2023-2024學年江西省撫州市臨川區(qū)第一中學高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2023-2024學年江西省撫州市臨川區(qū)第一中學高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數(shù)列滿足，對任意，都有，則（）A. B.C. D.2．等差數(shù)列中，若，，則等于（）A. B.C. D.3．如圖是等軸雙曲線形拱橋，現(xiàn)拱頂距離水面6米，水面寬米，若水面下降6米，則水面寬()A.米 B.米C.米 D.米4．過雙曲線右焦點F作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線交于點B，若，則雙曲線C的離心率為（）A.或 B.2或C.或 D.2或5．已知集合，，則（）A. B.C. D.6．動點P，Q分別在拋物線和圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.7．命題“，”的否定是（）A.， B.，C， D.，8．“”是“函數(shù)在上無極值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．我們通常稱離心率是的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，，，，分別為左、右、上、下頂點，，分別為左、右焦點，為橢圓上一點，下列條件中能使橢圓為“黃金橢圓”的是（）A. B.C.軸，且 D.四邊形的一個內角為10．已知雙曲線：與橢圓：有相同的焦點，且一條漸近線方程為：，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.11．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，則a4+a5+a6等于（）A.40 B.42C.43 D.4512．若直線與直線垂直，則a的值為（）A.2 B.1C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知O為坐標原點，，是拋物線上的兩點，且滿足，則______；若OM垂直AB于點M，且為定值，則點Q的坐標為__________.14．某射箭運動員在一次射箭訓練中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：8，9，8，10，6，7，9，10，8，5，則命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為___________.15．已知數(shù)列滿足，記，則______；數(shù)列的通項公式為______.16．光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經過橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出．如圖，一個光學裝置由有公共焦點的橢圓與雙曲線構成，現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出，依次經與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，此光線從點發(fā)出，經兩次反射后又回到了點，歷時秒；若，則與的離心率之比為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，且，，成等比數(shù)列，且.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.18．（12分）某保險公司根據(jù)官方公布的歷年營業(yè)收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序號x12345678910營業(yè)收入y（億元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散點圖：根據(jù)已有的函數(shù)知識，某同學選用二次函數(shù)模型（b和a是待定參數(shù)）來擬合y和x的關系.這時，可以對年份序號做變換，即令，得，由表1可得變換后的數(shù)據(jù)見表2.表2T149162536496481100Y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關于t的回歸方程（系數(shù)精確到個位數(shù)）；（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程估計2021年的營業(yè)收入，以及營業(yè)收入首次超過4000億元的年份.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數(shù)據(jù)：.19．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，且橢圓過點，離心率，為坐標原點，過且不平行于坐標軸的動直線與有兩個交點，，線段的中點為.