道路工程測(cè)量坐標(biāo)系下統(tǒng)一坐標(biāo)的計(jì)算方法

道路工程測(cè)量坐標(biāo)系下統(tǒng)一坐標(biāo)的計(jì)算方法

1緩和曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的計(jì)算在測(cè)量和設(shè)計(jì)中，必須根據(jù)路徑設(shè)計(jì)元素計(jì)算道路中軸線上每個(gè)樁的統(tǒng)一坐標(biāo)，并編制每個(gè)樁的坐標(biāo)表。在直線和圓曲線段的坐標(biāo)計(jì)算,是比較簡(jiǎn)單的,但對(duì)緩和曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算,如果不加注意,就會(huì)產(chǎn)生問(wèn)題。例如文獻(xiàn)采用弦切角等于轉(zhuǎn)向角的13這個(gè)近似值來(lái)推算緩和曲線上點(diǎn)的坐標(biāo),雖然在某些情況下,其計(jì)算誤差是在允許的范圍之內(nèi),但在另外一些情況下會(huì)出現(xiàn)較大的不能允許的誤差。因此,在使用這種算法時(shí),必須注意它的適用范圍,以下就這一問(wèn)題進(jìn)行分析。25次半進(jìn)線7—利用弦切角近似值對(duì)坐標(biāo)計(jì)算的影響如圖1,在緩和曲線上有一點(diǎn)J,它離ZH點(diǎn)弧長(zhǎng)為l,相應(yīng)的弦長(zhǎng)為d,轉(zhuǎn)向角為β,弦切角為δ,J點(diǎn)在ZH為原點(diǎn),指向JD的局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為x,y,其計(jì)算式為{x=l-l540R2L2S+l93456R4L4Sy=l36RLS-l7336R3L3S+l1142240R5L5S(1)同時(shí)轉(zhuǎn)向角β=l22RLS(2)由于tgδ=yx≈yl≈l26RLS=β3(3)因δ是一個(gè)很小的角,故取tgδ≈δ≈β3。于是,由圖1得到在統(tǒng)一的測(cè)量坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為{X=xΖΗ+xcosδcos(A1+εδ)Y=yΖΗ+xcosδsin(A1+εδ)(4)式中ε為曲線轉(zhuǎn)向取值,若右轉(zhuǎn),則ε=+1,反之,ε=-1。A1為ZH坐標(biāo)系正向在測(cè)量坐標(biāo)系下的方位角。如果β、δ以度為單位,則δ=β3=l21803?2RLSπ=30l2πRLS代入(4)式得{X=xΖΗ+xcos(30l2πRLS)cos(A1+ε30l2πRLS)Y=yΖΗ+xcos(30l2πRLS)sin(A1+ε30l2πRLS)(5)這就是文獻(xiàn)中的(7—17)式,類似的公式還有(7—23)、(7—24)、(7—38)、(7—39)等式。它們是卵形曲線上由一端點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算緩和曲線起點(diǎn)的計(jì)算公式。我們僅討論(4)式(即(5)式),其結(jié)論完全適用于后面提到的幾式。值得指出的是,(5)式是由于取δ=β3得到的,故這是一個(gè)近似式,應(yīng)用此式時(shí),有一定的適用范圍,不能當(dāng)通用公式使用。為了使討論簡(jiǎn)化,取ε=+1。由(4)式化簡(jiǎn)得{X=xΖΗ+x(cosA1-sinA1tgδ)Y=yΖΗ+x(sinA1+cosA1tgδ)(6)如果δ不取β3作為近似值計(jì)算,而取正確值tgδ=yx,則代入上式得{X=xΖΗ+xcosA1-ysinA1Y=yΖΗ+xsinA1+ycosA1(7)上式就是由局部坐標(biāo)系坐標(biāo)化為測(cè)量坐標(biāo)系坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式。而(6)式由于采用δ=β3而成為一個(gè)似公式。