中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法

淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法摘要小結(jié)在解題過程中怎樣由假設(shè)出發(fā)尋找矛盾,哪些類型的問題適用于反證法,以及在學(xué)習(xí)反證法的過程中應(yīng)注意的兩方面。關(guān)鍵詞反證法命題反設(shè)歸謬結(jié)論０引言反證法是數(shù)學(xué)的一種極其重要的方法，特別是遇到的一些直接證明難于入手，甚至無法入手的問題，反證法可使證明變得輕而易舉。它和分析法、綜合法一樣，有著悠久的歷史，應(yīng)用也相當(dāng)廣泛。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，反證法是一個(gè)難點(diǎn)。在學(xué)習(xí)反證法之前，學(xué)生在學(xué)習(xí)平行線、相交線、三角形等各章中，證題用的都是直接證法，突然學(xué)習(xí)反證法，與已有的證題習(xí)慣不同，所以學(xué)生初學(xué)反證法，會(huì)有排斥的心理。加之，現(xiàn)在課本要求不高，例題很少，學(xué)生與老師不重視，知識(shí)不鞏固，使學(xué)生無法深刻理解反證法的作用。但是，中學(xué)生好奇心強(qiáng)，對新鮮事物興趣濃，抓住這一特點(diǎn)，從淺顯的、學(xué)生熟知的事實(shí)入手說明“反證法”，再引導(dǎo)其抽象概括，就能收到很好的教學(xué)效果。論文中通過幾個(gè)例子表現(xiàn)反證法的思維方式，說明反證法在解題中的重要作用，并總結(jié)哪些類型的問題適用于反證法。深刻理解反證法的實(shí)質(zhì)，切實(shí)掌握它的解題要領(lǐng)，能提高邏輯思維能力和解決實(shí)際問題的能力。１反證法的由來反證法是數(shù)學(xué)中的一種證明方法，它是與直接證法相對的間接證法的一種。法國數(shù)學(xué)家J·阿達(dá)瑪在其所著《初等數(shù)學(xué)教程》（平面幾何卷）中作了最準(zhǔn)確、最簡明扼要的描述：“反證法在于表明，若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”。反證法作為一種最重要的數(shù)學(xué)證明方法，在數(shù)學(xué)命題的證明中被廣泛應(yīng)用。歐幾里得證明“素?cái)?shù)有無窮多”的結(jié)論，歐多克斯證明“兩個(gè)正多邊形的面積比等于其對應(yīng)線段比的平方”的結(jié)論，“最優(yōu)化原理”的證明，伽利略推翻“不同重量的物體從高空下落的速度與其重量成正比”的斷言，“上帝并非全能”的證明，都用了反證法。２什么是反證法反證法是從原命題結(jié)論的反面出發(fā)，通過正確的邏輯推理過程，導(dǎo)致矛盾的結(jié)果，從而肯定原命題結(jié)論正確的證明方法。它是反設(shè)后通過歸謬使命題得到證明的方法，所以，反證法又稱“歸謬法”。英國數(shù)學(xué)家哈代對于這種證法給過一個(gè)很有意思的評(píng)論，在棋類比賽中，經(jīng)常采用一種策略，叫“棄子取勢”，即犧牲一些棋子以換取優(yōu)勢。哈代指出，歸謬法是遠(yuǎn)比任何棋術(shù)更為高超的一種策略，棋手可以犧牲的是幾個(gè)棋子，而數(shù)學(xué)家可以犧牲整盤棋。反證法就是作為一種可以想象的最了不起的策略而產(chǎn)生的。３反證法的一般步驟應(yīng)用反證法證題，首先應(yīng)分清命題的條件和結(jié)論，再按“反設(shè)歸謬結(jié)論”三步進(jìn)行：3.1反設(shè)作出與原命題結(jié)論相反的假設(shè)。反設(shè)是應(yīng)用反證法的第一步，也是關(guān)鍵的一步。反設(shè)的結(jié)論將是下一步歸謬的一個(gè)已知條件。反設(shè)是否正確、全面，直接影響下一步的證明。