專題六-隨機變量及其分布列、統(tǒng)計案例-Word版含解析

專題六隨機變量及其分布列、統(tǒng)計案例一、題之源：課本基礎(chǔ)知識1．離散型隨機變量隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．2．離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，有時為了表達簡單，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))pi＝1.3．常見離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布：若隨機變量X服從兩點分布，則其分布列為X01P1－pp其中p＝P(X＝1)稱為成功概率．(2)超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列.X01…mPeq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n－0,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(m,M)Ceq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))4．條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設(shè)A、B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率(1)0≤P(B|A)≤1(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).5.事件的相互獨立性(1)定義：設(shè)A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．(2)性質(zhì)：①若事件A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A與B相互獨立，那么A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與B，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也相互獨立．6．獨立重復(fù)試驗與二項分布獨立重復(fù)試驗二項分布定義在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率是p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率計算公式用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次試驗結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)7．離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．(2)D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根eq\r(D（X）)為隨機變量X的標準差．8．均值與方差的性質(zhì)eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(（1）E（aX＋b）＝aE（X）＋b,（2）D（aX＋b）＝a2D（X）))(a，b為常數(shù))．9．兩點分布與二項分布的均值、方差XX服從兩點分布X～B(n，p)E(X)p(p為成功概率)npD(X)p(1－p)np(1－p)10.正態(tài)曲線的特點(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；(3)曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．11．變量間的相關(guān)關(guān)系(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．(2)從散點圖上看，點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系為負相關(guān)．12．兩個變量的線性相關(guān)(1)從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線．(2)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))xiyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－)),eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))xieq\s\up4(2)－neq\o(x,\s\up6(－))eq\s\up4(2))，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))．(3)通過求Q＝eq\o(\s\do8(i＝1),∑,\s\up6(n))(yi－bxi－a)2的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法．(4)相關(guān)系數(shù)：當r>0時，表明兩個變量正相關(guān)；當r<0時，表明兩個變量負相關(guān)．r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系，通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性．13．獨立性檢驗假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋dK2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)．二、題之本：思想方法技巧1.求離散型隨機變量的分布列的步驟(1)明確隨機變量的所有可能取值，以及每個值所表示的意義，判斷一個變量是否為離散型隨機變量，主要看變量的值能否按一定的順序一一列出.(2)利用概率的有關(guān)知識，求出隨機變量取每個值的概率.對于古典概率、互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、n次獨立重復(fù)試驗恰有k次發(fā)生的概率等，都要能熟練計算.(3)按規(guī)范形式寫出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗證.2.分布列的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機變量X所有可能的取值，第二行是對應(yīng)于隨機變量X的值的事件發(fā)生的概率.在每一列中，上為“事件”，下為事件發(fā)生的概率，只不過“事件”是用一個反映其結(jié)果的實數(shù)表示的.每完成一列，就相當于求一個隨機事件發(fā)生的概率.3.可用超幾何分布解決的題目涉及的背景多數(shù)是生活、生產(chǎn)實踐中的問題，且往往由明顯的兩部分組成，如產(chǎn)品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同學(xué)中的男生和女生等.注意弄清楚超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系.4.“獨立”與“互斥”的區(qū)別兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指一個事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響(如有放回的抽取模型).兩事件相互獨立通常不互斥，兩事件互斥通常不獨立.5.