2024屆河南駐許昌市高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆河南駐許昌市高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點在拋物線上，則點到拋物線焦點的距離為（）A.1 B.2C.3 D.42．已知橢圓的離心率為，則（）A. B.C. D.3．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.4．我國古代銅錢蘊(yùn)含了“外圓內(nèi)方”“天地合一”的思想．現(xiàn)有一銅錢如圖，其中圓的半徑為r，正方形的邊長為，若在圓內(nèi)隨即取點，取自陰影部分的概率是p，則圓周率的值為（）A. B.C. D.5．已知O為坐標(biāo)原點，，點P是上一點，則當(dāng)取得最小值時，點P的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.6．直線的傾斜角為（）A.150° B.120°C.60° D.30°7．若直線l的傾斜角是鈍角，則l的方程可能是（）A. B.C. D.8．已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.9．直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.10．年1月初，中國多地出現(xiàn)散發(fā)病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陸續(xù)發(fā)出“春節(jié)期間非必要不返鄉(xiāng)”的倡議，鼓勵企事業(yè)單位職工就地過年.某市針對非本市戶籍并在本市繳納社保，且春節(jié)期間在本市過年的外來務(wù)工人員，每人發(fā)放1000元疫情專項補(bǔ)貼.小張是該市的一名務(wù)工人員，則“他在該市過年”是“他可領(lǐng)取1000元疫情專項補(bǔ)貼”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，則等于（）A. B.C. D.以上都不對12．已知雙曲線，其中一條漸近線與x軸的夾角為，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)a為實數(shù)，若直線與直線平行，則a值為______.14．若分別是平面的法向量，且，，，則的值為________.15．經(jīng)過兩點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________16．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，與交于點，為的中點，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面18．（12分）如圖，矩形ABCD，點E，F(xiàn)分別是線段AB，CD的中點，，，以EF為軸，將正方形AEFD翻折至與平面EBCF垂直的位置處.請按圖中所給的方法建立空間直角坐標(biāo)系，然后用空間向量坐標(biāo)法完成下列問題（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知數(shù)列滿足（1）求；（2）若，且數(shù)列的前n項和為，求證：20．（12分）已知橢圓（）的左、右焦點為，，，離心率為（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（2）的左頂點為，過右焦點的直線交橢圓于，兩點，記直線，，的斜率分別為，，，求證：21．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個零點，，證明：22．（10分）已知等差數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式及；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】先求出拋物線方程，焦點坐標(biāo)，再用兩點間距離公式進(jìn)行求解.【詳解】將代入拋物線中得：，解得：，所以拋物線方程為，焦點坐標(biāo)為，所以點到拋物線焦點的距離為故選：B2、D【解析】由離心率及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而可得.【詳解】因為，則，所以.故選：D3、C【解析】根據(jù)點關(guān)于原點對稱的性質(zhì)即可知答案.【詳解】由點關(guān)于原點對稱，則對稱點坐標(biāo)為該點對應(yīng)坐標(biāo)的相反數(shù)，所以.故選：C4、B【解析】根據(jù)圓和正方形的面積公式結(jié)合幾何概型概率公式求解即可.【詳解】由可得故選：B5、A【解析】根據(jù)三點共線，可得，然后利用向量的減法坐標(biāo)運算，分別求得，最后計算，經(jīng)過化簡觀察，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則則∴當(dāng)時，取最小值為-10，此時點P的坐標(biāo)為.故選：A【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，難點在于三點共線，審清題干，簡單計算，屬基礎(chǔ)題.6、D【解析】由斜率得傾斜角【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為30°.故選：D7、A【解析】根據(jù)直線方程，求得直線斜率，再根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，即可判斷和選擇.【詳解】若直線的傾斜角為，則，當(dāng)時，為鈍角，當(dāng)，，當(dāng)，為銳角；當(dāng)不存在時，傾斜角為，對A：，顯然傾斜角為鈍角；對B：，傾斜角為銳角；對C：，傾斜角為銳角；對D：不存在，此時傾斜角為直角.故選：A.8、D【解析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得.故選：D.9、A【解析】由直線方程求得直線斜率的范圍，再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】∵直線的斜率,，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得.