作為反設(shè)其含義是：假設(shè)所要證明的命題的結(jié)論不成立，而討論的反面成立故應(yīng)準(zhǔn)確找到命題的結(jié)論，抓住關(guān)鍵的字句進(jìn)行分析、引導(dǎo)、示范、訓(xùn)練，體會(huì)怎樣對命題的結(jié)論進(jìn)行正確、全面的否定。在訓(xùn)練時(shí)，主要做以下工作：（1）正確分清題設(shè)和結(jié)論。（2）對結(jié)論實(shí)施正確否定。一般而言，一種情形是直接在結(jié)論前加“不”或去掉“不”。例如：是不是，有沒有，能不能，成立不成立，存在不存在，大于等于不大于等于（即小于）等等，此類問題的否定較為簡單。另一種情形是不能簡單地加“不”，例如，：只有一個(gè)，：至少有兩個(gè)；：至少有一個(gè)，：一個(gè)都沒有；：至多有一個(gè)，：有兩個(gè)或兩個(gè)以上；:都在，:都不在或不都在等等。這些應(yīng)多做分析理解。（3）對結(jié)論否定后，應(yīng)找出其所有的情況。例如，：大于，：不大于。不大于即小于或等于。對這兩種情況在下一步的“歸謬”中應(yīng)一一證明不成立。3.2歸謬以及肯定結(jié)論反證法的“歸謬”是反證法的核心，其含義是：從命題結(jié)論的假設(shè)（即把反設(shè)作為一個(gè)新的已知條件）及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進(jìn)行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果。“肯定結(jié)論”其含義是：判斷產(chǎn)生矛盾的原因在于反設(shè)是假，從而肯定原命題是真。在教學(xué)中應(yīng)通過適當(dāng)?shù)睦}，由淺入深地去引導(dǎo)學(xué)生如何尋找和探求矛盾，矛盾產(chǎn)生常有以下幾種可能。3.2.1由假設(shè)或已知所推出的結(jié)果與已知條件相矛盾例1、已知+，求證：+。分析：這是一個(gè)不等式問題（1）反設(shè)。結(jié)論是“+”，則應(yīng)假設(shè)為，那么將作為下一步“歸謬”的已知條件。（2）歸謬。是一個(gè)已知條件，結(jié)合題設(shè)分析、均為三次方，故由,得＞2-,所以.這個(gè)結(jié)論與已知+=2矛盾，而推理正確，故而假設(shè)錯(cuò)誤，（3）肯定結(jié)論?？隙ńY(jié)論+正確，命題得證。3.2.2由假設(shè)或已知推出的結(jié)果與已學(xué)定理相矛盾例2、已知:如圖1，設(shè)點(diǎn)A、B、C在同一直線上，求證：過A、B、C三點(diǎn)不能作圓.分析：命題的結(jié)論是一個(gè)否定性結(jié)論。（1）反設(shè)。不能能，假設(shè)過A、B、C三點(diǎn)能作圓，那么這個(gè)結(jié)論將作為下一步“歸謬”的一個(gè)已知條件。（2）歸謬。由上述假設(shè)過A、B、C三點(diǎn)能作圓出發(fā)，設(shè)此圓圓心為O，則A、B、C三點(diǎn)中連任意兩點(diǎn)的線段是圓O的弦，由垂徑定理：O既在AB的中垂線OM上，又在BC的中垂線ON上，從而過點(diǎn)O有兩條直線OM與ON均與AC垂直，這個(gè)結(jié)論就與定理“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”相矛盾。推理正確，故而假設(shè)錯(cuò)誤。（3）肯定結(jié)論。即過同一直線上三點(diǎn)A、B、C不能作圓。（圖1）3.2.3由假設(shè)或已知推出的結(jié)果與已學(xué)性質(zhì)相矛盾例3、已知，求證：（+）分析：（1）反設(shè)。結(jié)論是“，則應(yīng)假設(shè)（+）．（2）歸謬。∵（+）,∴+2∴-2+0．（與已知結(jié)合）又∵，∴（-）0．此結(jié)論與實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性質(zhì)矛盾，說明假設(shè)錯(cuò)誤．（3）肯定結(jié)論?！啵?）．3.2.4由假設(shè)或已知所推出的結(jié)果與已學(xué)公理相矛盾例4、在同一平面內(nèi)，若，是垂直于直線的兩條不同的直線，則直線，不相交。