2023-2024學(xué)年云南民族大學(xué)附屬中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年云南民族大學(xué)附屬中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．知點分別為圓上的動.點，為軸上一點，則的最小值（）A. B.C. D.2．已知圓的圓心在x軸上，半徑為1，且過點，圓：，則圓，的公共弦長為A. B.C. D.23．若數(shù)列的通項公式為，則該數(shù)列的第5項為（）A. B.C. D.4．過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（）A B.C. D.5．沙糖桔網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對2019年這一年的收支情況，下列說法中錯誤的是（）A.月收入的最大值為90萬元，最小值為30萬元 B.這一年的總利潤超過400萬元C.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.7月份的利潤最大6．雙曲線C：的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點到頂點的距離為（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m8．若拋物線的焦點與橢圓的下焦點重合，則m的值為（）A.4 B.2C. D.9．已知數(shù)列滿足，且，為其前n項的和，則（）A. B.C. D.10．已知，數(shù)列，，，與，，，，都是等差數(shù)列，則的值是（）A. B.C. D.11．在等差數(shù)列中，若的值是A.15 B.16C.17 D.1812．已知{an}是以10為首項，－3為公差的等差數(shù)列，則當(dāng){an}的前n項和Sn，取得最大值時，n=（）A.3 B.4C.5 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線，則以下結(jié)論正確的是______.①曲線C關(guān)于點對稱；②曲線C關(guān)于y軸對稱；③曲線C被x軸所截得的弦長為2；④曲線C上的點到原點距離都不超過2.14．已知為直線上的動點，為函數(shù)圖象上的動點，則的最小值為______15．已知數(shù)列滿足，則＝________.16．設(shè)，則曲線在點處的切線的傾斜角是_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在三棱柱中，側(cè)面正方形的中心為點平面，且，點滿足（1）若平面，求的值；（2）求點到平面的距離；（3）若平面與平面所成角的正弦值為，求的值18．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，設(shè)，求數(shù)列的前n項和.19．（12分）如圖，在梯形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點在線段含端點上運動，當(dāng)點在什么位置時，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值.20．（12分）已知極坐標(biāo)系的極點在直角坐標(biāo)系的原點處，極軸與軸的正半軸重合，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)）（1）求直線的直角坐標(biāo)方程及曲線的普通方程；（2）求曲線上的點到直線的距離的最大值21．（12分）如圖，在三棱柱中，，D為BC的中點，平面平面ABC（1）證明：；（2）已知四邊形是邊長為2的菱形，且，問在線段上是否存在點E，使得平面EAD與平面EAC的夾角的余弦值為，若存在，求出CE的長度，若不存在，請說明理由22．（10分）已知圓：，點A是圓上一動點，點，點是線段的中點.（1）求點的軌跡方程；（2）直線過點且與點的軌跡交于A，兩點，若，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】求出圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，∴若與關(guān)于x軸對稱，則，即，當(dāng)三點不共線時，當(dāng)三點共線時，所以同理(當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號)所以當(dāng)三點共線時，當(dāng)三點不共線時，所以∴的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，∴.故選：B.2、A【解析】根據(jù)題意設(shè)圓方程為:,代點即可求出,進而求出方程,兩圓方程做差即可求得公共弦所在直線方程,再利用垂徑定理去求弦長.【詳解】設(shè)圓的圓心為,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,將點代入方程,解得,故方程為:,兩圓,方程作差得其公共弦所在直線方程為:,圓心到該直線的距離為,因此公共弦長為,故選:A.【點睛】本題綜合考查圓的方程及直線與圓,圓與圓位置關(guān)系,屬于中檔題.一般遇見直線與圓相交問題時,常利用垂徑定理解決問題.3、C【解析】直接根據(jù)通項公式，求；【詳解】，故選：C4、D【解析】設(shè)雙曲線的方程為，再代點解方程即得解.【詳解】解：由得，所以橢圓的焦點為.設(shè)雙曲線的方程為，因為雙曲線過點，所以.所以雙曲線的方程為.故選：D5、B【解析】根據(jù)圖形和中位數(shù)、眾數(shù)的概念依次判斷選項即可.【詳解】A：由圖可知，月收入的最大值為90，最小值為30，故A正確；B：各個月的利潤分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以總利潤為20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(萬元)，故B錯誤；C：這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30，故C正確；D：7月份的利潤最大，為60萬元，故D正確.故選：B6、D【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接求出其漸近線方程作答.【詳解】雙曲線C：的實半軸長，虛半軸長，即有，而雙曲線C的焦點在y軸上，所以雙曲線C的漸近線的方程為，即.故選：D7、A【解析】根據(jù)題意先建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可設(shè)出拋物線方程，利用已知條件得出點在拋物線上，代入方程求得p值，進而求得焦點到頂點的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點O重合，焦點F在x軸上設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件可得，點在拋物線上，所以，解得，因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m，故選：A.8、D【解析】求出橢圓的下焦點，即拋物線的焦點，即可得解.【詳解】解：橢圓的下焦點為，即為拋物線焦點，∴，∴.故選：D.9、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式即可求解.【詳解】由題可知是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：B.10、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，分別表示出，，整理即可得答案.