ)上，將新感知的形象與記憶中的形象相互比較、重新組合、加工處理，創(chuàng)造出新的形象，是一種形象思維活動。洞察力知人們在充分占有資源的基礎(chǔ)上，經(jīng)過初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍棄次要因素，簡化問題的層次，對可以用哪些方法解決面臨的問題，以及不同方法的優(yōu)劣作出判斷。比類方法和理想化方法是建模中常用的方法，它們的運用與想象力、洞察力有密切關(guān)系。類比法注意到研究對象與已熟悉的另一對象具有某些共性，比較二者相似之處以獲得對研究對象的新認(rèn)識。選擇什么對象進(jìn)行類比，比較哪些相似的屬性，在一定程度上是靠想象進(jìn)行的。將交通流與水流類比來建立交通流模型是這方面的例子。理想化方法是從觀察和經(jīng)驗中通過想象和邏輯思維，把對象簡化、純化，使其升華到理想狀態(tài)，以期更本質(zhì)地揭示對象的固有規(guī)律。在一定條件下把物體看作質(zhì)點，把實際位置看成數(shù)學(xué)上的點、線等理想化的結(jié)果。直覺和靈感在數(shù)學(xué)建模中往往也起著不可忽略的作用。直覺是人們對新事物本質(zhì)的極敏銳的領(lǐng)悟、理解或推斷，靈感指在人們有意識或下意識思考過程中迸發(fā)出來的猜測、思路或判斷。二者都具有突發(fā)性，且思維者本人往往說不清它的來路和道理。當(dāng)由于各種限制利用已有知識難以對研究對象作出有效的推理和判斷時，憑借相似、類比、猜測，外推等思維方式及不完整、不連續(xù)、不嚴(yán)密的，帶啟發(fā)性的直覺和靈感，去“戰(zhàn)略性”地認(rèn)識對象，是人類創(chuàng)造性思維的特點之一，也是人腦比按程序邏輯工作的計算機、機器人的高明之處。直覺和靈感不是憑空產(chǎn)生的，它要求人們具有豐富的背景知識，對問題進(jìn)行反復(fù)思考和艱難探索對各種思維方法運用嫻熟。相互討論和思想交鋒，特別是不同專業(yè)的成員之間的探討，是激發(fā)直覺和靈感的重要因素。掌握建模這門藝術(shù)，培養(yǎng)想象力和洞察力，需要作好這樣兩條：第一，學(xué)習(xí)、分析、評價、改造別人作過的模型。首先弄懂它，分析為什么這么作，然后找出它的優(yōu)缺點，并嘗試改進(jìn)的方法。第二，要親自動手，踏實地做幾個實際題目。為了這個目的，本課程主要將采取實例研究方法。[教學(xué)重點與難點] 了解數(shù)學(xué)建模的一般步驟和方法，體會如何用數(shù)學(xué)的語言和方法表述和解決實際問題。[思考討論題]１、§1．2的方桌問題（推廣到長方形）2、跑步問題：在任何5min的時間區(qū)間內(nèi)均不能跑500m，問10min內(nèi)能否恰好跑1000m。提示：第2章MATLAB語言[教學(xué)目的和要求]了解MATLAB在主要功能，掌握MATLAB的基本命令和語法；會利用MATLAB編寫程序。[教學(xué)內(nèi)容]1．MATLAB語言的特點與工作原理 2．MATLAB命令與文件的編輯 3．MATLAB語言應(yīng)用舉例[教學(xué)重點與難點]MATLAB的基本命令和語法，難點是利用MATLAB編寫程序。[練習(xí)實驗題]1、隨機產(chǎn)生兩個矩陣A,B(都為10x10的方陣),計算A+B和AB2、計算自然底數(shù)e(精確到)第3章初等數(shù)學(xué)方法建模[教學(xué)目的和要求] 通過用簡單的數(shù)學(xué)方法對一些饒有趣味的實際問題的解決，進(jìn)一步了解建模的方法，讓學(xué)生認(rèn)識到衡量模型優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)是應(yīng)用的效果而不是采用多么高深的方法。[教學(xué)內(nèi)容]§3．1公平的席位分配某學(xué)校有3個系共200名學(xué)生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。若學(xué)生代表會議設(shè)20個席位，公平而又簡單的席位分配方法是按學(xué)生人數(shù)的比例分配，顯然甲乙丙三系分別應(yīng)占有10，6，4個席位?