兩式對(duì)應(yīng)相減,即為采用近似式而產(chǎn)生的對(duì)坐標(biāo)的影響值,即{△X=xsinA1(yx-tgβ3)△Y=xcosA1(yx-tgβ3)(8)把上式括號(hào)中的兩項(xiàng)按級(jí)數(shù)展開(kāi)得yx-tgβ3=yl(1-l440R2LS2)-(β3+β381)=β3(1-110β2)-(β3+β381)=β3+130β3-β3-β381=17810β3為討論方便起見(jiàn),僅考慮點(diǎn)位誤差得△S=△X2+△Y2=17810xβ3≈17810l(lLS)6β03(9)式中β0為緩和曲線終點(diǎn)轉(zhuǎn)向角,LS為緩和曲線長(zhǎng)。若僅考慮緩和曲線終點(diǎn)處的點(diǎn)位誤差,則△SΗY=17810LSβ03(10)若已求得△SHY,易得任一點(diǎn)的點(diǎn)位誤差為△S=(lLS)7△SΗY(11)規(guī)范規(guī)定R3≤A≤R,即應(yīng)選取LS滿足29≤LS≤R,其中A為回旋線參數(shù),令LS=KR,則β0=Κ2代入(10)得△SΗY=1381LSΚ3(12)現(xiàn)以K和LS為引數(shù),編制查取ΔSHY的表如表1所示。表中粗線分別為大于0.01m,0.1m,0.5m,1.0m的分界線。從表中看出,當(dāng)緩和曲線較長(zhǎng)K接近于1的時(shí)候,由于弦切角采用13轉(zhuǎn)向角,這個(gè)近似值產(chǎn)生的誤差大到不能允許的程度,(表中緩和曲線長(zhǎng)僅列到400m,若更大時(shí)將產(chǎn)生更大的誤差)。由于圓曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)是利用HY點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)計(jì)算的,故它將產(chǎn)生同樣大的誤差。文獻(xiàn)在逐樁坐標(biāo)計(jì)算表的計(jì)算說(shuō)明(見(jiàn)P62)中說(shuō),計(jì)算公式采用包括(5)式在內(nèi)的公式,并且逐樁坐標(biāo)計(jì)算表3～15中坐標(biāo)計(jì)算到毫米。從表1看出,按(5)式計(jì)算,難以達(dá)到毫米級(jí)的精度。3關(guān)于shy公式的計(jì)算設(shè)有緩和曲線,曲線長(zhǎng)LS=300m,圓曲線半徑R=500m,ZH點(diǎn)的坐標(biāo)和切線方位角分別為XZH=100m,YZH=100m,A1=30°,現(xiàn)在按近似式(5)和正確公式(7)分別計(jì)算,其結(jié)果列于表2中。由表2,在弧長(zhǎng)為300m時(shí),兩者坐標(biāo)差△X=86mm,△Y=-148mm,故△SHY=170mm。本例K=LS/R=0.6,查表1也得到△SHY=170mm,可見(jiàn)以上分析是正確的。從表2還看出:本例從l=150m開(kāi)始,△x、△y出現(xiàn)差數(shù),并迅速增加,到終點(diǎn)時(shí)分別達(dá)到86mm和-148mm,這是不能允許的。而文獻(xiàn)中逐樁坐標(biāo)計(jì)算表所以沒(méi)有出現(xiàn)較大誤差是因?yàn)镵最大僅為0.267(LS=40m,R=150m),就這樣代入(12)式中也可算出△SHY=2mm。4按《y=scoa113式計(jì)算(1)在計(jì)算緩和曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),弦切角采用轉(zhuǎn)向角的13作為近似值,利用(5)式計(jì)算產(chǎn)生的點(diǎn)位誤差如(11)、(12)式所示,而對(duì)緩和曲線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)誤差由(8)式易知為{△X=△SsinA1△Y=△ScosA1(13)其中△S由(11)式計(jì)算。特別重要點(diǎn)HY的坐標(biāo)誤差為{△XΗY=△SΗYsinA1△YΗY=△SΗYcosA1(14)由于HY點(diǎn)的坐標(biāo)誤差,將使圓曲線上的點(diǎn)產(chǎn)生同樣的誤差。(2)在一些情況下,按(5)式計(jì)算產(chǎn)生的坐標(biāo)誤差將會(huì)超出允許的范圍,這可根據(jù)要求的計(jì)算精度再參看表1來(lái)確定。但當(dāng)超出要