4直線平面垂直判定性質(zhì)

§８．４直線、平面垂直的判定和性質(zhì)

第八 考點 考點 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直（簡記為ｌα且?β?

（１）定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的所有直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直．該直線叫做這個平面的垂線，該平面叫做這條直線的垂面．即對于直線ｌ和平面α，ｌ⊥α?ｌ垂直于α內(nèi)的任意一條直線．（２）判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線用數(shù)學符號表示：如果ｍ?α，ｎ?α，ｍ∩ｎ＝，ｌ⊥，ｌ⊥那α．（１）行．符號表示：⊥αｂ⊥α（２）如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條用數(shù)學符號表示：如果ａｂ⊥α那么（３）點到平面的距離：從平面外一點引平面的一條垂線，這３．直線與平面所成的角（（１）斜線與平面所成的角的定義：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成（２）當一條直線垂直于平面時，規(guī)定它們所成的角是直角；（

如果兩個平面互相αβ，α∩βｌ， ｌ?α面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于ｌｌｌθθθ（１）定義兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面互相垂直．

３．如果兩個平面互相平面內(nèi)的一點且垂直于第二個平面的αβ如果兩個平面互相平面內(nèi)的一點且垂直于第二個平面的αβ，ＰＱ直線，在第一個平如果兩個相交平面同時垂直于第三個線必垂直于第三個αγ，β?ｌ（２）以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角．若記此角為θ，當θ＝９０°時，二面角叫做直二面角．（１）線面垂直的定義

ＭＡＢ的中點

（２）線面垂直的判定定理（ａ⊥，ａ⊥，ｂ?，ｃ?，ｂ∩＝ ）（３）平行線垂直平面的傳遞性（）．（）面面垂直的性質(zhì)（α⊥β，α∩β＝）．（５）面面平行的性質(zhì)（）．（６）面面垂直的性質(zhì)（α∩β＝）．如圖，已知ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，且四邊形ＡＢＣＤ為矩形，

（１）求證（）若∠ＰＤＡ＝４５°，求證：ＭＮ⊥平面７６５年高考３年模 Ｂ版（教師用書證明（１）如圖所示，取ＰＤ的中點Ｅ，連接ＡＥ ＝

因為△ＡＭＢ為正三角形，所以ＡＢ＝ＭＢ＝因為ＢＣ＝３，ＢＣ⊥ＡＣ，ＡＣ＝ ＝１ ＝１×１·ＢＣ·ＡＣ＝１×１×３×∵ＮＰＣ的中點，ＥＰＤ的中點１

．．

２ ＝２

Ｄ∥⊥又Ｍ∥ＤＡＭ

因為ＤＣ?平面ＡＢＣ，所以⊥．２∴ＡＭＮＥ為平行四邊形，∴．２２２ＰＡ⊥ＡＢＣＤ，∴２２

在△ＡＢＣ中＝１＝∵ＡＢＣＤ為矩形，∴∵ＡＤ∩ＰＡ＝

＝１·Ｄ·Ｄ

２２×２

×１＝∴ＣＤ⊥ＰＡＤ，∵ＡＥ? ∴ＣＤ⊥ＡＥ，∵

１，△ＢＣＤ·Ｄ３

１３∴． （）ＰＡ⊥ＡＢＣＤ，∴

２３ ２又∠ＰＤＡ＝２２

３．的距離為∵ＰＤ的中點∴又由（１）知ＣＤ⊥ＡＥ，且ＰＤ∩ＣＤ＝∵Ｅ∥Ｎ∴ＭＮ⊥如圖，在三棱錐 ＡＢＣ中，ＰＡ⊥ＡＣ，ＰＣ⊥ＢＣ，ＭＰＢ的中點，ＤＡＢ的中點，且△ＡＭＢ為正三角形（）求證：ＢＣ⊥平面（）＝２ＢＣ，ＰＡＢＣ１，ＢＤＣＭ的距離解析（）證明：ＡＭＢ中，ＤＡＢ的中點，所以Ｄ⊥Ｂ．的中點的中點，所以Ｄ∥故Ａ⊥Ｂ．又ＰＡ⊥ＡＣ，ＡＢ∩ＡＣ＝Ａ，ＡＢ，ＡＣ?平面所以ＰＡ⊥平面因為ＢＣ?平面ＡＢＣ，所以⊥．又ＰＣ⊥ＢＣ，ＰＡ∩ＰＣ＝Ｐ，ＰＡ，ＰＣ?平面２２

如圖，ＤＡＢＣ中，ＡＢＣ２的正三角形，＝＝（１）求證解 （１）證明：如圖，?。拢玫闹悬cＭ，連接因為ＡＢ＝ＡＣ，ＤＢ＝ＤＣ，所以因為ＤＭ∩ＡＭ＝Ｍ，所以ＢＣ⊥平面．（）如圖，ＤＤＨ⊥ＡＭＨ，ＤＨ⊥＝＝２＝１，的中點，＝，２（）設(shè)