，F(xiàn)在丙系有6名學(xué)生轉(zhuǎn)入甲乙兩系，各系人數(shù)如表1第2列所示。仍按比例（表中第三列）分配席位時出現(xiàn)了小數(shù)（表中第4列），在將取得整數(shù)的10席分配完畢后，三系同意剩下的1席參照所謂慣例分給比例中小數(shù)最大的丙系，于是三系仍分別占有10，6，4席（表中第5列）。因為有20個席位的代表會議在表決提案時可能出現(xiàn)10：10的局面，會議決定下一屆增加1席。他們按照上述方法重新分配席位，計算結(jié)果見表6，7列。顯然這個結(jié)果對丙系太不公平，因為總席位增加1席，而丙系卻由4席減為3席。請?zhí)岢鲂碌姆峙浞椒?。系學(xué)生人數(shù)學(xué)生人數(shù)20個席位的分配21個席位的分配別的比例（%）比例分配參照慣例比例分配參照慣例甲10351.510.31010.81511乙6331.56.366.6157丙3417.03.443.5703總和200100.020.02021.00021分析：從表中可見，分配的席位從20->21,丙隊名額從4->3，顯然是不合理的。為了給出席位分配方案，我們先討論A,B兩方的席位分配方案。設(shè)兩方的認(rèn)輸為,占有席位為;如這樣不公平程度可用來衡量；但這是一個絕對指標(biāo)，有其不合理性，如=120,=100,==10及=1020,=1000,==10兩種情況指標(biāo)值是一樣的。所以我們引入相對指標(biāo)為對A的不公平度。如,可定義對B的不公平度當(dāng)總席位增加一個時，要么分給A要么分給B,不失一般性可設(shè)，即對A不公平。當(dāng)再分配一個席位時可能有以下3種可能。，說明給A增加一個仍然對A不公平，自然分給A。,說明給A增加一個席位對B不公平，計算rb(n1+1,n2)。，說明給B增加一個席位對A不公平，計算ra(n1,n2+1)。這樣如果則給A方，否則給B.而上式又等價于這樣我們定義，增加的一席分配給Q值較大的一方。這種席位分配的方法稱為Q值法?！?．2劃艇比賽的成績賽艇是一種靠槳手劃槳前進(jìn)的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇，八人艇四種。各種艇雖然大小不同，但形狀相似。T.A.McMahon比較了各種賽艇1964-1970年四次2000m比賽的最好成績（包括1964年和1968年的兩次奧運會和兩次世界錦標(biāo)賽），見表5第1到6列，發(fā)現(xiàn)它們之間有相當(dāng)一致的差別，他認(rèn)為比賽成績與槳手?jǐn)?shù)量之間存在著某中聯(lián)系，于是建立了一個模型來解釋這種關(guān)系。200m成績t（min）艇長l艇寬b艇重(kg)艇種1234平均(m)（m）l/b槳手?jǐn)?shù)n單人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3雙人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7問題分析賽艇前進(jìn)時受到的阻力主要是艇浸沒部分與水之間的摩擦力。艇靠槳手的力量克服阻力保持一定的速度前進(jìn)。槳手越多，劃艇前進(jìn)的動力越大。但是艇與槳手總重量的增加會使艇浸沒面積加大，于是阻力加大。建模目的是尋找槳手?jǐn)?shù)量與比賽成績之間的數(shù)量規(guī)律。從上表中可以看出，槳手?jǐn)?shù)增加時，艇的尺寸，及艇重都隨之增加，但比值和變化不大。若假定是常數(shù)，即各種艇的形狀一樣，則可得到艇浸沒面積與排水體積之間的關(guān)系。若假定是常數(shù)，則可得到艇和槳手的總重量與槳手?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。此外還需對槳手體重、劃槳功率、阻力與艇速的關(guān)系等方面作出簡化且合理的假定，才能運用合適的物理定律建立需要的模型。模型假設(shè)各種艇的集合形狀相同，為常數(shù)；艇重與槳手?jǐn)?shù)成正比。