關(guān)于riemann邊值問題

關(guān)于riemann邊值問題

r0，m（m）2，正交基準ea和a2，以2m維的卡箍狀零件。正交基準滿足反交換率的ej代碼。ej=-2j，k，j，k=1，m，r0，m中的任何元素都可以寫。a=∑A?ΜaAeA?aA∈R?M={1,…,m}是一個集合,eA=eα1…αh=eα1…eαh,A={α1,…,αh}?M是一個子集,α1<…<αh,且e0=eφ=1是R0,m中的單位元.記λ∈R0,m的歐氏模|λ|=(∑Aλ2A)12?記Rm中的向量為x=m∑j=1xjej?有時也記為x=Ζx+xmem或x=(Ζx,xm)?式中Ζx=m-1∑j=1xjej?則Rm可分為三部分Rm+={x|xm＞0}?Rm-={x|xm＜0}?Rm0={x|xm=0}.且Rm0等價于Rm-1.顯然,對任意x∈Rm,有x2=-|x|2?可知x-1=-x|x|-2同時是x≠0的左逆元和右逆元,即x-1x=xx-1=1.令Ω?Rm為一個連通開集,記D=m∑j=1ej??xj?則任意滿足方程Df=0的R0,m值函數(shù)f∈C1(Ω,R0,m)稱為Ω上的左單演函數(shù).眾所周知E(x)=-1ˉωmx|x|m是算子D的基本解,且是Ω中的左單演函數(shù),式中ˉωm=2πm/2Γ(m/2)是Rm中單位球的表面積.有關(guān)單演函數(shù)理論詳見文獻.1半空間上的中國邊值記H(m)(R0,m)為R0,m中由{e1,…,em-1}構(gòu)造的子代數(shù),于是R0,m有分解R0,m=Η(m)(R0,m)+emΗ(m)(R0,m),(1)則任何λ∈R0,m可寫成λ=λ1+emλ2,其中λ1,λ2∈H(m)(R0,m).記算子X(m)(λ)=λ1?Y(m)(λ)=λ2.(2)最近,許多學者研究了許多有關(guān)單演函數(shù)的邊值問題.例如,文獻研究了Rm中具有光滑邊界的有界區(qū)域上的Riemann邊值問題,文獻運用調(diào)和函數(shù)工具研究了Rm中半空間上的Hilbert邊值問題與Neumann邊值問題.本文假設(shè)f為Rm0上的取值為H(m)(R0,m)值的有界H?lder連續(xù)函數(shù),且滿足條件∫Rm0|f(y)|(1+|y|2)(m-1)/2dS(y)＜∞?(3)式中dS(y)是Rm0上的單位面積元,有時也記為dZy.本文討論下面2種邊值問題.(Ⅰ)Riemann邊值問題:尋找定義在Rm[WTHZRm0中且可以分別從Rm+和Rm-連續(xù)延拓到Rm0的R0,m值單演函數(shù)Φ(x),并同時滿足邊值條件Φ+(t)=Φ-(t)G+f(t)?t∈Rm0,(4)式中Φ+,Φ-分別為Φ(t)在Rm0上的正、負邊值,f為Rm0上的取值為H(m)(R0,m)值的有界H?lder連續(xù)且滿足條件(3)的函數(shù);G為R0,m值常數(shù)且有右逆元G-1.(Ⅱ)Hilbert邊值問題:尋找定義在Rm+中且可以連續(xù)延拓到Rm0的R0,m值單演函數(shù)Ψ(x),并滿足邊值條件X(m)(Ψ+λ)(t)=f(t),t∈Rm0,(5)式中f為Rm0上的取值為H(m)(R0,m)值的有界H?lder連續(xù)且滿足條件(3)的函數(shù);λ為R0,m值常數(shù)且有右逆元λ-1.顯然上述邊值問題是文獻中的經(jīng)典Riemann邊值問題和Hilbert邊值問題在Clifford分析中的推廣.本文解決上述2種邊值問題的思想和方法來自于文獻.2y中小型科技文獻中ny+ttm0.令f為Rm0上的取值為H(m)(R0,m)值的有界H?lder連續(xù)函數(shù),且滿足條件(3),記F(x)=∫Rm0E(y-x)n(y)f(y)dS(y),x?Rm0,(6)(Sf)(t)=∫Rm0E(y-t)n(y)f(y)dS(y)=-limε→0+∫|y-t|≥εE(y-t)emf(y)dS(y)?y,t∈Rm0?(7)式中n(y)=-em為Rm0上指向Rm-的外法向量.由文獻易知,在f的條件下,F(x)對所有的x∈Rm±均有定義,在Rm±上左單演且在∞處F(∞)=0.(7)式右端定義的積分是Cauchy主值意義下的奇異積分,特別地(S1)(t)=-limε→0+∫|y-t|≥εE(y-t)emdS(y)=0,y,t∈Rm0.(8)由文獻知(6)式中的F(x)可分別從Rm+和Rm-連續(xù)延拓到超平面Rm0,即F+(t)和F-(t)對所有的t∈Rm0均成立,且F±(t)=±12f(t)+(Sf)(t)?t∈Rm0?(9)特別是在f=1時,可由文獻中引理1.17(b)證明∫Rm0E(y-x)n(y)dS(y)=±12?x∈Rm±.3xx-xx-xx-xx-xx-xnxnxb.nxb.nxb.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.bxb.bxb.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.bx由于G為R0,m值常數(shù)且有右逆元G-1,即GG-1=1,記G-1為1/G.