分析：這是一個(gè)幾何問題，涉及到直線的垂直問題。（1）反設(shè)。假設(shè)，相交（2）歸謬。因?yàn)椋嘟?，所以從直線外一點(diǎn)（，交點(diǎn)）引兩條直線，同它垂直，又由平面幾何知識(shí)可知，從直線外一點(diǎn)不可能引兩條不同直線，同它垂直，這顯然與公理相矛盾，所以假設(shè)不成立。（3）肯定結(jié)論。命題成立，即若直線與直線同時(shí)垂直于直線，則，不相交。3.2.5由已知所推出的結(jié)果與假設(shè)相矛盾例5、已知+2，求證：-1分析：（1）反設(shè)。假設(shè)≤-1．（2）歸謬。因?yàn)椤?1，所以＝-，又所以-2＜2．故-1．這與假設(shè)相矛盾，所以假設(shè)不成立．（3）肯定結(jié)論。所以-1?？偨Y(jié)：從假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件，利用已學(xué)知識(shí)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)赝评恚３？傻贸雠c已學(xué)性質(zhì)、定理、已知條件或假設(shè)矛盾。４用反證法解題的幾種類型在解題中，題目未指明用什么方法，便面臨選擇直接證法還是間接證法更好，甚至有些命題必須用反證法才能證明，如何掌握反證法的使用場合呢？一般來說，以下幾種命題類型宜用反證法。４.1“至多、至少”型命題通過反設(shè)結(jié)論，改變原來的限制條件，然后歸謬、推理、找出矛盾。例6、設(shè)，求證：,,中至少有一個(gè)等于１。證明：假設(shè),,中沒有一個(gè)等于１，則，,。因而，即(*)因?yàn)?，所?代入(*)式，有。這和已知相矛盾，故中至少有一個(gè)等于１。4.2唯一型命題以否定唯一性為條件，得出反面結(jié)論、再用枚舉法逐一否定各個(gè)反面結(jié)論，從而肯定結(jié)論。例7、求證：兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)。證明：假設(shè)兩條直線l,l相交有兩個(gè)交點(diǎn)（設(shè)為A、B兩點(diǎn)），則過A、B兩點(diǎn)有兩條不同直線l,l，這與“兩點(diǎn)確定一條直線”（公理）相矛盾,故假設(shè)不成立，所以兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)。4.3無限型命題待證命題的結(jié)論是無限的，結(jié)論涉及的對象無法一一列出，這些命題結(jié)論的反面事項(xiàng)是有限的、肯定的，這時(shí)宜用反證法。例8、證明方程的正根是無理數(shù)。證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)上升；又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以方程的正根是在1.5與1.6之間，設(shè)正根是有理數(shù)(是互質(zhì)的自然數(shù)),則()+=10，即，，由于是自然數(shù)，所以為整數(shù)，則是整數(shù)。又因?yàn)榛ベ|(zhì)，所以只有公因數(shù)１，上式說明只能是10的因數(shù)，但是p取1，2，5，10的既約分?jǐn)?shù)時(shí)，都不會(huì)在1.5與1.6之間，因此假設(shè)不成立，故原命題正確。4.4肯定型命題以“必然”為結(jié)論的命題，通過肯定結(jié)論給出命題，將原來的肯定命題轉(zhuǎn)化為否定命題，再利用該否定命題找出矛盾。例9、已知均為正整數(shù)，且滿足,又為質(zhì)數(shù)，求證：與c兩數(shù)必為一奇一偶。證明：假設(shè)和c同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，由,得,根據(jù)奇偶數(shù)性質(zhì)知和同為偶數(shù)，則必為偶數(shù)，也為偶數(shù)，但是質(zhì)數(shù)，所以=2，即有,所以或，可得或，這與、均為正整數(shù)相矛盾，所以與必為一奇一偶。