這是艇的靜態(tài)特征。艇速是常數(shù)，前進(jìn)時受的阻力與成正比（是艇浸沒部分面積）。這是艇的動態(tài)特征。所有槳手的體重都相同，記作；在比賽中每個槳手的劃漿功率保持不變，且與成正比。模型構(gòu)成有名槳手的艇的總功率與阻力和速度的乘積成正比，即（1）由假設(shè)2，3代入（1）式可得（2）由假設(shè)1，各種艇幾何形狀相同，若艇浸沒面積與艇的某特征尺寸的平方成正比（），則艇的排水體積必與的立方成正比（），于是有（3）又根據(jù)艇重與槳手?jǐn)?shù)成正比，所以艇和槳手的總重量也與成正比，即（4）而由阿基米德定律，艇排水體積與總重量成正比，即（5）由（3），（4），（5）有（6）將（6）代入（2）式，當(dāng)是常數(shù)時得到（7）因為比賽成績（時間）與成反比，所以就得到了（8）模型檢驗設(shè)與的關(guān)系為和為待定系數(shù)。對上式兩邊取，得到利用最小二乘法根據(jù)所給數(shù)據(jù)擬合上式，得到可以看出（8）式與這個結(jié)果吻合得相當(dāng)好?！?．3錄象機計數(shù)器的用途老式的錄象機上都有計數(shù)器，而沒有計時器，一些錄音機也有類似的情況。這種計數(shù)器有什么用呢，讓我們從這樣一個問題開始：一盤表明180分鐘的錄象帶從頭轉(zhuǎn)到尾，用時184分鐘，計數(shù)器從0000變到6061。在某一次使用中錄象帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為4450，問剩下的一段還能否錄下一小時的節(jié)目。如果計數(shù)器讀數(shù)隨著錄象帶的轉(zhuǎn)動是均勻增加的，那么由于4450已經(jīng)顯著地超過6041的三分之二，即錄象帶已經(jīng)轉(zhuǎn)了兩小時多，所以顯然不能再錄一小時的節(jié)目。但是你細(xì)心地觀察一下就會發(fā)現(xiàn)，讀數(shù)并非均勻增長而是先快后慢，這樣，回答上面的問題就需要知道讀數(shù)器讀數(shù)與錄象帶轉(zhuǎn)過的時間之間的關(guān)系。本節(jié)目的就是建立表述這個關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。首先，我們要找出計數(shù)器讀數(shù)（記n）與錄象帶轉(zhuǎn)過的時間（記t）之間的關(guān)系，即建立一個數(shù)學(xué)模型.模型假設(shè)錄象帶的線速度是常數(shù)v;計數(shù)器讀數(shù)n與右輪盤轉(zhuǎn)的圈數(shù)（m）成正比，m=kn,k為比例系數(shù)；錄象帶厚度是常數(shù)w,空右輪盤半徑為r；初始時刻t=0時n=0.模型建立由錄象帶轉(zhuǎn)m圈的長度和線速度的關(guān)系得考慮到w比r小得多及m=kn易得當(dāng)然還可以用其他的辦法得到此式。將上式的兩個系數(shù)分別記為a和b即得通過實驗數(shù)據(jù)（如下表）經(jīng)擬合得a=0.00000261,b=0.0145這樣題目中的問題就可以解決了。t0102030405060708090n061711411601201924032760309634133715t100110120130140150160170184n400442804545480350515291552557526061§3．4雙層玻璃的功效你是否注意到北方城鎮(zhèn)的一些建筑物的窗戶是雙層的，即窗戶上裝兩層的玻璃且中間留有一定空隙，如下圖所示，兩層厚度為d的玻璃夾著一層厚度為l的空氣。據(jù)說這樣做是為了保暖，即減少室內(nèi)向室外的熱量流失。我們要建立一個模型來描述熱量通過窗戶的傳導(dǎo)（即流失）過程，并將雙層玻璃窗與用同樣多材料做成的單層玻璃窗（如圖三右圖，玻璃厚度為2d）的熱量傳導(dǎo)進(jìn)行對比，對雙層玻璃窗能夠減少多少熱量損失給出定量分析結(jié)果。墻墻dd2d熱傳導(dǎo)方向墻墻圖雙層玻璃與單層玻璃模型假設(shè)熱量的傳播過程只有傳導(dǎo)，沒有對流。室內(nèi)溫度和室外溫度保持不變，即沿?zé)醾鲗?dǎo)方向，單位時間通過單位面積的熱量是常數(shù)。