（1）求的標準方程；（2）記直線斜率為，直線的斜率為，證明：為定值；（3）軸上是否存在點，使得為等邊三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.20．（12分）已知橢圓：（）的焦點坐標為，長軸長是短軸長的2倍（1）求橢圓的方程；（2）已知直線不過點且與橢圓交于兩點，從下面①②中選取一個作為條件，證明另一個成立.①直線的斜率分別為，則；②直線過定點.21．（12分）某城鎮(zhèn)為推進生態(tài)城鎮(zhèn)建設，對城鎮(zhèn)的生態(tài)環(huán)境、市容市貌等方面進行了全面治理，為了解城鎮(zhèn)居民對治理情況的評價和建議，現(xiàn)隨機抽取了200名居民進行問卷并評分（滿分100分），將評分結果制成如下頻率分布直方圖，已知圖中a，b，c成等比數(shù)列，且公比為2（1）求圖中a，b，c的值，并估計評分的均值（各段分數(shù)用該段中點值作代表）；（2）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在評分為“50～60”和“80～90”的居民中用分層抽樣的方法抽取了6個居民．若從這6個居民中隨機選擇2個參加座談，求所抽取的2個居民中至少有1個評分在“80～90”的概率22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC的中點，，，（1）求證：；（2）求直線PB與平面MQB所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】首先根據(jù)題設條件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂項相消法求和即可.【詳解】由，得，則，所以，.故選：C.【點睛】本題考查累加法求數(shù)列通項，考查利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于?？碱}.2、C【解析】由等差數(shù)列下標和性質可得.【詳解】因為，，所以.故選：C3、B【解析】以雙曲線的對稱中心為原點，焦點所在對稱軸為y軸建立直角坐標系，求出雙曲線方程，數(shù)形結合即可求解.【詳解】如圖所示，以雙曲線的對稱中心為原點，焦點所在對稱軸為y軸建立直角坐標系，設雙曲線標準方程為：(a＞0)，則頂點，，將A點代入雙曲線方程得，，當水面下降6米后，，代入雙曲線方程得，，∴水面寬：米.故選：B.4、D【解析】求得點A，B的坐標，利用轉化為坐標比求解.【詳解】不妨設直線，由題意得，解得，即；由得，即，因為，所以，所以當時，，；當時，，則，故選：D5、B【解析】根據(jù)根式、分式的性質求定義域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交運算求.【詳解】∵，，∴故選：B6、B【解析】設，根據(jù)兩點間距離公式，先求得P到圓心的最小距離，根據(jù)圓的幾何性質，即可得答案.【詳解】設，圓化簡為，即圓心為（0,4），半徑為，所以點P到圓心的距離，令，則，令，，為開口向上，對稱軸為的拋物線，所以的最小值為，所以，所以的最小值為.故選：B7、D【解析】由含量詞命題否定的定義，寫出命題的否定即可【詳解】命題“，”的否定是：，，故選：D.8、B【解析】根據(jù)極值的概念，可知函數(shù)在上無極值，則方程的，再根據(jù)充分、必要條件判斷，即可得到結果.【詳解】由題意，可得，若函數(shù)在上無極值，所以對于方程，,解得.所以“”是“函數(shù)在上無極值”的必要不充分條件.故選：B.9、B【解析】先求出橢圓的頂點和焦點坐標，對于A，根據(jù)橢圓的基本性質求出離心率判斷A；對于B，根據(jù)勾股定理以及離心率公式判斷B；根據(jù)結合斜率公式以及離心率公式判斷C；由四邊形的一個內角為,即即三角形是等邊三角形，得到，結合離心率公式判斷D.【詳解】∵橢圓∴對于A，若，則，∴，∴，不滿足條件，故A不符合條件；對于B，，∴∴，∴∴，解得或（舍去），故B符合條件；對于C，軸，且，∴∵∴，解得∵，∴∴，不滿足題意，故C不符合條件；對于D，四邊形的一個內角為,即即三角形是等邊三角形，∴∴，解得∴，故D不符合條件故選：B【點睛】本題主要考查了求橢圓離心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的應用，充分利用建立的等式是解題關鍵.10、B【解析】由漸近線方程，設出雙曲線方程，結合與橢圓有相同的焦點，求出雙曲線方程.【詳解】∵雙曲線：的一條漸近線方程為：∴設雙曲線：∵雙曲線與橢圓有相同的焦點∴，解得：∴雙曲線的方程為.故選：B.11、B【解析】根據(jù)已知求出公差即可得出.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，則.故選：B.12、A【解析】根據(jù)兩條直線垂直的條件列方程，解方程求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以，解得.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.-24②.【解析】由拋物線的方程及數(shù)量積的運算可求出，設直線AB的方程為，聯(lián)立拋物線方程，由根與系數(shù)的關系可求出，由圓的定義求出圓心即可.