條件概率的求法(1)利用定義，分別求出P(A)，P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB)，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).(3)為了求一些復(fù)雜事件的條件概率，往往可以先把它分解為兩個(或若干個)互斥事件的和，利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)進行計算，其中B，C互斥.6.對n次獨立重復(fù)試驗的理解(1)在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，其中p是一次試驗中該事件發(fā)生的概率.實際上，Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k正好是二項式(1－p)＋p]n的展開式中的第k＋1項.這也是二項分布名稱的由來.(2)要弄清n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率與第k次才發(fā)生的概率計算公式Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k與Pk＝(1－p)k－1p的區(qū)別.7.相互獨立事件同時發(fā)生的概率的求法(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面計算較繁或難于入手時，可以從其對立事件入手進行計算.8.正確理解獨立重復(fù)試驗與獨立事件間的關(guān)系獨立重復(fù)試驗是指在同樣條件下可重復(fù)進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，每次試驗都只有兩種結(jié)果(即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生)，并且在每次試驗中，事件發(fā)生的概率均相等.獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例(概率公式也是如此)，就像對立事件是互斥事件的特例一樣.一般地，有“恰好”等字眼的用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”等字眼的題目用對立事件的概率公式計算更簡單一樣.9.均值與方差的常用性質(zhì)掌握下述有關(guān)性質(zhì)，會給解題帶來方便：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)；D(aX＋b)＝a2D(X).(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).10.計算均值與方差的基本方法(1)已知隨機變量的概率分布求它的均值、方差和標準差，可直接用定義或公式求；(2)已知隨機變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)Y＝aX＋b的均值、方差和標準差，可直接用均值及方差的性質(zhì)求；(3)如能分析所給隨機變量服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，則可直接利用它們的均值、方差公式來求.11.(1)在實際中經(jīng)常用均值來比較平均水平，當平均水平相近時，再用方差比較穩(wěn)定程度；(2)注意離散型隨機變量的均值、方差與樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的區(qū)別與聯(lián)系.12.正態(tài)曲線的性質(zhì)特點可用來求其數(shù)學(xué)期望μ和標準差σ：正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱，據(jù)此結(jié)合圖象可求μ；正態(tài)曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,\r(2π)σ)，據(jù)此結(jié)合圖象可求σ.13.能熟練應(yīng)用正態(tài)曲線的對稱性解題，并注意以下幾點：(1)正態(tài)曲線與x軸之間的面積為1；(2)正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，從而在關(guān)于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等；(3)幾個常用公式：P(X<a)＝1－P(X≥a)；P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)(即第(2)條)；若b>0，則P(X<μ－b)＝eq\f(1－P（μ－b<X≤μ＋b）,2).14.無論是正態(tài)分布的正向或逆向的應(yīng)用問題，關(guān)鍵都是先確定μ，σ，然后利用對稱性，將所求概率轉(zhuǎn)化到三個特殊區(qū)間.15．在研究兩個變量之間是否存在某種關(guān)系時，必須從散點圖入手．對于散點圖，可以做出如下判斷：(1)如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．(2)如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．(3)如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系．16．分析兩個變量相關(guān)關(guān)系的常用方法：(1)利用散點圖進行判斷；(2)利用相關(guān)系數(shù)r進行判斷．17．(1)回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意義，否則無意義．(2)根據(jù)回歸方程進行的估計僅是一個預(yù)測值，而不是真實發(fā)生的值．(3)用最小二乘法求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)，，由于，的計算量較大，計算時應(yīng)仔細小心．18．線性回歸分析的方法、步驟(1)畫出兩個變量的散點圖；(2)求相關(guān)系數(shù)r，并確定兩個變量的相關(guān)程度的高低；(3)用最小二乘法求回歸直線方程＝x＋，(4)利用回歸直線方程進行預(yù)報．注：①對于非線性(可線性化)的回歸分析，一般是利用條件及我們熟識的函數(shù)模型，將題目中的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系進行分析，最后還原．②利用相關(guān)指數(shù)R2＝1－刻畫回歸效果時，R2越大，意味著殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.19．獨立性檢驗的一般步驟(1)假設(shè)兩個分類變量x與y沒有關(guān)系；(2)計算出K2的觀測值，其中K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)；(3)把K2的值與臨界值比較，作出合理的判斷．20．獨立性檢驗的注意事項(1)在列聯(lián)表中注意事件的對應(yīng)及相關(guān)值的確定，不可混淆．(2)在實際問題中，獨立性檢驗的結(jié)論僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系表述，得到的結(jié)論有一定的概率出錯．(3)對判斷結(jié)果進行描述時，注意對象的選取要準確無誤，應(yīng)是對假設(shè)結(jié)論進行的含概率的判斷，而非其他．三、題之變：課本典例改編1.原題（選修2-3第八十六頁例2）一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中，試建立與之間的回歸方程。溫度21232527293235產(chǎn)卵數(shù)個711212466115325改編為了對2006年佛山市中考成績進行分析，在60分以上的全體同學(xué)中隨機抽出8位，他們的數(shù)學(xué)(已折算為百分制)、物