【詳解】數(shù)列，，，和，，，，各自都成等差數(shù)列，，，，故選:A11、C【解析】由已知直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解【詳解】在等差數(shù)列{an}中，由a1+a2+a3=3，得3a2=3，即a2=1，又a5=9，∴a8=2a5-a2=18-1=17故選C【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題12、B【解析】由題可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，即得.【詳解】∵{an}是以10為首項，－3為公差的等差數(shù)列，∴，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故時，取得最大值故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④【解析】將x換成,將y換成,若方程不變則關(guān)于原點對稱；將x換成，曲線的方程不變則關(guān)于y軸對稱；令通過解方程即可求得被x軸所截得的弦長；利用基本不等式即可判斷出曲線C上y軸右側(cè)的點到原點距離是否不超過2，根據(jù)曲線C關(guān)于y軸對稱，即可判斷出曲線C上的點到原點距離是否都不超過2.【詳解】對于①，將x換成,將y換成,方程改變，則曲線C關(guān)于點不對稱，故①錯誤；對于②，將x換成，曲線的方程不變，則曲線C關(guān)于y軸對稱，故②正確；對于③，令得，，解得，即曲線C與x軸的交點為和，則曲線C被x軸所截得的弦長為，故③錯誤；對于④，當(dāng)時，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，則，即曲線C上y軸右側(cè)的點到原點的距離都不超過2，此曲線關(guān)于y軸對稱，即曲線C上y軸左側(cè)的點到原點的距離也不超過2，故④正確；故答案為：②④.14、【解析】求得的導(dǎo)數(shù)，由題意可得與直線平行的直線和曲線相切，然后求出的值最小，設(shè)出切點，求出切線方程，再由兩直線平行的距離公式，得到的最小值【詳解】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)與直線平行的直線與曲線相切，設(shè)切點為，則，所以，所以，所以，所以，所以切線方程為，可得的最小值為，故答案為：15、4【解析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)得，可得，即數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項公式化簡可得值.【詳解】因為，所以，即數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：4.【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式以及對數(shù)的運算性質(zhì)，熟練運用相應(yīng)的公式即可，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義，化簡整理，可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】因為=，所以，則曲線在點處的切線斜率為，即，又所以所求切線的傾斜角為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）或.【解析】(1)連接ME，證明即可計算作答.(2)以為原點，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計算點到平面的距離即可.(3)由(2)中空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求平面與平面所成角的余弦即可計算作答.【小問1詳解】在三棱柱中，因，即點在上，連接ME，如圖，因平面面，面面，則有，而為中點，于是得為的中點，所以.【小問2詳解】在三棱柱中，面面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，又為正方形，即，而平面，以為原點，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，依題意，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，又，則到平面的距離，所以點到平面的距離為.【小問3詳解】因，則，，設(shè)面的法向量為，則，令，得，于是得，而平面與平面所成角的正弦值為，則，即，整理得，解得或，所以的值是或.【點睛】易錯點睛：空間向量求二面角時，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算，要認真細心，準(zhǔn)確計算.18、（1）（2）.【解析】(1)由數(shù)列的前n項和與通項公式之間的關(guān)系即可完成.(2)由錯位相減法即可解決此類“差比”數(shù)列的求和.【小問1詳解】由，得當(dāng)時，，上下兩式相減得，，又當(dāng)時，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式；【小問2詳解】由（1）可知，所以，則，上下兩式相減得，所以.19、（1）證明見解析（2）點與點重合時，二面角的余弦值為【解析】（1）先利用平面幾何知識和余弦定理得到及各邊長度，利用線面平行的性質(zhì)和判定定理得到線面垂直，再利用線線平行得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，得到相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用平面的法向量夾角求出二面角的余弦值，再通過二次函數(shù)的最值進行求解.【小問1詳解】證明：在梯形中，因為，，又因為，所以,，所以，即，解得，，所以，即.因為平面，平面，所以，而平面平面，所以平面.因為，所以平面.【小問2詳解】解：分別以直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè)，則，所以，設(shè)為平面的一個法向量，由得，取，則，又是平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，所以因為，所以當(dāng)時，有最小值為，所以點與點重合時，平面與平面所成二面角最大，此時二面角的余弦值為.20、（1）直線的直角坐標(biāo)方程是，曲線的普通方程是（2）【解析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的公式進行求解，消去參數(shù)求出普通方程；（2）設(shè)曲線上任一點以，利用點到直線距離公式和輔助角公式進行求解.【小問1詳解】因為，所以，即，將，代入，得直線的直角坐標(biāo)方程是由得曲線的普通方程是【小問2詳解】設(shè)曲線上任一點以，則點到直線的距離當(dāng)時，，故曲線上的點到直線的距離的最大值為21、（1）證明見解析（2）存在，1【解析】（1）由面面垂直證明線面垂直，進而證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進行求解.【小問1詳解】∵，且D為BC的中點，∴，因為平面平面ABC，交線為BC，AD⊥BC，AD面ABC，所以AD⊥面，因為面，所以.【小問2詳解】假設(shè)存在點E，滿足題設(shè)要求連接，，∵四邊形為邊長為2的菱形，且，∴為等邊三角形，∵D為BC的中點∴，∵平面平面ABC，交線為BC，面，所以面ABC，故以D為原點，DC，DA，分別為x，y，z軸的空間直