令X(x)={G,1,x∈Rm+,x∈Rm-,(10)則X(x)是Rm±中的單演函數(shù)且有逆X-1(x),X+(x)=G,X-(x)=1,且記運算X+(x)(X-(x))-1=G為X+(x)/X-(x)=G,則Riemann邊值問題可變?yōu)閄+(x)X-(x)=Φ-(x)X-(x)+f(x)X+(x)?x∈Rm0,(11)記F(x)=∫Rm0E(y-x)n(y)f(y)G-1dS(y)?則F+(x)-F-(x)=f(x)X+(x),x∈Rm0,Φ+(x)X+(x)-F+(x)=Φ-(x)X-(x)-F-(x)?x∈Rm0.(12)由Painlevé定理可知,Φ(x)/X(x)-F(x)在整個Rm空間上左單演.由于F(∞)=0,如果要求Φ(x)在∞點處有界,則由單演函數(shù)的Liouville定理可知,Φ(x)/X(x)-F(x)是一個常數(shù),即Φ(x)X(x)-F(x)=C?式中C為任意R0,m值常數(shù).特別地,如果要求Φ(x)在∞點處為零,則Φ(x)X(x)-F(x)=0.定理1令X(x)由(10)式定義,如果要求Riemann邊值問題(4)的解Φ(x)在∞點處有界,則Φ(x)=∫Rm0E(y-x)n(y)f(y)dS(y)G-1X(x)+CX(x)?x∈Rm±?(13)式中C是任意R0,m值常數(shù).如果要求Riemann邊值問題(4)的解Φ(x)在∞點處為零,則Φ(x)=∫Rm0E(y-x)n(y)f(y)dS(y)G-1X(x),x∈Rm±.(14)4測定方法令x=Zx+xmem∈Rm±,定義其*算子為x*=Zx-xmem,則x*∈Rm?.對任意R0,m值函數(shù)a(x)和b(x),定義其*算子分別為a*(x)=(X(m)a)(x)-em(Y(m)a)(x)?b*(x)=(X(m)b)(x)-em(Y(m)b)(x)?則易證(a*)*(x)=a(x)?(a(x)b(x))*=a*(x)b*(x).同樣也有(λ-1)*=(λ*)-1,式中λ≠0是R0,m值常數(shù)或函數(shù).由文獻易證下面的引理.引理1令g(x)=(X(m)g)(x)+em(Y(m)g)(x)是定義在Rm+上的R0,m值左單演函數(shù),定義g關(guān)于超平面xm=0的共軛延拓為g*=g*(x*)=(X(m)g)(x*)-em(Y(m)g)(x*),則g*(x)在Rm上左單演.由于邊值問題(5)的解Ψ(x)要求在Rm+中左單演且可連續(xù)延拓到邊界Rm0,故記Ω(x)={Ψ(x),Ψ*(x)=Ψ*(x*),if?x∈Rm+,if?x∈Rm-.(15)由引理1可知,Ω(x)在Rm-中左單演且可連續(xù)延拓到Rm0上,而且可證Ω+(t)=Ψ(Ζx,0)?Ω-(t)=Ψ-*(t)=(Ω+(t))*,t=Zt∈Rm0,(16)由(15)和(16)式及f*(x*)=f*(x)=f(x)(x=Zx∈Rm0)可得Ω+(t)λ+Ω-(t)λ*=2f(t)?t∈Rm0?(17)這就將Hilbert邊值問題(5)轉(zhuǎn)化成了帶約束條件(16)的Riemann邊值問題(17).注意到函數(shù)f(t)及Ω(x)的性質(zhì),易證(Ω+(t)λ)*=Ω-*(t)λ*?(Ω-(t)λ)*=Ω+*(t)λ*?則Ω+*(t)λ+Ω-*(t)λ*=2f(t)?t∈Rm0?這說明Ω*(x)也是邊值問題(17)的解.記Ω0(x)=12(Ω(x)+Ω*(x))?則Ω0(x)既滿足條件(16),又滿足邊值問題(17),說明Ω0(x)就是Hilbert邊值問題(5)的解.由于λ的右逆元存在,邊值問題(17)轉(zhuǎn)化為Ω+(t)=-Ω-(t)λ*λ-1+2f(t)λ-1.記X(x)={-λ*λ-1,1,x∈Rm+,x∈Rm-,(18)則有X+(t)=-λ*λ-1,X-(t)=1及X*(x)=X*(x*)={1,-(λ*λ-1)=-λ(λ*)-1,x∈Rm+,x∈Rm-.定理2如果要求Hilbert邊值問題(5)的解Ψ(x)在∞處有界,則Ψ(x)=2ˉωm∫Rm0xm+(Ζy-Ζx)emf(zy)a-1(|Ζy-Ζx|2+x2m)m/2dS(y)+emCλ-1,x∈Rm±?(19)式中C是任意H(m)(R0,m)值常數(shù).如果要求Hilbert邊值問題(5)的解Ψ(x)在∞處為零,則Ψ(x)=2ˉωm∫Rm0xm+(Ζy-Ζx)emf(zy)a-1(|Ζy-Ζx|2+x2m)m/2dS(y)?x∈Rm±.(20)證明僅證(19)式,(20)式可類似地證得.如果要求邊值問題(5)的解Ψ(x)在∞處有界,則將定理1中的結(jié)果(13)運用到邊值問題(17),并注意到G=-λ*λ-1,有Ω(x)=-2∫Rm0E(y-x)n(y)f(y)λ-1(λ*λ-1)-1dS(y)X(x)+C1X(x)=-2ˉωm∫Rm0(xm+(Ζy-Ζx)em)f(Ζy)(|Ζy-Ζx|2+x2m)m/2dS(y)(λ*)-1X(x)+C1X(x),式中C1是任意H(m)(R0,m)值常數(shù);X(x)由(18)式給出.則Ω*(x)=Ω*(x*)=