玻璃材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)是常數(shù)。模型構(gòu)成熱傳導(dǎo)過程遵循以下的物理定律：厚度為d的均勻介質(zhì)，兩側(cè)的溫度差為，則單位時間由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過單位面積的熱量Q與成正比，與d成反比，即（1）為熱傳導(dǎo)系數(shù)。記雙層窗內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度是，外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度是，玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)是，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)是，由（1），單位時間單位面積的熱量傳導(dǎo)（熱量流失）為（2）由（2）可以得（3）對于厚度為2的單層玻璃，容易寫出其熱量傳導(dǎo)為（4）兩者之比為（5）顯然。由物理學(xué)的相關(guān)知識，有保守估計，取/=16，又.我們可以看出只與有關(guān)，是的減函數(shù)。§3．5動物的身長和體重四足動物的軀干的長度（不含頭尾）與它的體重有什么關(guān)系，這個問題有一定的實際意義。比如在生豬收購站或屠宰場工作的人們，往往希望能從生豬的身長估計出它的體重。動物的生理結(jié)構(gòu)因種類不同而異，如果陷入對生物學(xué)復(fù)雜生理結(jié)構(gòu)的研究，將很難得到滿足上述目的的有使用價值的模型。這里我們僅在十分粗略的假設(shè)基礎(chǔ)上，利用類比方法，借助力學(xué)的某些結(jié)果，建立動物身長與體重間的比例關(guān)系。把四肢動物的軀干看做圓柱體，長度、直徑、斷面面積，入下圖所示。將這種圓柱體的軀干類比作一根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用一些彈性力學(xué)的一些研究結(jié)果。設(shè)動物在自身體重f作用下軀干的最大下垂為b，即梁的最大彎曲，根據(jù)對彈性梁的研究（1）因為，所以（2）四足動物軀干示意圖 動物軀干的相對垂度。太大，四足將無法支撐；太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐軀干的需要，無疑是一種浪費。因此從生物學(xué)的角度可以假定，經(jīng)過長期進(jìn)化，對于每一種動物而言已經(jīng)達(dá)到其最合適的數(shù)值，換句話說，應(yīng)視為與這種動物的尺寸無關(guān)的常數(shù)，于是由（2）式得到再從，，以（3）式代入可得即體重與軀干長度的4次方成正比。這樣，對于某一種四足動物比如生豬，在根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定出上述比例系數(shù)以后，就能從軀干長度估計出動物的體重了。[教學(xué)重點與難點] 如何將講解的幾個實際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，并進(jìn)行求解。[練習(xí)實驗題]學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。學(xué)生們要組織一個10人的委員會，試用下列方法分配各宿舍的委員數(shù)：按比例分配取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大的。Q值方法：m方席位分配方案：設(shè)第i方人數(shù)為，已經(jīng)占有個席位，i=1，2，…，m .當(dāng)總席位增加1席時,計算，i=1，2，…，m把這一席分給Q值大的一方。