＝ｘ，則

＝３ｘ，ＰＡ

３

由勾股定理可得ＤＨ ＝１２＝２ＢＣ，＝２

三棱錐Ｄ

＝３

·Ｈ＝３６

由（）可知ＢＣ⊥平面

ＡＤ＋ＡＣ又ＡＣ?平面ＰＡＣ，所以

在△ＡＤＣ中，由余弦定理得ｃｏｓ∠ＤＡＣ ＤＣ １＋２２（２） 所以ＡＣ ＝２ ＝４ ３ · 所以ｎ∠Ｃ＝７３所以 ＝１Ｄ·Ｃ·ｉｎ∠Ｃ＝７ 因為

第八 ＝ ，３＝１× 三棱錐Ｄ ． 解得ｄ＝２２１，所以點Ｂ到平面ＡＤＣ的距離為 證明面面垂直時，根據(jù)判定定理（ａ⊥βａ?α?α⊥β），只要在其中的一個平面內(nèi)找到另外一個平面的垂線即可，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可以通過作輔助線來解決．如圖，在四棱錐ＰＡＢＣＤ中Ｂ∥＝２ＡＢ，平面ＰＡＤ⊥底面ＡＢＣＤ，ＰＡ⊥ＡＤ，Ｅ和Ｆ分別是ＣＤ和ＰＣ（１）ＰＡ⊥底面（）平面（３）平面ＢＥＦ⊥平面證明（）ＰＡＤ⊥ＡＢＣＤ，ＰＡＤ∩底面＝ＡＤ，ＰＡ⊥ＡＤ，所以ＰＡ⊥底面（）Ｂ∥Ｄ＝２ＡＢ，ＥＣＤ的中點，所以Ｂ∥Ｅ，且ＡＢ＝ＤＥ，所以四邊形ＡＢＥＤ為平行四邊形，所以，又因為ＢＥ?平面ＰＡＤ，ＡＤ?平面（３）因為ＡＢ⊥ＡＤ，四邊形ＡＢＥＤ為平行四邊形，所以四邊形ＡＢＥＤ是矩形，所以ＢＥ⊥ＣＤ，ＡＤ⊥ＣＤ，由（１）知ＰＡ⊥底面因為ＰＡ∩ＡＤ＝Ａ，所以ＣＤ⊥平面ＰＡＤ，所以的中點，ＤＣＤ⊥ＥＦ，因為ＢＥ∩ＥＦ＝Ｅ，所以ＣＤ⊥平面ＢＥＦ，又ＣＤ?平面所以平面ＢＥＦ⊥平面（２０１６北京，１８，１４分），在四棱錐ＰＡＢＣＤ中，ＰＣ⊥平面Ｄ，Ｂ∥Ｃ，Ｃ⊥Ｃ．（１）求證：ＤＣ⊥平面（２）求證：平面ＰＡＢ⊥平面（３）設(shè)點ＥＡＢ的中點，在棱ＰＢ上是否存在點Ｆ，使得∥ＣＥＦ？說明理由解析（）證明：ＰＣ⊥又因為ＤＣ⊥ＡＣ，ＡＣ∩ＰＣ＝（）證明：因為∥Ｃ，．因為ＰＣ⊥平面ＡＢＣＤ，所以．又ＡＣ∩ＰＣ＝Ｃ，所以ＡＢ⊥平面又ＡＢ?平面ＰＡＢ，所以平面ＰＡＢ⊥平面（）ＰＢＦ，Ａ∥證明如下：?。校轮悬cＦ，連接點，所以ＥＦ∥．又因為ＰＡ?所以Ａ∥平面（２０１８四川瀘州模擬，１９）如圖，在四棱錐Ｓ中，底面ＡＢＣＤ是梯形，Ｂ∥Ｃ，∠＝９０°，ＡＤ＝ＳＤ，ＢＣ＝ＣＤ１ＡＢ，平面ＳＡＤ⊥底面 （１）求證：平面ＳＢＤ⊥平面（２）若∠ＳＤＡ＝１２０°，且三棱錐ＳＢＣＤ的體積為６，求側(cè) △ＳＡＢ的面積解析（）證明：設(shè)ＢＣ＝ａ，則ＣＤ＝ａ，ＡＢ＝２ａ，△ＢＣＤ是等腰直角三角形，且∠ＢＣＤ＝＝ａ＝在△ＡＢＤ中＝ＡＢ＋ＤＢ２２Ｂ·Ｂ·ｓ＝因為ＡＤ２＋ＢＤ２＝４ａ２＝ＡＢ２，所以由于平面ＳＡＤ⊥底面ＡＢＣＤ，平面ＳＡＤ∩底面ＡＢＣＤ＝ＡＤ，Ｂ?ＡＢＣＤ，ＢＤ⊥又ＢＤ?平面ＳＢＤ，所以平面ＳＢＤ⊥平面在△ＳＡＤ中，∠ＳＤＡ＝１２０°，ＳＡ＝２ＳＤｓｉｎ６０°＝６７８５年高考３年模 Ｂ版（教