故選：A.10、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行判定.【詳解】只有非本市戶籍并在本市繳納社保的外來務(wù)工人員就地過年，才可領(lǐng)取1000元疫情專項補(bǔ)貼，小張是該市的一名務(wù)工人員,但他可能是本市戶籍或非本市戶籍但在本市未繳納社保，所以“他在該市過年”是“他可領(lǐng)取1000元疫情專項補(bǔ)貼”的必要不充分條件.故選：B.11、C【解析】根據(jù)目標(biāo)式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即可得結(jié)果.【詳解】.故選：C12、C【解析】由已知條件計算可得，即得到結(jié)果.【詳解】由雙曲線，可知漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線與x軸的夾角為，故，即漸近線方程為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)兩直線平行得到，解方程組即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，解得，故答案為：.14、－1或－2【解析】由題可得，即求.【詳解】依題意，，解得或.故答案為：或.15、【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程將點坐標(biāo)代入求參數(shù)，即可確定標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】令，則，可得，令，則，無解.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：.16、【解析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在處的切線方程.【詳解】，，，所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，重點考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理、線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)、菱形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可.【小問1詳解】在直三棱柱中，，且四邊形平行四邊形，又，則為的中點，又為的中點，故，即：，且平面，平面，所以平面；【小問2詳解】在直三棱柱中，平面，平面，則，且，，平面，故平面，因為平面，所以，又在平行四邊形中，，則四邊形菱形，所以，且，平面，故平面，因為平面，所以平面平面.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直，即可證明線面垂直；（2）根據(jù)（1）中所求平面的法向量，利用向量法，即可容易求得結(jié)果.【小問1詳解】矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是線段AB，CD的中點，∴，∴翻折后∵平面平面，且面，面，故可得面，又面，∴，故兩兩垂直，∴分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：∵，則，，，，，，∵，，∴，∴，，又面，∴平面.【小問2詳解】由（1）知，平面的法向量為，又向量，則向量與法向量為所成角的余角即是直線與平面所成角，設(shè)直線與平面所成角為，向量與法向量為所成角為，則.故直線與平面所成角正弦值為.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求得，猜想，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.（2）利用放縮法證得結(jié)論成立.【小問1詳解】依題意，，，，猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：當(dāng)時，結(jié)論成立，假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即，由，，所以當(dāng)時，有，結(jié)論成立，所以當(dāng)時，.【小問2詳解】由（1）得，且為單調(diào)遞增數(shù)列，所以.所以.20、（1）；（2）證明見解析【解析】(1)由可求出，結(jié)合離心率可知，進(jìn)而可求出，即可求出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由題意知，，則由直線的點斜式方程可得直線的解析式為，與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，設(shè)，，結(jié)合韋達(dá)定理可得，從而由斜率的計算公式對進(jìn)行整理化簡從而可證明.【詳解】（1）解：因為，所以．又因為離心率，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）證明：由題意知，，，則直線的解析式為，代入橢圓方程，得設(shè)，，則．又因為，，所以【點睛】關(guān)鍵點睛:本題第二問的關(guān)鍵是聯(lián)立直線和橢圓的方程后，結(jié)合韋達(dá)定理，用表示交點橫坐標(biāo)的和與積，從而代入進(jìn)行整理化簡.21、（1）函數(shù)的單調(diào)性見解析；（2）證明見解析.【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，按a值分類討論判斷的正負(fù)作答.(2)將分別代入計算化簡變形，再對所證不等式作等價變形，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)導(dǎo)數(shù)推理作答.【小問1詳解】已知函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，解得，由，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】依題意，不妨設(shè)，則，，于是得，即，亦有，即，因此，，要證明，即證，即證，即證，即證，令，，，則有在上單調(diào)遞增，，，即成立，所以.【點睛】思路點睛：涉及