【詳解】由，即解得或（舍去）.設直線AB的方程為.由，消去x并整理得,.又，，直線AB恒過定點N(6,0),OM垂直AB于點M，點M在以ON為直徑圓上.|MQ|為定值，點Q為該圓的圓心，又即Q(3,0).故答案為：；14、【解析】直接利用求平均數(shù)的公式即可求解.【詳解】由已知得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故答案為：.15、①.②..【解析】結合遞推公式計算出，即可求出的值；證得數(shù)列是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可求出結果.【詳解】因為，所以，，，因此，由于，又，即，所以，因此數(shù)列是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，即，故答案為：；.16、##0.75【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線定義用長半軸長和實半軸長表示出撤掉裝置前后的路程，然后由已知可解.【詳解】記橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，由橢圓和雙曲線的定義有：，得，即，又由橢圓定義知，，因為，所以，即所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和等比中項，可得，再根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式，即可求出，，進而求出結果；（2）由（1）得，結合等比數(shù)列前項和公式和對數(shù)運算性質，利用分組求和，即可求出結果.【小問1詳解】解：設的公差為，由，，成等比數(shù)列可知，即，化簡得.由可得，所以.將代入，得，，所以.小問2詳解】解：由（1）得，所以.18、（1）；（2）估計2021年的營業(yè)收入約為2518億元，估計營業(yè)收入首次超過4000億元的年份為2024年.【解析】（1）根據(jù)的公式，將題干中的數(shù)據(jù)代入，即得解；（2）代入，可估計2021年的營業(yè)收入；令，可求解的范圍，繼而得到的范圍，即得解【詳解】（1），，故回歸方程為.（2）2021年對應的t的值為121，營業(yè)收入，所以估計2021年的營業(yè)收入約為2518億元.依題意有，解得，故.因為，所以估計營業(yè)收入首次超過4000億元的年份序號為14，即2024年.19、（1）；（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析.【解析】（1）由橢圓所過點及離心率，列方程組，再求解即得；（2）設出點A，B坐標并列出它們滿足的關系，利用點差法即可作答；（3）設直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，借助韋達定理求得，，再結合為等邊三角形的條件即可作答.【詳解】（1）顯然，半焦距c有，即，則，所以橢圓的標準方程為；（2）設，，，，由(1)知，，兩式相減得，即，而弦的中點，則有，所以；（3）假定存在符合要求的點P，由(1)知，設直線的方程為，由得：，則，，于是得，從而得點，，因為等邊三角形，即有，，因此，，，從而得，整理得，無解，所以在y軸上不存在點，使得為等邊三角形.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）由條件可得，解出即可；（2）選①證②，當直線的斜率存在時，設：，，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達定理可得，，然后由可算出，即可證明，選②證①，設：，，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達定理可得，，然后可算出.【小問1詳解】由條件可得，解得所以橢圓方程為【小問2詳解】選①證②：當直線的斜率存在時，設：，由得，則，由得即，即所以代入所以所以解得：（舍去），所以直線過定點當直線斜率不存在時，設：所以，由得所以，即，解得所以直線（不符合題意，舍去）綜上：直線過定點選②證①：由題意直線的斜率存在，設：由得則，所以.21、（1），，，均值為65.6（2）【解析】（1）根據(jù)a，b，c成等比數(shù)列且公比為2，得到a，b，c的關系，利用頻率之和為1，求出a，b，c，估計評分的均值；（2）利用列舉法得到基本事件，求出相應的概率.【小問1詳解】由題意得，，，有，所以，即，解得，于是，評分在40～50，50～60，60～70，70～80，80～90，90～100的概率分別為0.15，0.20，0.30，0.20，0.10，0.05，則均分估計值為【小問2詳解】評分在“50～60”和“80～90”分別有40人和20人則所抽取的6個居民中，評分在“80～90”一組有2人，記為A1，A2，評分在“50～60”一組4人，記為B1，B2，B3，B4從這6人中選取2人的所有基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），共15個其中至少有1個評分在“80～90”的基本事件有9個則所求的概率，即抽取的2個居民中至少有1個