4.5否定型命題通過否定結(jié)論給出命題，將原來的否定命題轉(zhuǎn)化為肯定命題，再利用該肯定命題找出矛盾。例10、設(shè)、、為不相等的實(shí)數(shù)，求證：３個(gè)二次方程,,不可能有等根.證明：設(shè)３個(gè)二次方程都有等根，則顯然應(yīng)有,,,將該３式相加，得,即,由此可推得，這和已知矛盾，所以３個(gè)二次方程不可能都有等根。4.6不等型命題根據(jù)不等命題的否定得到另一個(gè)不等命題，再利用已知條件找出矛盾，使命題獲證。例11、在△中，,求證：。證明：假設(shè),由已知條件得,即,因?yàn)閟in≠0,故2sin＝cos，又A＜π，所以＞＞。則sin＞，所以cos＞1。這與cos≤1矛盾，故假設(shè)不成立，所以A≤。4.7其它類型命題除了以上幾種常見題型宜用反證法，還有以下幾種情形的命題可用反證法：①基本定理、公理以及一些定理的逆定理；②條件較少，且又無公理、定理可用；③直接證法較難，命題結(jié)論的反面更易于反駁?？傊?，當(dāng)從已知條件出發(fā)要證出結(jié)論較困難時(shí)，而此時(shí)結(jié)論的反面又比結(jié)論本身更明確、更具體、更簡單、更易判斷時(shí)就可考慮用反證法。在學(xué)習(xí)和解決實(shí)際問題的過程中須注意命題的結(jié)論中如有“能”、“有”、“一定”等肯定性詞語時(shí)，或有“不能”、“不是”、“不存在”、“不可得”等否定語句時(shí)，或命題結(jié)論中有“至多”、“至少”、“無窮”等詞語時(shí)?？煽紤]用反證法，另外不等關(guān)系的證明，當(dāng)結(jié)論的反面容易否定時(shí)，也可用反證法。只要不斷地進(jìn)行探索和總結(jié)，就能切實(shí)掌握如何應(yīng)用反證法。5應(yīng)用反證法證題應(yīng)注意的兩方面在反證法的學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往由于對反證法的認(rèn)識(shí)不夠、理解不深，缺乏證明命題必要的邏輯推理能力，以致于常出現(xiàn)不少問題5.1“反證法”與直接證法的等效性反證法作為一種間接證法，盡管在表現(xiàn)形式上和直接證法有所區(qū)別，且作為一種證明方法，它有時(shí)又是獨(dú)一無二的，但實(shí)質(zhì)上它和直接證法是等效的，是可以相互轉(zhuǎn)換的，它遵循的推理格式是（AC）(AB)。例12：已知，如圖2，AC、BD分別是AB的垂線、斜線且三線共面，求證：BD與AC相交。1、用直接證法：因?yàn)锽D與AB斜交，而AC⊥AB，所以BD與AC不平行，又因?yàn)锳C、BD共面，可知它們分別交直線AB于A、B兩點(diǎn)，所以，AC、BC不重合，即AC與BD相交（同一平面內(nèi)的兩直線不是平行，就是相交）。2、用反證法：假設(shè)BD與AC不相交，則由題意可知BD∥AC，又因?yàn)锳C⊥AB,所以BD⊥AB,這與已知BD與AB斜交相矛盾，所以BD與AC相交。（圖2）5.2“反證法”與舉反例不等同舉反例是說明一個(gè)命題是假命題時(shí)一種常用的方法，例如，要說明假命題“大于的角是鈍角”，只要隨便舉一個(gè)大于或等于л的角，如角，根據(jù)鈍角的定義，它大于л但卻不是鈍角。反證法則是直接證明比較困難時(shí)而采用的一種間接證法，且常應(yīng)用于證明真命題，其證明的步驟分為反設(shè)歸謬肯定原結(jié)論三段，因此與舉反例相比，反證法在格式上更嚴(yán)格、規(guī)范，要求更高一些。6結(jié)束語數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的科學(xué)，通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅能夠解決許多實(shí)際問題，還可以在學(xué)習(xí)的過程中培養(yǎng)人的思維能力。反證法作為一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，其獨(dú)特的證明方法和思維方式能使學(xué)生