d’Hondt方法：將A，B，C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n=1,2,3,…相除，其商數(shù)如下表：12345…A235117.578.358.75…B333166.511183.25…C43221614410886.4將所得商數(shù)從大到小取前10個（10為席位數(shù)），在數(shù)字下標(biāo)以橫線，表中A,B,C行有橫線的數(shù)分別為2，3，5，這就是3個宿舍分配的席位。（試解釋其道理。）（4）試提出其他的方法。第4章數(shù)學(xué)的巧妙應(yīng)用[教學(xué)目的和要求]通過一些簡單的問題，讓學(xué)生嘗試怎樣把數(shù)學(xué)應(yīng)用到實際問題中，培養(yǎng)和發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性思維。[教學(xué)內(nèi)容]問題：棋子顏色的變化任意拿出黑白兩種顏色的棋子共8個，排成如下圖所示的一個圓圈。然后在兩顆顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，在兩顆顏色不同的棋子中間放一顆白色棋子，放完后撤掉原來所放的棋子。在重復(fù)以上的過程，這樣放一圈后就拿走前次的一圈棋子，問這樣重復(fù)進(jìn)行下去各棋子的顏色會怎樣變化呢？跑步問題在任何一個5min的時間去件內(nèi)均不跑500m，問10min能否恰好跑完1000m？鋪瓷磚問題要用40快方形瓷磚鋪如下圖所示形狀的地面，但當(dāng)時市場上只有長方形瓷磚，每塊大小等于方形的兩塊。一人買了20塊長方形瓷磚，試著鋪地面，結(jié)果弄來弄去始終無法鋪好。試問是這人的工夫不到家還是這個問題根本無解呢？鋪瓷磚地面七橋問題18世紀(jì)，普魯士哥尼斯堡鎮(zhèn)上有一個小島，島旁流過一條河的兩條支流，七座橋跨在河的兩支流上（如下圖）。假設(shè)A表示島，B表示河的左岸，C表示右岸，D為兩支流間地區(qū)，a,b,c,d,e,f,g分別表示七座橋。問一個人能否經(jīng)過每座橋一次且恰好經(jīng)過每座橋一次并且最后回到原出發(fā)點？圖：哥尼斯七橋相識問題在6人的集會上，假定認(rèn)識是相互的，則總能找到或者3個人相互都認(rèn)識，或者3個人誰都不認(rèn)識誰。請問這個結(jié)論正確嗎？夫妻過河問題有三對夫妻要過河，船至多可載2人，條件是任一女子不能在其丈夫不在場的情況下與另外的男子在一起，問如何安排這3對夫妻過河。解答：棋子顏色的變化這個問題似乎和數(shù)學(xué)沒有關(guān)系，純粹是游戲性的東西。但我們完全可以用數(shù)學(xué)的推理方法說明最多經(jīng)過8次變換，各棋子的顏色都會變黑.注意到我們的規(guī)則是同色的棋子中間加黑色棋子，兩異色的棋子中間加白色棋子，即黑黑得黑，白白得黑，黑白得白，用+1表示黑，-1表示白，則這與+1、-1之間的乘法運算是一致的，開始擺的8顆棋子記為，我們僅關(guān)心的是棋子的顏色，故+1或-1，，下一次在與中間擺的棋子的顏色由決定，類似的正好給出了所放棋子的顏色，這樣一次次地放下去，各次的顏色均可由下面的數(shù)確定：第0次第1次第2次第三次第八次在原來的基礎(chǔ)上，最多經(jīng)過8次變換以后，各個數(shù)都變成了+1，這意味著所有旗子都是黑色，且以后重復(fù)上述過程，顏色也就不再變化了。跑步問題設(shè)[0，t]內(nèi)跑過的距離為，則是t的連續(xù)非減函數(shù)，假設(shè)在10分鐘之內(nèi)能夠跑1000m，則有，，令,就是t的連續(xù)函數(shù)，=，，因，故由連續(xù)函數(shù)的介值定理，必有，與題意矛盾，所以假設(shè)錯誤，題目中提出的要求無法實現(xiàn)。瓷磚問題首先討論用20塊長方形瓷磚鋪成題中圖所示地面的可能性。為此，在圖上黑白相間地染色。然后仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)工有19個白格和21個黑格。一塊長方形瓷磚可以蓋住一黑一白兩個方塊兩個方塊。所以鋪上19塊長方形瓷磚后，總要剩下2個黑格無法鋪，因一塊長方形瓷磚是無法蓋住兩個黑格的，唯一的解決辦法是把最后一