道路工程測量坐標系下統(tǒng)一坐標的計算方法

道路工程測量坐標系下統(tǒng)一坐標的計算方法

1緩和曲線上點的坐標的計算在測量和設計中，必須根據(jù)路徑設計元素計算道路中軸線上每個樁的統(tǒng)一坐標，并編制每個樁的坐標表。在直線和圓曲線段的坐標計算,是比較簡單的,但對緩和曲線上點的坐標計算,如果不加注意,就會產(chǎn)生問題。例如文獻采用弦切角等于轉向角的13這個近似值來推算緩和曲線上點的坐標,雖然在某些情況下,其計算誤差是在允許的范圍之內(nèi),但在另外一些情況下會出現(xiàn)較大的不能允許的誤差。因此,在使用這種算法時,必須注意它的適用范圍,以下就這一問題進行分析。25次半進線7—利用弦切角近似值對坐標計算的影響如圖1,在緩和曲線上有一點J,它離ZH點弧長為l,相應的弦長為d,轉向角為β,弦切角為δ,J點在ZH為原點,指向JD的局部坐標系中的坐標為x,y,其計算式為{x=l-l540R2L2S+l93456R4L4Sy=l36RLS-l7336R3L3S+l1142240R5L5S(1)同時轉向角β=l22RLS(2)由于tgδ=yx≈yl≈l26RLS=β3(3)因δ是一個很小的角,故取tgδ≈δ≈β3。于是,由圖1得到在統(tǒng)一的測量坐標系下的坐標為{X=xΖΗ+xcosδcos(A1+εδ)Y=yΖΗ+xcosδsin(A1+εδ)(4)式中ε為曲線轉向取值,若右轉,則ε=+1,反之,ε=-1。A1為ZH坐標系正向在測量坐標系下的方位角。如果β、δ以度為單位,則δ=β3=l21803?2RLSπ=30l2πRLS代入(4)式得{X=xΖΗ+xcos(30l2πRLS)cos(A1+ε30l2πRLS)Y=yΖΗ+xcos(30l2πRLS)sin(A1+ε30l2πRLS)(5)這就是文獻中的(7—17)式,類似的公式還有(7—23)、(7—24)、(7—38)、(7—39)等式。它們是卵形曲線上由一端點坐標計算緩和曲線起點的計算公式。我們僅討論(4)式(即(5)式),其結論完全適用于后面提到的幾式。值得指出的是,(5)式是由于取δ=β3得到的,故這是一個近似式,應用此式時,有一定的適用范圍,不能當通用公式使用。為了使討論簡化,取ε=+1。由(4)式化簡得{X=xΖΗ+x(cosA1-sinA1tgδ)Y=yΖΗ+x(sinA1+cosA1tgδ)(6)如果δ不取β3作為近似值計算,而取正確值tgδ=yx,則代入上式得{X=xΖΗ+xcosA1-ysinA1Y=yΖΗ+xsinA1+ycosA1(7)上式就是由局部坐標系坐標化為測量坐標系坐標的坐標轉換公式。而(6)式由于采用δ=β3而成為一個似公式。兩式對應相減,即為采用近似式而產(chǎn)生的對坐標的影響值,即{△X=xsinA1(yx-tgβ3)△Y=xcosA1(yx-tgβ3)(8)把上式括號中的兩項按級數(shù)展開得yx-tgβ3=yl(1-l440R2LS2)-(β3+β381)=β3(1-110β2)-(β3+β381)=β3+130β3-β3-β381=17810β3為討論方便起見,僅考慮點位誤差得△S=△X2+△Y2=17810xβ3≈17810l(lLS)6β03(9)式中β0為緩和曲線終點轉向角,LS為緩和曲線長。若僅考慮緩和曲線終點處的點位誤差,則△SΗY=17810LSβ03(10)若已求得△SHY,易得任一點的點位誤差為△S=(lLS)7△SΗY(11)規(guī)范規(guī)定R3≤A≤R,即應選取LS滿足29≤LS≤R,其中A為回旋線參數(shù),令LS=KR,則β0=Κ2代入(10)得△SΗY=1381LSΚ3(12)現(xiàn)以K和LS為引數(shù),編制查取ΔSHY的表如表1所示。表中粗線分別為大于0.01m,0.1m,0.5m,1.0m的分界線。從表中看出,當緩和曲線較長K接近于1的時候,由于弦切角采用13轉向角,這個近似值產(chǎn)生的誤差大到不能允許的程度,(表中緩和曲線長僅列到400m,若更大時將產(chǎn)生更大的誤差)。由于圓曲線上點的坐標是利用HY點的坐標來計算的,故它將產(chǎn)生同樣大的誤差。文獻在逐樁坐標計算表的計算說明(見P62)中說,計算公式采用包括(5)式在內(nèi)的公式,并且逐樁坐標計算表3～15中坐標計算到毫米。從表1看出,按(5)式計算,難以達到毫米級的精度。3關于shy公式的計算設有緩和曲線,曲線長LS=300m,圓曲線半徑R=500m,ZH點的坐標和切線方位角分別為XZH=100m,YZH=100m,A1=30°,現(xiàn)在按近似式(5)和正確公式(7)分別計算,其結果列于表2中。由表2,在弧長為300m時,兩者坐標差△X=86mm,△Y=-148mm,故△SHY=170mm。本例K=LS/R=0.6,查表1也得到△SHY=170mm,可見以上分析是正確的。從表2還看出:本例從l=150m開始,△x、△y出現(xiàn)差數(shù),并迅速增加,到終點時分別達到86mm和-148mm,這是不能允許的。而文獻中逐樁坐標計算表所以沒有出現(xiàn)較大誤差是因為K最大僅為0.267(LS=40m,R=150m),就這樣代入(12)式中也可算出△SHY=2mm。4按《y=scoa113式計算(1)在計算緩和曲線上點的坐標時,弦切角采用轉向角的13作為近似值,利用(5)式計算產(chǎn)生的點位誤差如(11)、(12)式所示,而對緩和曲線上任意點的坐標誤差由(8)式易知為{△X=△SsinA1△Y=△ScosA1(13)其中△S由(11)式計算。特別重要點HY的坐標誤差為{△XΗY=△SΗYsinA1△YΗY=△SΗYcosA1(14)由于HY點的坐標誤差,將使圓曲線上的點產(chǎn)生同樣的誤差。(2)在一些情況下,按(5)式計算產(chǎn)生的坐標誤差將會超出允許的范圍,這可根據(jù)要求的計算精度再參看表1來確定。但當超出要